PHN M U: Lí DO CHN TI
- Trong cơ học lớp 10 có đề cập đến tính tơng đối của chuyển động: thể hiện
ở tính tơng đối của quỹ đạo vận tốc và gia tốc. Đây là một trong những phần
khó mà học sinh thờng mc sai lm khi giải bài tập. Để giúp học sinh hiểu
sâu hơn, có kỹ năng tốt hơn khi giải các bài tập về tính tơng đối của chuyển
động. Tôi đa ra một số bài tập có vận dụng công thức cộng vận tốc, khảo sát
chuyển động của vật trong hệ quy chiếu có gia tốc và hệ quy chiếu đứng
yên.
- Phần công thức cộng vận tốc: Các bài tập a ra theo khú tng dn.
Cỏc bi tp v chuyển động thẳng cùng phơng v khác ph ơng, chuyn động
tròn đều, chuyển động thẳng và chuyển động tròn đều, Chuyn ng trũn
u v chuyn ng trũn u
- Phần thứ 2 chủ yếu là các bài toán trong hệ quy chiếu gắn với thang máy
và mặt phẳng nghiêng chuyển động có gia tốc, phần này chỉ dừng lại ở việc
tính gia tốc của vật.
- Cỏc bi tp phn ny ch yu dnh cho hc sinh khụng chuyờn lp 10
nõng cao
PHN NI DUNG
I CễNG THC CNG VN TC
1
Vận dụng công thức :
231213
VVV +=
* Bài tập đơn giản vận dụng công thức cộng vận tốc trong chuyển động
thẳng cùng phương
Câu 1: Trên một đường thẳng có ba người chuyển động, một người đi xe
máy, một người đi xe đạp và một người đi bộ giữa hai người kia. Ở thời
điểm ban đầu, khoảng cách giữa người đi bộ và người đi xe đạp nhỏ hơn
khoảng cách giữa người đi bộ và người đi xe máy hai lần. Người đi xe máy
và người đi xe đạp đi lại gặp nhau với vận tốc lần lượt là 60km/h và 20km/h.
Biết rằng cả ba người gặp nhau tại cùng một thời điểm. Xác định vận tốc và

– v
2
(đk: v
12
>0 (1): để người đi
xe máy gặp người đi bộ)
- Vận tốc của người đi bộ đối với người đi xe đạp là v
23
.
Ta có:
3232
vvv +=

3223
vvv −=⇒
=> v
23
= v
2
– v
3
(đk : v
23
>0 (2): để người
đi bộ gặp người đi xe đạp).
- Kể từ lúc xuất phát, thời gian người đi xe máy gặp người đi bộ và người đi
bộ gặp người đi xe đạp lần lượt là:
+ t
1
= AB/v

⇔
2( v
2
– v
3
) = v
1
– v
2

⇔
v
2
= (v
1
+ 2v
3
)/3 = (60 – 2.20)/3
≈
6,67 (km/h)
- Vậy vận tốc của người đi bộ là 6,67 km/h theo hướng từ B đến C
* Bài tập đơn giản vận dụng công thức cộng vận tốc trong chuyển động
thẳng đều có phương vuông góc
2
x
C
B
A
Câu 2: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa độ vuông góc Ox, Oy và
qua O cùng một lúc. Vật thứ nhất chuyển động trên trục Ox theo chiều


2112
vvv −=
. Do
1
v
vuông góc với
2
v
.
=> v
12
=
2
2
2
1
vv +
=
22
)28()6( tt +−++
=> v
12
=
100205
2
+− tt
.
Biểu thức trong căn của v
12

12
= 8/8,94
≈
0,895
=>
α
= 26,5
0
- Vậy v
12
đạt giá trị nhỏ nhất là 8,94m/s tại thời điểm t = 2s và hợp với Ox
góc 26,5
0
* Bài tập về chuyển động thẳng đều và ném xiên vận dụng công thức
cộng vận tốc trên một phương
Câu 3: Tại điểm O phóng một vật nhỏ với vật tốc ban đầu
01
v
( Hướng đến
điểm M ) nghiêng một góc
α
= 45
0
so với phương nằm ngang. Đồng thời tại
điểm M cách O một khoảng l = 20m theo đường nằm ngang một vật nhỏ
khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng OM theo chiều từ O đến M
với vận tốc v
2
= 7,1m/s. Sau một lúc hai vật va chạm vào nhau tại một điểm
trên đường thẳng OM. Cho gia tốc rơi tự do g = 10m/s

=> v
12x
= v
1x
– v
2
= v
01
cos
α
- v
2
: Điều kiện để vật 1 va chạm với vật
2 là v
12x
> 0

v
01
cos
α
- v
2
> 0 =>
0cos
2
2
2
>− v
α

2
/2 = 0 => t =
g
v
α
sin2
01
(3)
( t = 0 loại )
- Từ (2) và (3) suy ra:
201
cos vv
l
−
α
=
g
v
α
sin2
01
. Thay số vào ta có:
10
2
2
2
1,7
2
2
20

(thỏa
mản (1)).Vậy v
0 1
= 20(m/s).
* Các bài tập chuyển động thẳng đều khác phương
Câu 4: Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v
1
= 54km/h. Một hành
khách cách ô tô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô
tô. Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ nhất là bao
nhiêu để đón được ô tô?
Giải:
- Gọi ô tô là vật 1, hành khách là 2, mặt đất là vật 3
Muốn cho hành khách đuổi kịp ô tô thì trước hết
véc tơ vận tốc
21
v
của người ấy đối với ô tô
phải luôn hướng về phía ô tô và tại thời điểm
4
B
A
CH
13
v
23
v
21
v
E


⇔
AC
AN
BC
AE
=
hay
AC
v
BC
v
2313
=
=> v
23
=
113
.
BC
. v
AC
v
BC
AC
=

)(
113
vv =

β
= 90
0
=> (v
23
)
min
= sin
α
.v
1
=
1
v
a
d
=
)/(8,1054
400
80
hkm=
- Vậy, người đó phải chạy với vận tốc 10,8km/h theo hướng vuông góc với
AB về phía đường.
Câu 5: Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l. Chúng chuyển động
cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn lần lượt là v
1
, v
2
. Tàu A chuyển động
theo hướng AC tạo với AB góc

αβ
sinsin
BMAM
=

⇔

αβ
sinsin
21
tvtv
=
⇔
sin
β
=
α
sin
2
1
v
v
(1)
- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với
BA
một góc
β
thỏa mản (1)
- Cos
θ

1
2
2
2
21
vvvvv −+=
=>
)cos.cossin.(sin2)cos(sin)cos(sin
21
222
1
222
2
2
21
βαβαααββ
−−+++= vvvvv
5
β
α
θ
A
M
B
H
1
v
1
v
2

).sin.sin vv
αβ
−
+(
2
12
).cos.cos vv
αβ
+
= 0 + (
2
12
).cos.cos vv
αβ
+

( theo (1) )
=> v
21
=
βα
coscos.
21
vv +

Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là:
t =
βα
coscos
2121

những khoảng l
1
= 20km và l
2
= 30km.
Giải:
- Chọn các truc tọa độ Ox
1
, Ox
2
như hình vẽ.
- Mốc thời gian là lúc các tàu ở M
01
, M
02

( OM
01
= l
1
, OM
02
= l
2
)
- Phương trình chuyển động của các tàu là:
+ Tàu thứ nhất trên trục tọa độ Ox
1
:
x

. ta có:
1221
OMOMMM −=
=>(M
1
M
2
)
2
=OM
1
2
+ OM
2
2
– 2OM
1
OM
2
.cos(
21
,OMOM
)
- Đặt M
1
M
2
2
= f(vt) = (vt – l
1

1

≤
0 và x
2
< 0 => M
1
nằm giữa M
01
và O, M
2
nằm giữa
M
02
và O
=> (
21
,OMOM
) =
α
6
O
M
01
M
02
M
1
M
2

2
– 2(vt – l
1
)(vt – l
2
)cos
α
= 2(1-cos
α
)(vt)
2
– 2(l
1
+l
2
)(1- cos
α
)vt + l
1
2
– 2l
1
l
2
cos
α
+ l
2
2
+ Nếu xét t

1
– l
2
)
2
(3)
2. Xét khi l
1
< vt < l
2
: (D
2
) (4). Khi đó x
1
> 0 và x
2
< 0 tức là M
1
nằm
ngoài OM
01
, M
2
nằm trên đoạn OM
02
=> (
21
,OMOM
) = 180
0

1
)(vt – l
2
)cos
α
= 2(1-cos
α
)(vt)
2
– 2(l
1
+l
2
)(1- cos
α
)vt + l
1
2
– 2l
1
l
2
cos
α
+ l
2
2
+ f(vt) đạt giá trị nhỏ nhất tại vt = -
2
'

2
1
21






−
+






−
+
−






−
+
+


+
α
. So sánh các trường hợp (2), (3), (5)
=> (M
1
M
2
)
2
min
= f(vt)
min
=
2
12
)(
2
cos1
ll −
+
α
=> (M
1
M
2
)
min
=
)(7,8
2

21
ωω
>
.Chọn mốc thời gian là lúc các chất điểm và tâm thẳng hàng.
Viết biểu thức vận tốc của chất điểm thứ nhất đối với chất điểm thứ hai theo
thời gian t. Từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của vận tốc này.
Giải.
7
Sau khoảng thời gian t
Bán kính nối chất điểm
thứ nhất và tâm quét một
góc
t
11
ωα
=
.Bán kính
nối chất điểm thứ hai và
tâm quét một góc
t
22
ωα
=
. Vì
21
ωω
>

⇒
M

Vậy
2121
21
),(),( OMMOMOMvv ==
=
t)(
21
ωω
−
Vận tốc của chất điểm thứ nhất đối với chất điểm thứ hai là:
231213
vvv +=
hay
2121
vvv +=

2112
vvv −=⇔
),cos(2
21
21
2
2
2
1
2
12
vvvvvvv −+=
tvvvvv )cos(2
2121

21
=− t
ωω
=> (v
12
)
min
=
22112211
2
22
2
11
2)()( RRRRRR
ωωωωωω
−=−+
v
12
đạt giá trị lớn nhất khi
1)cos(
21
−=− t
ωω
=> (v
12
)
max
=
22112211
2

v
12
v
1
v
Xác định vận tốc của chất điểm đối với mặt đất tại thời điểm t =
ω
π
4
.
Giải:
- Do véc tơ vận tốc trong chuyển động tròn đều có phương tiếp tuyến
với đường tròn quỹ đạo. Vậy tại thời điểm ban đầu chất điểm ở A
Sau thời điểm t chất điểm ở B, bán kính quỹ đạo quét được góc
44
π
ω
π
ωωϕ
=== t
=>
42
),(
0
π
ϕ
π
=−=vv

- Vận tốc chất điểm đối với mặt đất:

Câu 9: Coi quỹ đạo chuyển động của Mặt Trăng quay quanh Trái Đất
và Trái Đất quay quanh Mặt Trời cùng thuộc một mặt phẳng và cùng là
chuyển động tròn đều. Các chuyển động quay này là cùng chiều và có chu
kỳ quay lần lượt là T
M
=27,3 ngày và T
Đ
= 365 ngày. Khoảng cách giữa Mặt
Trăng và Trái Đất là R
M
=3,83.10
5
km và giửa Trái Đất và Mặt Trời là
R
Đ
=149,6.10
6
km.Chọn mốc thời gian là lúc Mặt Trời, Trái Đất,
Mặt Trăng thẳng hàng và Trái Đất nằm giữa ( lúcTrăng tròn).
1. Tính khoảng thời gian giữa hai lần trăng tròn liên tiếp.
2. Coi Trái Đất, Mặt Trăng là các chất điểm.Viết biểu thức tính vận tốc
của Mặt Trăng đối với Mặt Trời. Từ đó suy ra vận tốc nhỏ nhất, tìm vận tốc
này
Giải:
9
T
1
T
1
D

1. Xét trong khoảng thời gian ngắn
t∆
, Trái Đất quay quanh mặt trời góc
1
α
∆
,Mặt Trăng quay quanh Trái Đất góc T
1
D
2
T
2
=
2
α
∆
. Do T
M
< T
D
=>
2
α
∆
>
1
α
∆
* Xét chuyển động quay của Mặt Trăng trong hệ quy chiếu gắn với Trái
Đất và Mặt Trời (đoạn DS xem là đứng yên ). Trong khoảng thời gian

DM
ωωω
−=
DMDM
TTTTTT
111222
−=⇔−=⇔
πππ
Vậy chu kỳ quay của Mặt Trăng trong hệ quy chiếu DS là:

5,29
3,27365
365.3,27
D
=
−
=
−
=
M
DM
TT
TT
T
( ngày).
=> Khoảng thời gian giữa hai lần Trăng tròn liên tiếp là 29,5 ngày
2. Gọi vận tốc của Mặt Trăng quay quanh Trái Đất và vận tốc của Trái Đất
quay quanh Mặt Trời là
T
v

2
)
- Vận tốc của Mặt Trăng quanh Mặt Trời ở thời điểm t là:
DTTM
vvv +=
=>
tvvvvvvvvv
DTDTDTDTTM
ωα
cos2cos2
22222
++=∆++=
=
t
T
R
T
R
T
R
T
R
T
D
M
MD
M
M
πππππ
2

T
R
T
R
v
DM
DM
D
D
M
M
TM
π
π
2
cos22
2
2
2
2
++=
. Vận tốc v
TM
đạt giá trị nhỏ nhất khi
1
2
cos −=t
T
π
.







+








ππ
Thay số: T
M
= 27,3 ngày = 655,2 giờ, T
D
= 365 ngày = 8760 giờ
(v
TM
)
min
= 2
4
65
10.354,10
8760

14
V
vuông
góc với
24
V

⇒
V
12
=
2
2
2
1
2
24
2
14
VVVV +=+
-Vận tốc của mày bay đối với không khí:

123132
VVV +=
Do
12
V
nằm trong mặt phẳng (P) = mp(
14
V

một xung lực làm cho nó đat vận tốc v
o
, hướng của v
o
thẳng góc với dây. Tính vận tốc của các quả cầu và
lực căng sợi dây tại thời điểm hai sợi dây nối các quả cầu m hợp với nhau
góc 120
0
Giải.
- Do sàn nhẳn nên hệ ba quả cầu là hệ kín. Khối tâm của hệ chuyển động
với vận tốc:
G
V
=
222
2
2
ooo
V
mm
Vm
mM
VM
=
+
=
+
khối tâm của hệ chuyển động cùng hướng với
0
V

2
o
V−
- Động lượng của hệ trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm:
11
24
v
14
v
12
v
32
v
31
v
Tây
Đông
Bắc
Nam
0
V
m m
M
M
m m
V
120
0
= 2
T T

= u. Vận tốc của các
quả cầu m đối với quả cầu M là:
,
1M
V
M
V
2
(
,
1M
V
M
V
2
) = 120
0
(Do
,
1M
V
M
V
2
vuông góc với các sợi dây).
G
V
1
=
M

MG
V
+m(
M
V
1
+
MG
V
)+m(
M
V
2
+
MG
V
) = 0
=> (M+2m)
MG
V
+ m(
M
V
1
+
M
V
2
) = 0 thay M = 2m => 4
MG

cos
α
- V
1M
cos
α
= 0
(V
1M
= V
2M
) =>V
1M
=
α
cos
2
MG
V
=
2/1
2u
= 4u
MGMG
VVV +=
11
⇒
V
1G
2

α
α
2
V
1
V
G
V
2
G
V
1
G
V
β
β
(T ừ hình vẻ (1)
α
−=⇒
0
1
180),(
MGM
VV
)
= u
2
+ (4u )
2
+ 2.4u.u.cos120

222
−+
=
13
13−
- Tại thời điểm (
MM
VV
21
;
)=120
0
. Vận tốc của các quả cầu m là
1
V
,
2
V
.Vận
tốc quả cầu M là
V
.
1
V
=
G
V
1
+
G

) = (
G
V
,
G
V
2
) =
β
.
⇒
V
1
2
= V
G
2
+V
1G
2
+2V
G
V
1G
cos
β
= V
0
2
/4 + 13u

⇔
V = u
+ V
0
/2 .Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng được:
2
1
MV
0
2
=
2
1
MV
2
+
2
1
m V
1
2
+
2
1
mV
2
2
. Thay M = 2m và V
1
=V


⇔
V
0
2
= 14u
2
+
2
2
0
V

⇒
u =
14
7
V
0
. Vậy V =
0
14
)71(7
V
+
;
13
V
1
= V

1
=
l
um
2
16
=
=
l
mV
28
16
2
0
l
mV
7
4
2
0

II- CHUYN NG TRONG H QUY CHIU Cể GIA TC:
- Từ công thức:
13
V
=
12
V
+
23

V
+
23
'
V
-
23
V

231213
VVV +=

t
V


13
=
t
V


12
+
t
V


23



Giải:
14
1) Xét m trong hệ quy chiếu gắn với M
Vật m chịu tác dụng của trọng lực
gm
, phản lực
N
, lực ma sat
1ms
F
và lực
quán tính
q
F
a) Khi m nằm yêu trên M
q
F
+
1ms
F
+
mg
+
N
= 0

q
F
+

q
F
+
1
ms
F
+
mg
+
N
= m .
12
a

q
F
+
1
ms
F
= m .
12
a

F
q
F
ms1
= m . a
12

N
.
- Vật M chịu tác dụng của trọng lực
2
P
, phản lực
'
N
(N=N
,
) do m tác dụng,
phản lực
Q
do sàn tác dụng, lực ma sát do m tác dụng
1
'
ms
F
và lực
2ms
F
do
s n tác dụng.
Ta có: (F
ms1
)
Max
= (F
ms1
)

Max
< (F
ms2
)
Max
(F
ms1
=F
,
ms1
)

M luôn nằm yên đối với sàn
Vậy muốn m trợt trên M thì F > (F
ms1
)
max
= F
ms1Trợt.


F > 1,5N.
15
2ms
F

F

,
1ms

khi đó M cũng phải trợt đối với sàn. Do đó các lực ma sát đều là lực ma sát tr-
ợt.
Vật M chuyển động với gia tốc
2
a
đối với sàn:
2
P
+
N

+
Q
+
F
+
1
ms
F
+
2ms
F
= M
2
a

F - F

ms1


21
+
àà
Xét m trong hệ quy chiếu gắn với M vật m chịu tác dụng của
1
P
,
N
,
q
F
,
1
ms
F
, m trợt trên M thì F
q
>( F
ms1
)
ma x


m . a
2
>
à
1
mg



không đổi.
Một hòn bi nhỏ, khối lợng m, có thể trợt không ma sát
trên OA và đợc nối với điểm O bằng một lò xo có độ cứng K
và có chiều dài tự nhiên là l
0
. Tìm vị trí cân bằng của bi?.
Giải :
Xét hệ quy chiếu găn với thanh OA.
Viên bi chịu các lực :
+ Trọng lực
P
, phản lực
N
của thanh vuông góc với OA
+ lực quán tính li tâm: F
q
= m.a = m .

2
r = m

2
l . sin

.
+ Lực đàn hồi của lò xo
F
Giả sử lò xo bị giản thì F = K ( l l
0

2

= 0
16
q
F

N

P

0

0

q
F

2ms
F

F

,
1ms
F

,
N


Chiếu (*) lên OA ta đợc:
- F + mg Cos

- F
q
. sin

. = 0

- K (l
0
l) + mg Cos

- F
q
. sin

. = 0.
K (l
0
l) + mg Cos

- F
q
. sin

. = 0.
Giải ra đợc l thoả mãn (1).
Câu 3: Cho hệ nh hình vẽ, thang máy đi lên
với gia tốc

2
P
lực căng dây
2
T
,
0
a
lực quán tính
2q
F
, (T
1
= T
2
= T).
Giả sử m
1
chuyển động duống dới với gia tốc
1
a
thì m
2
chuyển lên với gia tốc
2
a
( a
1
= a
2

+
2q
F
+
T
= m
2
2
a


T F
q2
P
2
= m
2
a (2)
Cộng (1) và (2)

P
1
+ F
q1
F
q2
P
2
= (m
1

1
đối với đất:
17
m
1
m
2

1
T

1q
F

1
P

1
T2
P

2q
F
1
a

,


21
021
))((
mm
agmm
+
+
=
21
1202
)(2
mm
gmmam
+
+
Gia tốc của m
2
đối với đất
02
,
2
aaa +=


a
,
2

= a

Câu 4: Vật khối lợng m đứng yên ở đỉnh một cái nêm nhờ mat sát. Tìm thi
gian vật trợt hết nêm và gia tộc của vật đối với đất. Khi nêm chuyển động
nhanh dần đều sang trái với gia tốc
0
a
. Hệ số ma sát trợt giữa mặt nêm và m là
à
chiều dài mặt nêm là l, góc nghiêng là

và a
0
< g

ancot

Giải:
ms
F

N

q
F

P

0
a

x

- Fq.Sin

= mg Cos

- ma
0
.Sin

= m (g Cos

- a
0
.Sin

).
Do a
0
< g

ancot


N > 0 : (Vật luôn nằm trên nêm).
F
ms
=
à
. N =
à
m (g Cos

0
.Sin

) = ma

a = (Sin

-
à
. Cos

) g + ( Cos

+
à
.Sin

).a
0
(1)
Từ phơng trình: S =
2
1
at
2


l =
2
1

2 aa
= a
2
+
0
a
2

+ 2a . a
0
. cos ( 180
0
-

).
= a
2
+ a
0
2
2a. a
0
cos


a
,
=

Cosaaaa 2

12
1
amFFNP
msq
=+++
(*).
Chiếu (*) lên oy: N + F
q
.Sin

- mg cos

= 0

N = mg Cos

- F
q
.Sin

= mg Cos

- ma
2
. Sin

(a
2
l gia tc ca
M i vi mt t )


N. Sin

- F
ms
. Cos

= M.a
2
(Theo nh lut III Niu Tn N=N

,F
ms
=F

ms
)

N. Sin

-
à
N. Cos

= M.a
2
Thay biểu thức của N vào ta đợc:
m(gCos

- a

2

+
à
ma
2
Sin

Cos

= Ma
2

a
2
=
à
à
CosSinmmSinM
CosmgCosSinmg2
2
+

(1)
Chiếu (*) lên ox ta đợc:
P
1

- a
2
Sin

) + ma
2
.Cos

= m.a
12

a
12
= g.( Sin

-
à
Cos

) + a
2
(
à
Sin

+ Cos

).

a

0

1
P

Q

,
N

2
P

,
ms
F

x
là không đáng kể. Tác dụng một lực F theo phơng nằm ngang vào Q nh thế nào
để ngăn không cho khối K trợt trên khối Q.
Giải

Gọi gia tốc của M đối với mặt phẳng x là
a

khối K trong hệ quy chiếu gắn với Q
nằm yên thì:
q
F
+

= 0
N
1
mgCos

- maSin

= 0


a= gtg

; N
1
= mg

cos
+ mg

tansin


a= gtg

; N
1
= mg ( Cos

+


.Sin

+ M.a
= N
1
.Sin

+ M.a
=

Cos
mg
. Sin

+ Mg

tan
; F= g

tan
(M+m).
21

X
1
P

2
P


+ Chuyển động thẳng biến đổi đều và ném xiên.
- Có lẻ tô bài viết của tôi có nhửng sai sót nhất định.Mong các thầy cô giáo,các
em học sinh góp ý đính chính,bổ sung để bài viết được tốt hơn.22