Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Văn Sang

TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
FOURIER SINE, FOURIER COSINE
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

FOURIER SINE, FOURIER COSINE
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN MINH KHOA

Thái Nguyên- 2011
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình của TS.
Nguyễn Minh Khoa. Nhân dịp này, tôi xin gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành và sâu
sắc nhất.
Tôi xin cảm ơn các thầy, các cô công tác tại khoa Toán - trường Đại học Khoa
Học - Đại học Thái Nguyên, khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại học Thái Nguyên,
Viện toán học Việt Nam về sự nhiệt tình giảng dạy trong quá trình tôi học tập.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô trong Ban giám hiệu, Tổ
Toán - Tin Trường Trung học phổ thông Ba Bể, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc
Kạn đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá tr ình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện

3.1. Giải phương trình tích phân kiểu Toeplizt-Halken . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1. Xét phương trình tích phân ứng với tích chập (2.1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2. Xét phương trình tích phân ứng với tích chập (2.2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3.2. Giải hệ phương trình tích phân dạng chập. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1. Xét hệ phương tr ình tích phân dạng chập ứng với tích chập (2.1.1). . . . . 44
3.2.2. Xét hệ phương tr ình tích phân ứng với tích chập (2.2.1) . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Giải gần đúng phương trình tích phân dạng chập . . . . . . . . . . . 50
3.3.1. Tích phân kỳ dị, tích phân dạng Cauchy, các công thức Sokhotski . . . . . 50
3.3.2. Lớp hàm thỏa mãn điều kiện H
¨
older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3. Bài toán bờ Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.4. Giải gần đúng phương trình tích phân dạng chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI MỞ ĐẦU
Phép biến đổi tích phân được nghiên cứu và phát triển từ rất sớm và nó có vai trò
quan quan trọng trong giải tích toán học cũng như một số ngành khoa học tự nhiên
khác. Phép biến đổi tích phân là công cụ hiệu quả trong việc giải các bài toán điều
kiện đầu, điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương
tr ình đạo hàm riêng và một số lớp các bài toán Vật lý toán. Cùng với sự phát triển
của các phép biến đổi tích phân, tích chập của các phép biến đổi tích phân được
xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ 20. Các tích chập được nghiên cứu đầu tiên là tích
chập của phép biến đổi Fourier [15], [16], tích chập của phép biến đổi Laplace [8],
[ 16], tích chập của phép biến đổi Mellin [8] và sau đó là sự ra đời của các tích chập
của các phép biến đổi Hilbert [16], phép biến đổi Hankel [17], [18], phép biến đổi

4
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
khi một lớp tích chập mới mở rộng hơn, tích chập có hàm trọng xuất hiện. Năm
1958 lần đầu tiên tích chập với hàm trọng ra đời. Đó là tích chập với hàm trọng
γ
0
(x) =
π
xsh(πx)
[Γ(p + ix +
1
2
)]
−2
đối với phép biến đổi tích phân Mehler Fox [20]
được tìm ra bởi Vilenkin Y. Ya. Dẫu vậy phải gần 10 năm sau, năm 1967 Kakichev
V. A.[17] mới tìm ra phương pháp kiến thiết để định nghĩa tích chập của phép biến
đổi tích phân K với hàm trọng γ(x) dựa trên đẳng thức nhân tử hóa
K( f
γ
∗g)(x) = γ(x)(K f )(x)(Kg)(x).
Với ý tưởng và kỹ thuật của phương pháp này các nhà toán học đã tìm ra được một
số tích chập đối với các phép biến đổi tích phân khác. Các tích chập của hàm trọng
được tìm ra chẳng hạn như tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Hankel
[17], [19], Meijer [19], Kontorovich Lebedev [17], Fourier sine [17], Somemerfeld
[19].
Nhờ tích chập với hàm trọng ra đời mà bức tranh về tích chập đối với các phép
biến đổi tích phân được phong phú hơn. Tuy nhiên với sự bổ sung của lớp tích chập
suy rộng, nhiều điều lý thú trong lĩnh vực này mới được phát hiện, mở rộng và phát
tr iển. Khởi xướng việc xây dựng tích chập của hai hàm đối với các phép biến đổi

1
( f
γ
∗g)(y) = γ(y)(K
2
f )(y)(K
3
f )(y). (0.6)
5
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Tư tưởng và kỹ thuật của phương pháp này mở đường cho một số tích chập suy rộng
với hàm trọng của hai phép biến đổi tích phân. Một số tích chập mới tiếp tục được
xuất hiện. Chẳng hạn như tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier
cosine và Fourier sine được xác định bởi
( f ∗
2
g)(x) =
1
√
2π
+∞

0
f (y)[sign(y −x)g(|y −x|) + g(y +x)]dy,x > 0. (0.7)
với đẳng thức nhân tử hóa
F
c
( f ∗
2
g)(y) = (F

Danh mục ký hiệu
R : Tập các số thực.
C : Tập các số phức.
∀x : Với mọi x.
L(R) : Tập hợp tất cả các hàm f xác định trên R sao cho:
+∞

−∞
|f (x)|dx < +∞.
L(R
+
) : Tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (0,+∞) sao cho:
+∞

0
|f (x)|dx < +∞.
L
2
(R) : Tập hợp tất cả các hàm f xác định trên R sao cho:
+∞

−∞
f
2
(x)dx < +∞.
L(R
+
,e
x
) : Tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (0,+∞) sao cho:

biến đổi tích phân. Đó là phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phân
Fourier cosine và Fourier sine. Nội dung của chương được trình bày như sau
Mục 1.1 Trình bày về phép biến đổi tích phân Fourier và một số tính chất của
nó.
Mục 1.2 Trình bày về phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và
một số tính chất của chúng. Tài liệu tham khảo chính trong chương này là [1].
8
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.1. Phép biến đổi tích phân Fourier
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Biến đổi Fourier F của hàm thực (hoặc phức) f của biến thực x
được ký hiệu là
˜
f (y) hoặc F( f ) và được định nghĩa bởi
˜
f (y) = (F f )(y) =
1
√
2π
+∞

−∞
f (x)e
−iyx
dx,y ∈ R. (1.1.1)
Biến đổi Fourier ngược của
˜
f (y) là
f (x) = (F
−1

Mệnh đề 1.1.1. Giả sử f thuộc L(R), khi đó (F f )(y) thuộc C(R).
Chứng minh. Ta có f ∈ L(R) : f  =
1
√
2π
+∞

−∞
|f (t)|dt.
|(F f )(y)|≤
1
√
2π
+∞

−∞
|f (t)|dt = f  và do đó tồn tại
(F f )= sup
y∈R
|(F f )(y)|.
9
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nếu h ∈ R đủ nhỏ và T > 0 thì:
|(F f )(y + h) −(F f )(y)| ≤
1
√
2π
+∞

−∞

Phép biến đổi F rõ ràng là tuyến tính. Từ
(F f ) −(F f
n
) = sup
τ∈R
|F( f − f
n
)(τ)| ≤ f − f
n

ta nhận được tính liên tục của (F f ). 
Ví dụ 1.1.1. Nếu f ∈ L(R) thì (F f ) ∈C nhưng (F f ) /∈ L(R).
Thật vậy
cho
f (x) =



1 nếu |t| ≤ 1
0 nếu |t| > 1
rõ ràng f ∈L(R), nhưng
(F f )(y) =
1
√
2π
1

−1
e
−iyt

√
2π
i
e
−iby
−e
−iat
y
.
Như vậy ta sẽ có (F f )(y) → 0 khi y → ±∞. 
10
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mệnh đề 1.1.3. (Tuyến tính). Nếu f (x) và g(x) có biến đổi Fourier thì với các số
thực α,β bất kỳ ta có
F(α f + βg)(y) = α(F f )(y)+ β(Fg)(y),y ∈ R. (1.1.4)
Chứng minh. Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. 
Mệnh đề 1.1.4. (Biến đổi của đạo hàm). Giả sử f(x) liên tục trên R và có f

(x) là
hàm khả tích tuyệt đối trên R. Giả sử f (x) →0 khi |x| → +∞. Khi đó
(F f

)(y) = iy(F f )(y),y ∈R. (1.1.5)
Chứng minh. Tích phân từng phần và sử dụng giả thiết f (x) → 0 khi |x| → +∞, ta
được
(F f

)(y) =
1
√


Chú ý 1.1.1. Giả sử các giả thiết có thể áp dụng liên tiếp Mệnh đề 1.1.2 thỏa. Khi
đó áp dụng lần thứ hai ta có
(F f

)(y) = iy(F f

)(y) = (iy)
2
(F f )(y) = −y
2
(F f )(y).
Tương tự, ta có biến đổi đạo hàm cấp cao hơn, chẳng hạn
(F f

)(y) = iy(F f

)(y) = −iy
3
(F f )(y),
(F f
(n)
)(y) = i
n
y
n
(F f )(y). (1.1.6)
Để áp dụng công thức (1.1.6), ta xét ví dụ sau
Ví dụ 1.1.2. Biết F(e
−x

2
e
−x
2
11
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Do (1.1.4) và (1.1.6) ta được
i
2
y
2
F(e
−x
2
) = F(e
−x
2
)

= −2F(e
−x
2
) + 4F(x
2
e
−x
2
).
Từ đây ta rút ra được
F(x

F
g)(y) =
1
2π
+∞

−∞
e
−ixy
dx
+∞

−∞
f (x −u)g(u)du
=
1
2π
+∞

−∞
g(u)du
+∞

−∞
f (x −u)e
−ixy
dx
Với phép đổi biến x −u = v ta nhận được
F( f ∗
F

−iyv
dv = F( f )(y).F(g)(y).
Suy ra điều phải chứng minh. 
Nhận xét. Công thức này có nhiều ứng dụng trong khi giải một số phương trình đạo
hàm riêng.
12
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier
sine
1.2.1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine
Định nghĩa 1.2.1. Biến đổi Fourier cosine của f (x) được ký hiệu là
˜
f
c
hoặc F
c
( f )
và được xác định bởi công thức
˜
f
c
(y) = F
c
( f )(y) =

2
π
+∞

0

Định nghĩa 1.2.2. Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của hai hàm
f ,g ∈ L(R
+
) được xác định như sau
( f ∗
F
c
g)(x) =
1
√
2π
+∞

0
f (y)[g(|x −y|)+g(x + y)]dy,x > 0. (1.2.3)
Mệnh đề 1.2.1. Cho f ,g ∈ L(R
+
) khi đó tích chập (1.2.3) đối với phép biến đổi
Fourier cosine thuộc L(R
+
) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
F
c
( f ∗
F
c
g)(y) = (F
c
f )(y)(F
c

+∞

0
|g(|x −y|)|dx +
+∞

0
|g(x + y)|dx

dy.
(1.2.5)
13
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mặt khác
+∞

0
|g(|x −y|)|dx +
+∞

0
|g(x + y)|dx
=
+∞

−y
|g(|t|)|dt +
+∞

y

0
|g(t)|dt
(1.2.6)
Từ (1.2.5) và (1.2.6) ta đi đến
+∞

0
|( f ∗
F
c
g)(x)|dx ≤

2
π
+∞

0
|f (t)|dt
+∞

0
|g(t)|dt < +∞.
Vì vậy ( f ∗
F
c
g)(x) ∈ L(R
+
).
Bây giờ ta đi chứng minh đẳng thứ nhân tử hóa (1.2.4).
Thật vậy, từ biểu thức về phải của (1.2.4) ta có

+∞

0
cos[(u + v)y] f (u)g(v)dudv
+
1
π
+∞

0
+∞

0
cos[(v −u)y] f (u)g(v)dudv
(1.2.7)
14
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Với phép đổi biến u = x,u + v = t ta nhận được
+∞

0
+∞

0
cos[(u + v)y] f (u)g(v)dudv =
+∞

0
+∞



−x
cos(ty) f (x)g(t +x)dxdt
=
+∞

0
+∞

0
cos(ty) f (x)g(x +t)dxdt +
+∞

0
0

−x
cos(ty) f (x)g(|x +t|)dxdt.
(1.2.9)
Hơn nữa ta lại có
+∞

0
0

−x
cos(ty) f (x)g(|x +t|)dxdt = −
+∞

0

+∞

0
f (x)[g(|x −t|) + g(x + t)]dx

cos(ty)dt
= F
c
( f ∗
F
c
g)(y).
Định lý được chứng minh. 
1.2.2. Phép biến đổi tích phân Fourier sine
Định nghĩa 1.2.3. Biến đổi Fourier sine của f (x) được ký hiệu là
˜
f
s
hoặc F
s
( f ) và
được xác định bởi công thức
˜
f
s
(y) = F
s
( f )(y) =

2

Quá trình nhận được hàm
˜
f
s
từ hàm f đã cho được gọi là phép biến đổi Fourier sine
hay gọi tắt là biến đổi Fourier sine.
Ví dụ 1.2.1. Tìm biến đổi Fourier cosine và Fourier sine của hàm
f (x) =



x nếu 0<x<a
0 nếu x>a
Ta có
F
c
( f ) =

2
π
a

0
x cosyxdx =

2
π

x
y

2
cosyx



a
0

=

2
π

a
y
sinax +
1
y
2
cosay −
1
y
2

.
còn
F
s
( f ) =



x
y
cosyx



a
0
−
1
y
2
sinyx



a
0

= −

2
π

a
y
cosax −
a
y

(x) liên tục từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn và f (x) →0 khi x →+∞. Khi đó
F
c
( f

(x)) = yF
s
( f (x)) −

2
π
f (0),
F
s
( f

(x)) = −yF
c
( f (x)).
Chứng minh. Tích phân từng phần ta được
F
c
( f

) =

2
π
+∞


c
( f

) = −y
2
F
c
( f ) −

2
π
f

(0),
F
s
( f

) = −y
2
F
s
( f ) +

2
π
y f (0).
Chứng minh. Áp dụng cả hai công thức ở Mệnh đề 1.2.2 ta có
F
c

c
( f

) = −y[yF
s
( f ) −

2
π
f (0)].
Từ đây dẫn đến điều phải chứng minh. 
Ví dụ 1.2.2. Tính F
c
(e
−ax
),a > 0.
Ta có
f

(x) = (e
−ax
)

= −a.(e
−ax
)

= a
2
.e

( f ) = a

2
π
.
Suy ra F
c
(e
−ax
) =

2
π
.(
a
a
2
+ y
2
).
Mệnh đề 1.2.4. Cho f ∈ L(R
+
). Khi đó tồn tại các đạo hàm (F
c
f )

,(F
s
f )


( f
γ
∗g)(y) = γ(y)(K
2
f )(y)(K
3
g)(y)
trong đó K
1
,K
2
,K
3
∈ {F
c
,F
s
}. Các tính chất cơ bản của các tích chập đưa ra đều
được chứng minh.
Một phần của chương chúng tôi trình bày các kết quả đã đạt được trong các bài
báo [20], [21] của TS. Nguyễn Minh Khoa và tác giả.
19
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.1. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay)
đối với các phép biến đổi tích phân Fourier co-
sine và Fourier sine-3
2.1.1. Định nghĩa và các tính chất của tích chập suy rộng
Định nghĩa 2.1.1. Tích chập suy rộng đối với hàm trọng γ(y) = sin(ay),a ∈ R,a >
0 đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của hai hàm f
và g được xác định bởi

f )(y)(F
c
g)(y), y > 0. (2.1.2)
Chứng minh. Từ (2.1.1) và giả thiết f ,g ∈ L(R
+
) ta có
+∞

0



( f
γ
∗
3
g)(x)



dx =
1
2
√
2π
+∞

0
+∞



dy
(2.1.3)
20
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mặt khác,
+∞

0
|g(x + y + a)|dx +
+∞

0
|g(|x −a −y|)|dx
=
+∞

y+a
|g(t)|dt +
+∞

−a−y
|g(|t|)|dt
=
+∞

y+a
|g(t)|dt +
+∞



0
|g(t)|dt +
y−a

0
|g(|t|)|dt +
+∞

y−a
|g(|t|)|dt = 2
+∞

0
|g(t)|dt.
(2.1.5)
Từ (2.1.3), (2.1.4) và (2.1.5), ta đi đến
+∞

0



( f
γ
∗
3
g)(x)




0
+∞

0
sin(ax).sin(x u). cos(xv). f (u).g(v)dudv
và
sin(ax).sin(x u). cos(xv) =
1
4
[cosx(u −v −a) + cos x(u + v −a)
−cos x(u + v + a) −cos x(u −v + a)]
ta nhận được
sin(ax)(F
s
f )(x)(F
c
g)(x) =
1
2π
+∞

0
+∞

0
[cosx(u −v −a) + cos x(u + v −a)
−cos x(u + v + a) −cosx(u −v +a)] f (u)g(v)dudv
(2.1.6)
21

cosxt. f (y).g(|t −y −a|)dtdy
−
1
2π
+∞

0
y+a

0
cosxt. f (y).g(y −t + a)dtdy.
(2.1.7)
Tương tự, với phép đổi biến y = u,−t = u −v + a ta có
1
2π
+∞

0
+∞

0
cosx (u −v + a). f (u).g(v)dudv
=
1
2π
+∞

0
+∞


cosxt. f (y).g(t + y + a)dtdy
= −
+∞

0
0

y+a
cosxt. f (y).g(y −t + a)dtdy
=
+∞

0
y+a

0
cosxt. f (y).g(y −t + a)dtdy
(2.1.9)
22
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Từ (2.1.7), (2.1.8) và (2.1.9), ta nhận được
−
1
2π
+∞

0
+∞

0

y−a
cosxt. f (y).g(t −y + a)dtdy
=
1
2π
+∞

0
+∞

0
cosxt. f (y).g(|t −y + a|)dtdy
−
1
2π
+∞

0
y−a

0
cosxt. f (y).g(|t −y + a|)dtdy.
(2.1.11)
Với phép đổi biến y = u,t = v −u + a, ta nhận được
1
2π
+∞

0
+∞


0
cosxt. f (y).g(|t + y −a|)dtdy.
(2.1.12)
23
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên