1

PHẦN 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
A. TĨNH HỌC

 Tĩnh học là một phần nội dung của cơ học vật rắn tuyệt đối khảo sát sự cân bằng của vật
thể dưới tác dụng của lực.
 Hai vấn đề cơ bản hay còn gọi là hai bài toán cơ bản trong phần này là: Khảo sát tác dụng
của hệ lực lên vật rắn và điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực và những
ứng dụng để giải quyết các bài toán kỹ thuật.
 Phương pháp nghiên cứu trong phần tĩnh học là phương pháp tiên đề kết hợp phương
pháp mô hình.
 Các kết quả nghiên cứu trong tĩnh học sẽ được áp dụng để giải thích các hiện tượng thực
tế, đồng cũng là cơ sở để học các môn sức bền vật liệu, cơ học kết cấu và một số môn học
cơ sở và chuyên môn khác. 2

Chương 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 3

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1 Chất điểm, hệ chất điểm, vật rắn tuyệt đối, vật rắn cân bằng hệ quy chiếu và hệ đơn vị

Bảng 1.1a: Bảng ký hiệu đơn vị các đại lượng cơ bản
Đại lượng cơ bản
Hệ đơn vị SI Hệ đơn vị US
Đơn vị Ký hiệu Đơn vị Ký hiệu
Chi
ều d
ài

Mét

m

Foot

f
t

Khối lượng Kilogram kg Slug slug
Lực Newton N Pound lb
Thời gian Giây s Second sec Vật rắn biến dạng
Vật rắn tuyệt đối
4

Bảng 1.1b: Một số tiền tố
Tên gọi Ký hiệu Quy đổi
Tera


3

Micro µ 10
-
6

Nano n 10
-
9

Pico p 10
-
12

Femto f 10
-
15

Atto

a

10
-
18

Bảng 1.2: Một số đơn vị được sử dụng trong cơ học
Đại lượng Đơn vị cơ bản Ký hiệu SI
Chiều dài Mét m
Khối lượng Kilogram kg

2
kg.m
2

Động lượng Kilogram.mét/giây kg.m/s
Xung lượng Newton.giây N.s
Mô men động lượng Kilogram.mét/giây
2

kg.m/s
2

Công, Năng lượng Jun J (= N.m)
Công suất Wat W (= J/s)
Áp suất, Ứng suất Pascal Pa (= N/m
2
)
T
ầng số

Hertz

Hz (= s
-
1
)

Th
ể tích


1 inch
1 mile
1 ft
1 in
1 mi
mét
centimét
kilomét
0.305

m

2.540 cm
1.609 km
Khối lượng 1 oz mass
1 pound mass
1 slug
1 ton
1 ozm
1 lbm
1 slug
2000 lbm
gram
kilogram
kilogram
kilogram
28.35 g
40.454

kg

Năng lượng 1 foot.pound 1 ft.lb Jun 1.356 J
Công suất 1 foot.pound/second
1 horsepower
1 ft.lb/sec
550 ft.lb/sec
Wat
Wat
1.356 W
745.7 W
Gia tốc 1 foot/second
2
1 inch/second
2
1 ft/sec
2
1 in/sec
2
mét/giây
2
mét/giây
2
0.305 m/s
2

0.025 m/s
2

1.1.2 Lực, hệ lực, hệ lực cân bằng
a. Lực:
Là thước đo tác dụng tương hỗ về cơ học giữa các vật thể

Độ lớn
Phương
6

d. Hệ lực cân bằng:
Là hệ lực khi tác dụng lên một vật rắn cân bằng mà
không làm mất trạng thái cân bằng của nó. Ký hiệu:
1 2 3
( , , , , ) 0
n
F F F F

   
(1.2)
e. Hệ lực tương đương:
Hai hệ lực được coi là tương đương với nhau khi thay
thế hệ lực này bằng hệ lực khác thì kết quả tác dụng lên vật
thể không thay đổi. Ký hiệu:

Hình 1.4: Hệ lực tác dụng lên vật rắn
1 2 3 1 2 3
( , , , , ) ( , , , , )
n n
F F F F P P P P

       
(1.3)
f. Hợp lực của hệ lực:
Là lực duy nhất tương đương với hệ lực đã cho. Ký hiệu:
1 2 3

và chiều của véctơ biểu diễn lực).
 Giá trị: Bằng tích độ lớn của lực nhân
với khoảng cách từ lực tới điểm O.
( ) .

 
O
m F d F
(1.5)
 Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft…
Từ định nghĩa có thể biểu diễn mô men của
lực đối với điểm O:

Hình 1.6: Cách biểu diễn mô men

( )
O
m F r F
 
 
 
(1.6)
Trong hệ tọa độ Descartes Oxyz có các véc tơ đơn vị
, ,
i j k

 
và hình chiếu của
F


n
B

F
3
C

D

7

Hay:
( ) ( ) ( ) ( )
O
z x z y x
m F yF zFy i zF xF j xF yF k
     
    
(1.8)
Hình chiếu véctơ mô men trên các trục tọa độ khi đó có thể xác định:
z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
O y
x
O x z
y
O y x
z

 
(1.10)
Nếu điểm O nằm trên đường tác dụng của lực có nghĩa là
r

và
F

song song với nhau nên tích của nó
bằng không.
 Mô men của hai lực trực đối nhau thì triệt tiêu.
Giả sử hai lực
1
F F
 
 
(trực đối nhau), thì:
1 1
( )
( ) ( ) ( )
O
O O
m F r F
m F r F r F r F m F
 
         
   
         
(1.11)
Điều cần chứng minh đã được làm rõ.

A

d

8

Mô men có giá trị dương khi nó có tác dụng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ, trong trường hợp
ngược lại nó có giá trị âm.
Nó cũng thỏa mãn các tính chất:
1. Mô men của một lực với một điểm nằm trên đường tác dụng của nó thì bằng 0.
2. Mô men của hai lực trực đối nhau thì triệt tiêu.
3. Muốn hợp các mô men cùng nằm trên mặt phẳng ta dùng phép cộng đại số.
1.2.2 Mô men của lực đối với một trục
a. Định nghĩa:
Mômen của lực F đối với trục

ký hiệu là
( )
m F


là đại lượng đại số có giá trị bằng mômen của lực
F’ đối với điểm O, với F’là hình chiếu của lực F lên mặt phẳng

vuông góc trục

. O là giao điểm giữa
trục

và mặt phẳng


thì F’ = 0. Còn
khi
F

cắt

thì d = 0.
Do vậy, trong cả hai trường hợp thì
( )
m F


đều bằng 0.
Ta thấy, trong cả hai trường hợp này đường tác dụng của lực
F

và

là đồng phẳng. Do đó khi xét hệ lực
đồng phẳng và trục cũng nằm trong mặt phẳng ấy thì mô men của hệ lực với đối với trục cũng triệt tiêu.
1.2.3 Quan hệ giữa mô men của lực đối với một điểm cố định với mô men của lực đối với
trục đi qua điểm cố định đó
Quan hệ giữa mô men của một lực đối với một điểm và mô men
của nó đối với trục đi qua điểm đang xét được mô tả qua định lý sau.
 Định lý:
Mô men của lực F đối với trục

bằng hình chiếu lên trục



F

1
r F



2
r F



r F



9

 Chứng minh:
Ta phân tích:
1 2
F F F
 
  
.
Ta có:
1 2
( )
( )

     

  
 

Rõ ràng:
2
/ 0
r F

 
 
 


và
1 1
/
r F r F

 
  
 
 
 
.
Như vậy:
1
( ) ( )
/

  
 
 
  
 
 

 

 

(1.16)
Ví dụ 1.1
Hãy xác định tổng mô men tác dụng lên điểm P bởi lực W
1

và đối trọng W
2
ở hình 1.11.
Giải:
 Phân tích các lực tác dụng lên hệ như hình vẽ.
 Hai lực gây mô men tại điểm P đó là:
1
W

và
2
W

.

N.m

 Hình 1.12c :
0
40(4 2cos30 ) 229
O
M   
lb.ft
Hình 1.11: Minh họa ví dụ 1.1
 Hình 1.12d :
0
60(1sin 45 ) 42.4
O
M  
lb.ft

 Hình 1.12e : 7(4 1) 21.0
O
M   
kN.m
10

x
và F
y
quanh điểm O ta được:
0 0
( ) ( )
400sin30 (0.2) 400cos30 (0.4)
-98.6 N.m
O O x O y
M M F M F 
 

 
Hình 1.13: Minh họa ví dụ 1.3
Ví dụ 1.4:
Hãy xác định mô men của lực F = 600 N gây ra tại điểm O
(hình 1.14) bằng 5 cách khác nhau.
Giải:
 Sử dụng công thức M = F.d trong đó:
0 0
4 cos40 2 sin 40 4.35
600
d
F

  




 


N
N

Lúc này ta có:
4. 2. 4(460) 2(386)
2610
O x y
M F F
   

N.m

 Trượt lực F dọc theo đường tác dụng của nó về điểm B, sau
đó phân tích lực F làm 2 thành phần F
x
và F
y
, trong đó thành phần
F
y
không gây ra mô men tại O (vì F
y
qua O). Do đó mô men tại O
sẽ là:
1

không gây ra mô
men tại O (vì F
x
qua O). Do đó mô men tại O sẽ là:

2
.
O y
M F d

Trong đó:
0
2
2 4. 40 6.77
d   
cotg m

Lúc này ta có:
2
. 3.86(6.77) 2610
O y
M F d  
N.m

 Sử dụng biểu thức véc tơ mô men:
O OA
M r F
 



460 386 0
O
i j k
M
 
 

 
 

 

 

     
4(0) 0( 386) . 0(460) 2(0) . 2( 386) 4(460) . 2610.i j k k
 
         
 
 
 
N.m

Dấu “-“ chứng tỏ M
O
có chiều ngược với trục z và có trị số là:
2610
O
M 
N.m

Hình 1.15: Minh họa ví dụ 1.5
12

1.3 NGẪU LỰC
1.3.1 Khái niệm về ngẫu lực
Ngẫu lực là cặp lực song song trái chiều và có cùng
cường độ. Trong hệ lực không gian ngẫu lực được quy ước
như một đại lượng véctơ và có các đặc trưng như sau:
 Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa các lực.
 Chiều: Đứng từ đầu ngọn thấy ngẫu làm vật quay ngược
chiều kim đồng hồ.
 Cường độ: M = d.F (d: khoảng cách giữa hai đường tác
dụng của hai lực ngẫu, F: giá trị của lực).
 Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft, kip.ft.

Hình 1.16: Minh họa ngẫu lực
1.3.2 Các tính chất của ngẫu lực
a. Tính chất 1:
Mô men đối với điểm bất kỳ nào đó của cặp ngẫu lực luôn luôn
không đổi và bằng véctơ mô men của ngẫu lực.
b. Tính chất 2:
Véctơ mô men của ngẫu lực bằng véctơ mô men của lực thành
phần thứ nhất đối với điểm bất kỳ nào đó trên đường tác dụng của lực
thành phần thứ hai.
Chứng minh:
Giả sử ta có cặp ngẫu
( , )
F F

 

Hình 1.17: Minh họa tính chất 1,2
của ngẫu lực
c. Tính chất 3: Hai ngẫu lực có véctơ mô men bằng nhau thì tương đương với nhau.

Hình 1.18: Minh họa tính chất 3 của ngẫu lực
Sự chuẩn xác của nhận xét trên được minh chứng bởi hai tính chất sau:
 Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, có cùng chiều, và cùng giá trị thì tương đương nhau.
 Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng hay đến mặt phẳng song
song với chính nó.
Từ đây ta có thể suy ra:
 Ngẫu lực là véctơ tự do.
 Tác dụng của ngẫu sẽ không thay đổi nếu ta thực hiện các phép biến đổi mà không làm thay đổi
phương chiều và cường độ của véctơ mô men.
13

d. Tính chất 4:
Hợp hai ngẫu lực được một ngẫu lực có véctơ mô men
bằng tổng các véctơ mô men của hai ngẫu lực đã cho.
Ví dụ 1.6
Khối trụ chịu tác dụng của một ngẫu lực gồm hai lực
song song ngược chiều và có độ lớn 100 N (hình 1.20). Để
thay thế ngẫu lực này người ta tác dụng vào khối trụ hai
lực P và –P, mỗi lực có độ lớn 400 N. Hãy xác định góc


trong trường hợp này.

Hình 1.19: Minh họa tính chất 4 của ngẫu lực
Giải:
 Ngẫu lực do hai lực ban đầu sinh ra có độ lớn là:

2
, d
3
. Chọn chiều dương ngược chiều kim đồng hồ,
chúng ta có:

Hình 1.20: Minh họa ví dụ 1.6
1 1 2 2 3 3
-200(4) 450(3)-300(5) -950 lb.ft
R
M M F d F d F d    
  
 

Như vậy, tổng ngẫu lực tác dụng lên tấm phẳng có độ
lớn là
950 lb.ft
R
M

. Dấu trừ chứng tỏ nó quay cùng
chiều kim đồng hồ.
1.4 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
Toàn bộ lý thuyết của phần tĩnh học được xây dựng
trên 6 tiên đề dưới đây:
1.4.1 Tiên đề 1 (Hệ hai lực cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để hai lực cân bằng là chúng có
cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, có cùng
cường độ và cùng điểm đặt.


  
, theo tiên đề 2 ta có:



'( ', '')
F F F F
   Hình 1.23: Cách chứng minh hệ quả 1
Theo tiên đề 1, hai lực
( , '')
F F
 
là các lực cùng phương ngược chiều và cùng giá trị nên cân bằng và
theo tiên đề hai ta có thể bớt khỏ hệ lực, như vậy hệ lực sẽ tương đương với
'
F

đặt B hay nói cách khác đi
có thể trượt
F

trên đường tác dụng của nó từ A đến B mà không làm thay đổi sự tác dụng của nó lên vật
rắn. Quá trình được minh họa như sau:





và tất nhiên vẫn là hệt lực cân bằng và
điều tất nhiên là
1
'
F R

 
có nghĩa là
1
( , ')
F R
 
trực đối với nhau, hệ quả được chứng minh.
1.4.3 Tiên đề 3 (Hình bình hành lực)
Hai l
ực tác dụng l
ên m
ột vật rắn tại c
ùng m
ột điểm sẽ t
ương
đương với một lực đặt tại điểm chung đó và có giá trị phương và
chiều được biểu diễn bằng véctơ tổng hai véctơ biểu diễn hai lực
thành phần.
1 2
R F F
 
  
(1.17)
Từ tiên đề 3 cho phép chúng ta tìm hợp lực của hệ gồm nhiều

x
y
F
x
F
y
R

F
x
x
F
y
y
z
F
z
F

F’
2
=F
2
F’
4
= F
4
F
3
’= F

Giải:
 Áp dụng tiên đề hình bình hành lực ta xác định được hợp
lực F
R
. Cách xác định được thể hiện trên hình 1.30b.
 Xác định F
R
bằng cách sử dụng định lý Cosin trong tam
giác, được thể hiện trên hình 1.30c.
2 2 0 2 2 0
1 2 1 2 1 2 1 2
2 cos115 2 cos65
R
F F F F F F F F F     (a)
Hóa rắn
Giải phóng
liên kết
16 Hình 1.30: Minh họa ví dụ 1.8
Ta có:
2 2 0
100 150 2(100)(150)cos65
10000 22500 30000(0.4226) 212.6 N
213 N
R

trục y.

Hình 1.31: Minh họa ví dụ 1.9
Giải:
 Dựa vào tiên đề 3 ta xác định được hợp lực như hình 1.31b.
 Áp dụng định lý Sin trong tam giác như hình 1.31c ta có:
0 0
200
245 lb
sin60 sin 45
F
F  

0 0
200
273 lb
sin 75 sin 45
R
R
F
F  
17

Ví dụ 1.10
Hãy xác định góc

hợp bởi thanh A và tấm tôn như hình 1.32a để cho hợp lực F

0 0 0 0 0
180 90 54.93 50 94.93

    

 Áp dụng định lý Cosin ta tìm được hợp lực F
R
:
2 2 0
8 6 2(8)cos94.93
10.4 kN
R
F   

Hình 1.32: Minh họa ví dụ 1.10
Ví dụ 1.11
Hợp lực F
R
của hai lực hoạt động tác
dụng lên khúc gỗ có phương dọc theo trục x
và có độ lớn là 10 kN. Hãy xác định góc

của
dây cáp mắc vào B để cho F
B
đạt giá trị nhỏ
nhất. Độ lớn của lực ở mỗi dây cáp trong

  
.

a)

b)

0
90


6 kN
8 kN
0
50
R
F
c)

0
90


0
50
0
40
6 kN
8 kN
0

Là vật thể có thể di chuyển trong không gian theo thời gian mà không chịu bất kỳ một ràng buộc hay
cản trở nào.
b. Vật rắn không tự do (hay còn gọi vật rắn chịu liên kết):
Là vật rắn mà chuyển động của nó theo hướng nào đó bị ngăn trở bởi một vật khác.
Vật cản trở chuyển động đó gọi là vật gây liên kết.
c. Liên kết:
Những điều kiện cản trở di chuyển của vật khảo sát được gọi là những liên kết đặt lên vật ấy.
1.5.2. Lực liên kết, lực hoạt động và phản lực liên kết.
a. Lực liên kết:
Những lực đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật có liên kết với nhau qua chỗ tiếp xúc hình học.
b. Lực hoạt động:
Những lực tác dụng lên vật khảo sát có thể gây ra chuyển động nếu không có liên kết.
c. Phản lực liên kết:
 Phản lực liên kết: Là lực tác dụng của vật liên kết lên vật rắn khảo sát
 Áp lực: Lực liên kết do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết.
1.6 CÁC DẠNG LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT CỦA NÓ
1.6.1 Liên kết tựa
Mặt tiếp xúc nhẵn phản lực liên kết có phương trùng với
pháp tuyến chung của mặt tiếp xúc.
Khi hai bề mặt nhám (có ma sát), phản lực liên kết có hai
thành phần:
 Pháp tuyến
 Tiếp tuyến (ma sát)
1.6.2 Liên kết dây mềm Hình 1.34: Liên kết tựa

Khi dây không có trọng lượng (trọng lượng nhỏ), sức căng
theo trục của dây.
2. Liên kết tựa trên mặt phẳng gồ ghề 3. Con lăn chuyển động trên đường ray Ph
ản lực li
ên k
ết có ph
ương
vuông góc với mặt tựa tiếp xúc
Ngoài phản lực pháp tuyến
còn có phản lực ma sát.
Ngoài phản lực pháp
tuyến còn có phản lực
theo phương ngang để
cho con lăn không trượt
khỏi rãnh.
20

4. Khớp cầu 5. Ngàm 6. Ổ đỡ chặn 22

2.1 PHÂN LOẠI HỆ LỰC
Như đã biết: Hệ lực là hệ thống gồm các lực cùng tác dụng lên một vật thể. Tùy thuộc vào đường tác
dụng của các lực mà người ta phân ra các hệ lực như sau:

2.1.1 Hệ lực tổng quát (hệ lực không gian)

Là hệ lực có các lực phân bố trong không gian, bao gồm các
lực và ngẫu lực. Hình 2.1: Hệ lực không gian
2.1.2 Hệ lực đồng quy

Là hệ lực có đường tác dụng của các lực gặp nhau tại một
điểm. Hình 2.2: Hệ lực đồng quy
2.1.3 Hệ lực song song

Là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng song song với
nhau.
Xét một dầm thẳng chịu tác dụng của hệ lực song song phân bố
như hình 2.6 theo quy luật:
( )
w w x

 
(2.1)
Giá trị của lực phân bố cũng theo quy luật:

Hình 2.6: Hệ lực phân bố
( )
w w x

(2.2)
( )
w w x

- gọi là cường độ của phân bố lực trên dầm theo chiều dài.
Ta chỉ xét hàm
( )
w w x

đơn trị. Để tìm véctơ chính và mô men chính cũng như hợp lực của hệ lực
phân bố ta chia nhỏ dầm thành n đoạn. Xét đoạn dầm
i
x

. Hệ lực phân bố trên đoạn
i
x


 

(2.4)
Cho n  ta có:




n
i
ii
n
xxwR
1
,
).(lim
(2.5)
Hay :


l
dxxwR
0
)( (2.6)
Ta nhận thấy rằng: Giá trị véctơ chính của hệ lực phân bố chính bằng diện tích của biểu đồ lực phân bố
và đây cũng chính là giá trị của hợp lực.
Mô men của lực phân bố trên đoạn
i
x với điểm O có thể tính bởi công thức:

o
dxxw
xdxxw
R
M
d
0
0
)(
)(
(2.9)
a.

Cường độ lực phân bố đều
:

[w(x) = w]

Hợp lực của hệ lực:
wLwdxR
l


0
(2.10)
Khoảng cách điểm đặt đến đầu dầm:
2
0
0
L

L
x
wR
l


(2.12)
Và khoảng các từ điểm đặt của hợp lực đến đầu dầm:

Hình 2.8: Hệ lực phân bố tam giác
2
0
2
0
.
2
3
3
.
2
l
l
x
w L
w xdx
L
L
d L
w L
x

2 2 1
1
2
R w w L
 

2.2 VÉCTƠ CHÍNH VÀ MÔ MEN CHÍNH CỦA HỆ LỰC
2.2.1 Véctơ chính
Véctơ chính của hệ lực
'
R
là tổng hình học của các véctơ biểu diễn
các lực thuộc hệ lực.

Hình 2.9: Cường độ lực phân bố
hình thang


1 2 3
'
n i
R F F F F F
     

     
(2.14)
Chiếu lên các trục tọa độ ta được:
'
1 2
'

lực đối với tâm O.
1 2
( ) ( ) ( )
O
O O O
n
M m F m F m F
   
      
(2.16)
Chiếu lên các trục tọa độ ta được:
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n i
Ox x x x x
n i
Oy y y y y
n i
Oz z z z z
M m F m F m F m F
M m F m F m F m F
M m F m F m F m F

    

