MỤC LỤC
Mục Trang
I. Lý do chọn đề tài 2
II. Cơ sở lí luận 2
1. Đặt vấn đề 2
2. Các biện pháp thực hiện 2
III. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài 3
1. Thuận lợi 3
2. Khó khăn 3
IV. Nội dung đề tài 3
1. Một số kiến thức liên quan 3
2. Nội dung 4
3. Bài tập rèn luyện 13
V. Kết quả 14
VI. Bài học kinh nghiệm 14
VII. Kết luận 15
VIII. Tài liệu tham khảo 15
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
1
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 CÁCH PHÂN TÍCH
MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong Hình học lớp 10, chương Vectơ là chương đầu tiên và cũng là phần
kiến thức mới đối với các em học sinh. Ở lớp 10, vectơ được áp dụng để chứng
minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để
trình bày phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Ngoài ra, các kiến thức về vectơ
còn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo
hai lực thành phần…
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là bài toán ngược
của bài toán tính tổng của hai vectơ theo quy tắc hình bình hành, việc phân tích

2
khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh
có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề.
Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này: Từ bài tập đơn
giản trong SGK (Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10), với cách giải là áp
dụng phương pháp có sẵn, nhưng ta thấy:
* Có nhiều cách trình bày giải khác nhau.
* Từ một bài toán cụ thể ta có thể mở rộng ra những bài toán tổng quát,
nâng cao.
* Kết quả của bài toán này có thể sử dụng để làm bài toán khác.
III. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
CỦA ĐỀ TÀI.
1.Thuận lợi:
- Các em được học “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương” sau khi đã học các phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân một vectơ
với một số và các tính chất của các phép toán đó. Các em so sánh được các phép
toán trên vectơ và các phép toán trên các tập hợp số đã học.
- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương có áp dụng trong
một số bài toán có nội dung vật lý liên quan đến thực tế.
- SGK, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ.
- Đa số các em chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơ bản ở các
lớp dưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập.
2. Khó khăn:
- “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” là một mục nhỏ
trong bài “Tích của vectơ với một số” thời gian học khoảng 10 đến 15 phút. Bài
tập dạng này là bài mới và khó đối với các em mới được học về vectơ, không có
thời gian luyện tập, nhiều em còn lúng túng trong việc tìm cách giải và cách
trình bày bài giải.
- Các bài tập trong SGK còn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ
năng giải bài tập cho HS.

⇔
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
+ Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có:
3OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
.
• Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( )
, 0a b b ≠
r r r r
cùng phương
:k a k b⇔ ∃ =
r r
, (
k ∈
R).
• Điều kiện ba điểm thẳng hàng:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng
k⇔ ∃
sao cho
AB k AC=
uuur uuur
, (
k ∈
R).
• Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai vectơ
a
r

triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp “chèn” điểm theo quy tắc ba điểm.
+ Giả sử đã có một cặp số m, n. Dùng các tính chất đã biết và giả thiết của
bài toán biến đổi về hai vectơ không cùng phương cho trước (hệ vectơ gốc) rồi
dùng điều kiện cùng phương để suy ra m, n.
2. Nội dung :
Hướng dẫn HS phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
qua Bài tập 2, trang 17- SGK Hình Học 10.
Đề bài: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân
tích các vectơ
, ,AB BC CA
uuur uuur uuur
theo hai vectơ
,u AK v BM= =
r uuur r uuuur
.
* Với ý thứ nhất: phân tích vectơ
AB
uuur
theo hai vectơ
,u AK v BM= =
r uuur r uuuur
.
GV: Gọi một học sinh nhắc lại cách phân tích một vectơ theo hai vectơ
không cùng phương. Nêu các hướng giải?
GV: Theo quy tắc ba điểm và giả thiết của bài, vectơ
AB
uuur
có thể phân tích
thành tổng của hai vectơ không cùng phương nào?
TL:

bình của tam giác ABC).
Do đó:
1
2
AB AK AB BM= − −
uuur uuur uuur uuuur
1
2
AB AB AK BM⇔ + = −
uuur uuur uuur uuuur
3
2
AB AK BM⇔ = −
uuur uuur uuuur
Hay
2 2
3 3
AB AK BM= −
uuur uuur uuuur

2
( )
3
u v= −
r r
.
GV: Còn cách nào phân tích vectơ
AB
uuur
theo hai vectơ

Hay
2 2
3 3
AB AK BM= −
uuur uuur uuuur

2
( )
3
u v= −
r r
.
GV: Nếu tinh ý hơn, vẫn theo qui tắc ba điểm nhưng nếu sử dụng tính chất
trọng tâm của tam giác ta có cách giải khác như thế nào?
Cách 4:
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC.
Theo qui tắc ba điểm, ta có:
2 2
3 3
AB AG GB AK BM= + = −
uuur uuur uuur uuur uuuur

2
( )
3
u v= −
r r
.
Nếu trình bầy bài giải theo hướng thứ hai thì ta làm như thế nào ?
Cách 5: Giả sử đã có cặp số m, n sao cho:

,AG BG
uuur uuur
không cùng phương nên từ (2)
⇒
2
3
1 0
3
2
3 2
1 0
2 3
m
m
n n


=
− =


 
⇔
 
 
− − = = −






4 2
3 3
u v= − −
r r
.
Để học sinh luyện khả năng khái quát. GV có thể hỏi: có một công thức
nào để áp dụng phân tích nhanh một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
cho trước không? Cho HS làm bài toán sau:
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho
( )
1MB kMC k= ≠
uuur uuuur
. Phân tích vectơ
AM
uuuur
theo hai vectơ
AB
uuur
,
AC
uuur
.
HS dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán
Bài giải:
Ta có:
( )
MB kMC AB AM k AC AM= ⇔ − = −
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur

theo hai vectơ
AB
uuur
,
AC
uuur
.
GV: Gọi HS nhận xét giả thiết của bài toán 2 so với bài toán 1; để áp dụng
được công thức của bài toán 1 ta làm thế nào?
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
6
Bài giải:
Ta có:
nBM mMC=
uuuur uuuur

( ) ( )
n AM AB m AC AM⇔ − = −
uuuur uuur uuur uuuur

( )m n AM nAB mAC⇔ + = +
uuuur uuur uuur
n m
AM AB AC
m n m n
⇔ = +
+ +
uuuur uuur uuur

Nếu áp dụng theo bài toán 1 thì phải đưa

+ +
uuuur uuur uuur
.
GV: Như vậy từ hai bài toán trên ta có những nhận xét gì?
- Nếu
( )
1MB kMC k= ≠
uuur uuuur
thì với điểm A bất kì ta có:
1
AB k AC
AM
k
−
=
−
uuur uuur
uuuur
(*)
- Nếu
nBM mMC=
uuuur uuuur
thì với điểm A bất kì ta có
n m
AM AB AC
m n m n
= +
+ +
uuuur uuur uuur
(**)

2 3IC BI=
uur uur
. Phân tích vectơ
AI
uur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
Bài giải:
- Áp dụng công thức (**), ta có:
3 2BI IC=
uur uur
Do đó:
3 2
3 2 3 2
AI AB AC= +
+ +
uur uuur uuur
3 2
5 5
AB AC= +
uuur uuur
.
Chú ý: Với một số bài khi phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương cho trước, ta có thể phải qua một số bước trung gian.
Từ hai bài toán trên, ta có thể lật ngược vấn đề là:

:k BM k BC⇔ ∃ =
uuuur uuur
(điều kiện 3 điểm thẳng hàng)
( )
:k AM AB k AC AB⇔ ∃ − = −
uuuur uuur uuur uuur
( )
: 1k AM k AB k AC⇔ ∃ = − +
uuuur uuur uuur
, :
1
AM AB AC
α β
α β
α β

= +

⇔ ∃

+ =


uuuur uuur uuur
(đặt
1 ,k k
α β
= − =
)
các số

Lưu ý: Nếu giả thiết bài toán cho có trung điểm thì nên kiểm tra cách dùng
tính chất trung điểm của đoạn thẳng trước, sử dụng giả thiết sao cho linh hoạt.
Bài giải:
a) vì N là trung điểm của đoạn CD, nên với điểm A bất kỳ, ta có:

2AN AC AD= +
uuur uuur uuur
;
ABCD là hình bình hành nên:
AB AD AC AD AC AB+ = ⇒ = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Vậy
2 2AN AC AC AB AC AB= + − = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
8
B
M
CD
N
A
G
Do đó:
1 1
2 2
AN AC AB a b= − = − +
uuur uuur uuur r r
b) Vì G là trọng tâm của tam giác MNB, với điểm A bất kỳ, ta có:
1 1 5
3

Từ giả thiết :
AJ nAI
=
uuur uur
.
Mà
(1 )AI m a mb
= − +
uur r r
Vậy
(1 )AJ n m a nmb
= − +
uuur r r
GV : Gọi HS giải thích yêu cầu của câu d ? Nhắc lại điều kiện để ba điểm
phân biệt thẳng hàng ?
Giải d:
Theo kết quả câu b, ta có:
5 1
18 3
AG AB AC= +
uuur uuur uuur
;
Theo kết quả câu c, ta có:
(1 )AI m AB mAC= − +
uur uuur uuur
Để AI đi qua G thì
,AI AG
uur uuur
cùng phương
Suy ra:

= =




Vậy với
6
11
m =
và
18
11
AI AG=
uur uuur
thì AI đi qua G.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả
2
2 ,
5
AM AB AN AC= =
uuuur uuur uuur uuur
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a. Hãy phân tích các vectơ
,MN MG
uuuur uuuur
theo hai vectơ
,AB AC
uuur uuur
.
b.Chứng minh MN đi qua trọng tâm G.

= − = −
 
⇒
 
= − = −
 
 
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
Suy ra:
6
5
MN MG=
uuuur uuuur
hay 3 điểm M, N, G thẳng hàng, tức là MN đi qua G.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần
lượt là các điểm thoả
1
2 ,
3
BE BD CF CD= =
uuur uuur uuur uuur
.
a) Hãy biểu diễn vectơ
AD
uuur
theo hai vectơ
,AB AF
uuur uuur
;

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
10
A
B
C
I
J
D E
F
A
B
C
M
N
G
-Chú ý : Nếu muốn áp dụng công thức (**), ta cần biến đổi giả thiết
1
2 ,
3
BE BD CF CD= =
uuur uuur uuur uuur
suy ra
1
2
DB DF= −
uuur uuur
Vậy theo công thức (**), ta có:
1
2

có dạng giả thiết của bài toán 1 hoặc 2.
c) Ta có:
( ) ( )
1 3 1 1 3 1
2 2 4 2 2 4
IF IA AC CF AB JC CB AJ JB JC JB JC= + + = − + + = − + + + −
uur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur

1 1 3 1
2 4 2 4
JC JB JC JB JC= − − + = − +
uuur uur uuur uur uuur
.
GV: Gọi HS phân tích câu d) : K nằm trên IJ ta có gì ?
Ba điểm A, K, D thẳng hàng ta có gì?
( )
AD nAK n AI IK= = +
uuur uuur uur uur
nhận xét hệ số của
,AI IK
uur uur
trong trường hợp này bằng nhau;
Như vậy bài toán đưa về phân tích vectơ
,AD theo AI IK
uuur uur uur
, rồi từ đó suy ra
hai hệ số của chúng bằng nhau.
d) Ta có :
K nằm trên IJ
IK mIJ⇒ =

4 4
AD AI IK
m
AD AI IK
m
= +
⇒ = +
uuur uur uur
uuur uur uur
Từ (1) và (2) suy ra:
9 3 1
4 4 3
m
m
= ⇒ =
.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
11
Vậy với điểm K nằm trên IJ sao cho
1
3
IK IJ=
uur uur
thì ba điểm A, K, D thẳng
hàng.
Ngoài việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương giúp
các em làm các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta còn thấy nó được
ứng dung trong một số bài toán có nội dung vật lý như bài tập sau:
Bài tập 4:
Một giá đỡ được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác ABC vuông cân ở

F
uur
lần
lượt nằm trên hai đường thẳng AC và AB.
Vì tam giác ABC vuông cân tại C
nên
1
F F=
uur ur
và
2
. 2F F=
uur ur
.
Vậy có một lực ép vuông góc với bức tường tại điểm C và một lực kéo bức
tường tại điểm B theo hướng
BA
uuur
với cường độ
5 2N
.
Với một số em ham học hỏi và những học sinh giỏi, GV mở rộng thêm:
phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương không chỉ giúp các em
làm bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng trong mặt phẳng mà nó còn được
áp dụng trong không gian ở lớp 11; điều đó được thể hiện qua bài tập sau:
Bài tập 5:
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
12
5N
C

uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
. Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng.
Bài giải:
a. Lấy điểm O bất kì, ta có:

OM OA AM OA k AB= + = +
uuuur uuur uuuur uuur uuur

( )
1 k OA kOB= − +
uuur uuur
.
Tương tự:

( )
1ON k OD kOC= − +
uuur uuur uuur
.
Suy ra:
MN ON OM= − =
uuuur uuur uuuur
( )
1 k OD kOC− +
uuur uuur
( )
1 k OA kOB
 
− − +
 
uuur uuur

uuur uuur
theo hai vectơ
AG
uuur
và
AD
uuur
.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. E là trung điểm của CD. Hãy phân tích
uuur
AE
theo hai vectơ
uuur
AD
và
uuur
AB
.
Bài 3: Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho:
= = − + =
uuuur uuuur uuur uuur uuur uur r
MB 3 MC , NA 3NC, PA PB 0
.
a. Hãy tính
uuur uuur
PM , PN
theo hai vectơ
uuur
AB
và

a. Hãy phân tích vectơ
EF
uuur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
b. Gọi G là trọng tâm tam giác BEF. Phân tích vectơ
DG
uuur
theo hai vectơ
AB
uuur
và
AD
uuur
.
c. BG cắt AF tại J. Tính tỉ số
BJ
BI
.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi D và I là các điểm xác định bởi các đẳng
thức vectơ:
− = + − =
uuur uuur r uur uur uur r
3DB 2 DC 0, IA 3IB 2IC 0
.

m n m n
= +
+ +
uuuur uuur uuur

nCN mND=
uuur uuur
biến đổi về
n m
ON OC OD
m n m n
= +
+ +
uuur uuur uuur
Suy ra điều cần chứng minh.
V. KẾT QUẢ
Sau khi hướng dẫn các em các cách phân tích một vectơ theo hai vectơ
không cùng phương, thì việc làm bài tập dạng này và các bài dạng chứng minh
đẳng thức vectơ, chứng minh ba điểm thẳng hàng đối với các em không còn
lúng túng và kết quả bài kiểm tra của các em có tiến bộ rõ rệt.
Cụ thể: Kết quả khảo sát khi cho các em làm bài kiểm tra 45 phút và 15
phút của ba lớp 10 như sau:
Lớp
Trước khi thực hiện giải pháp Sau khi thực hiện giải pháp
Bài 15 phút Bài 45 phút Bài 15 phút Bài 45 phút
10A8 75 % 68 % 85 % 82 %
10A10 70 % 63 % 83 % 87 %
10D1 63 % 53 % 78 % 80 %
VI. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Để nâng cao chất lượng môn toán nói chung và phần Hình học nói riêng,

hai vectơ không cùng phương và các ứng dụng của nó. Rất mong được sự giúp
đỡ và góp ý chân tình của quý thầy cô và các em học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
-Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Hình Học lớp 10 – Nhà xuất
bản giáo dục, năm 2006.
-Toán nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Nguyễn Minh Hà (chủ biên) –
Nguyễn Xuân Bình – Nhà xuất bản giáo dục - 2003.
-Tìm tòi các lời giải khác nhau của bài toán Hình Học 10 như thế nào? –
PGS Nguyễn Văn Lộc (chủ biên) cùng cộng sự – Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà Nội - 2008.
-Bài tập cơ bản và nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Xuân Thu,
Nguyễn Văn Quí, Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh. Nhà xuất bản
Đà Nẵng - 2002.
-Phương pháp giải toán vectơ . Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc-
Lê Hữu Trí - Nhà xuất bản Hà Nội - 2005
Biên Hoà, ngày 25 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
15
Nguyễn Thị Quyên
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10
16