ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM VĂN HIỆU
ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE,
FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM VĂN HIỆU
ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE,
FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS NGUYỄN MINH KHOA
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mở đầu 1
Nội dung 5
1 Đa chập với hàm trong γ(y) = e
−αy
đối với các phép biến đổi tích
phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine. 5

Tác giả
.
Phạm Văn Hiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực
và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp
đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả
.
Phạm Văn Hiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Tích chập của hai hàm f, g đối với phép biến đổi tích phân
Fourier có dạng [7,13]:
(f
∗
F
g)(x) =
1
√
2π
+∞

−∞
f(x −y)g(y)dy ∀x ∈ R (0.1)
Tích chập này thảo mãn đẳng thức nhân tử hóa sau:

s
(f
∗
1
g)(y) = (F
s
f)(y)(F
c
g)(y), ∀y > 0 (0.5)
Trong đó phép biến đổi Fourier sine có dạng [7] , [13]
(F
s
f)(y) =

2
π
+∞

0
f(x)sin(xy)dx, (0.6)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
và phép biến đổi Fourier cosine có dạng [7] , [13]
(F
c
f)(y) =

2
π
+∞

s
inx của hai hàm f và g đối
với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và sine có dạng như sau[11]

f
γ
1
∗
3
g

(x) =
1
2
√
2π
+∞

0
f(y)[g |x −y −1| −g |y −x + 1|
+g |y + x − 1| − g |x + y + 1|]dy, x > 0 (0.10)
và có đẳng thức nhân tử hóa sau đây:
F
c
(f
γ
1
∗
3
g)(y) = sin y(F

1
(x) =
s
inx của hàm f và hàm g đối với
phép biến đổi Fourier sine được giới thiệu trong [4]
(f
γ
1
∗
F
s
g)(x) =
1
2
√
2π
+∞

0
f(y)sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|)
+sign(x −y + 1)g(|x −y + 1|) −g(x + y + 1)
−sign(x −y −1)g(|x −y −1|)dy, x > 0 (0.14)
với tích chập này, đẳng thức nhân tử hóa sau đây thỏa mãn :
F
s
(f
η
∗
F
s

K

γ
∗
(f
1
, f
2
, , f
n
)

(x) = γ(y)
n

i=1
(K
i
f
i
)(y), n ≥ 3 (0.16)
Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Hilbert, Stieltjes, Fourier
cosine, Fourier sine đã được nghiên cứu trong [9] Trong thời gian gần đây,
có nhiều có nhiều công trình nghiên cứu về các tích chập suy rộng. Các tích
chập này cho ta một số ứng dụng thú vị xem trong ([8,10,11,12]). Đặc biệt
là ứng dụng trong phương trình tích phân với nhân Toeplitz+Hankel[3,14]
f(x) +
+∞

0

biến đổi tích phân Fourier sine , Fourier và Fourier cosine.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Đa chập với hàm trong γ(y) = e
−αy
đối với các phép biến đổi tích phân
Fourier, Fourier sine và Fourier
cosine.
1.1 Các không gian được xét đến
Các không gian được xét đến trong chương này tác giả dùng đến
2 không gian sau: .
L


α
2
+ x
2
, R

=



f :
+∞

−∞


−αy
đối với các
phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine của các
hàm f, g, h được xác định bởi
γ
∗
(f, h, g)(x) =
2
π
2
+∞

−∞
f(u)g(v)h(y)

α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v − y)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2
+
α + iu
(α + iu)
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Fourier, Fourier sine, Fourier cosine của các hàm f, g, h thuộc L(R
+
). và
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau:
F
c
(
γ
∗
(f, g, h)(y) = e
−αy
(F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s
h)(y), ∀y > 0 (1.2)
Chứng minh
Ta thấy rằng:




α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2


(α + iu)
2
+ (x + v − y)
2




≤

α
2
+ u
2
,




α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v + y)
2




≤



≤
2
π
2
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
4

α
2
+ u
2
|f(x)||g(v)||h(y)|dudvdy < +∞
Dựa vào (1.1) ta nhận được
+∞

0


γ
∗
(f, g, h)(x)



+
|α + iu|



(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2



+
|α + iu|



(α + iu)
2
+ (x −v + y)
2



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
+
|α + iu|

2


(x + v + y)
2
+ α
2
− u
2

2
+ 4α
2
u
2
<
√
α
2
+ u
2


(x + v + y)
2
− u
2

2
+ 1

+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
1

(x + v + y)
2
− u
2

2
+ 1

α
2
+ u
2
|f(u)||g(v)||h(y)|dudvdydx
Sử dụng phép thế x+v+y = t ta nhận được :
+∞

0
1


+ 1 với t đủ lớn và
+∞

0
d(t −u)

(t −u)
2

+ 1
= arctan(t −u)



+∞
v+y
=
π
2
+ arctan(u −v − y)
<
π
2
+
π
2
= π
Do đó:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9

0
+∞

0

α
2
+ u
2
|f(u)||g(v)||h(y)|dudvdy < +∞
Vì f ∈ L(
√
α
2
+ x
2
, R) và g, h ∈ L(R
+
)
Tương tự ta nhận được đánh giá giống như vậy cho 3 tích phân
còn lại và đi đến kết luận là đa chập
γ
∗
(f, g, h)(x) ∈ L(R
+
) . Mặt khác áp
dụng công thức (1.4.1) trong [2] trang 23 tập 1 ta nhận được:
+∞

0

(α + iu)
2
+ (x + v − y)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x + v + y)
2
+
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v + y)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −v − y)
2

Điều này dẫn tới
sin(yt) sin(tv)e
−(α+iu)t
=
2
π
+∞

dx.
Bởi vậy với y > 0 ta có:
e
−αy
(F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s
h)(y)
=
1
π

2
π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
sin(yt) sin(yv)e
−(α+iu)t
f(u)g(v)h(t)dudvdt
=
2
π

2
+
α+iu
(α+iu)
2
+(x−v+y)
2
−
α+iu
(α+iu)
2
+(x−v−y)
2

dω

f(u)g(v)h(t)dudvdydt
= F
c

δ
∗
(f, g, h)

(y).
Ta chứng minh xong định lý.
Định lý 1.3
Giả thiết f ∈ L(
√
α

∗
(f, g,ϕ))
c)(ϕ
∗
F
c
(
γ
∗
(f, g, h)) =
γ
∗
(f, (g
∗
1
ϕ), h)
d)(ϕ
∗
F
c
(
γ
∗
(f, g, h)) =
γ
∗
(f, g, (h
∗
1
ϕ))

γ
∗
(f, g, h)

(y)=(F
s
ϕ)(y).F
c

γ
∗
(f, g, h )] (y)
=(F
s
ϕ)(y)e
−y
(F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s
h)(y)
= (F
s
g)(y)e
−y
(F f)(y)(F
s
ϕ)(y)(F
s
h)(y)

∗
1
(
γ
∗
(f, ϕ, h)

Chứng minh b) tương tự như chứng minh a)
Bây giờ ta chứng minh c) Từ các đẳng thức nhân tử hóa của
tích chập (
∗
F
c
) trong [7] và đa chập (1.1) ta nhận được:
F
c

ϕ
∗
F
c
(
γ
∗
(f, g, h))

(y) = (F
c
ϕ)(y)


γ
∗
(f, (g
∗
1
ϕ), h)

(y),∀y > 0.
Do đó ta nhận được : (ϕ
∗
F
c
(
γ
∗
(f, g, h)) =
γ
∗
(f, (g
∗
1
ϕ), h)
Chứng minh d) tương tự như chứng minh c)
Ta chứng minh xong định lý.
Định lý 1.4
Giả thiết f ∈ L(
√
α
2
+ x


−∞
+∞

0
f(u)h(y)

k(u
1
, v)
∗
F
g(|v|).signv

(x −1)dudy, x > 0
Ở đây k(u, v) =
α+iu
(α+iu)
2
+v
2
được xác định bởi (1.1) tích chập (
∗
F
)
được xác định trong [7],[13]
Chứng minh :
Từ (1.1), khi đó x >0 ta có:
1
2π

+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
α + iu
(α + iu)
2
+ (x −1 −v)
2
f(u)h(y)g(|v|)dud(−v)dy
−
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
(α + iu)signv

0
+∞

0
(α + iu)signv
(α + iu)
2
+ (x −1 −v)
2
f(u)h(y)g(|v|)dudvdy
= −
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

−∞
(α + iu)signv
(α + iu)
2
+ (x −1 −v)
2
f(u)h(y)g(|v|)dudvdy

0
+∞

0

α + iu
(α + iu)
2
+ (x + 1 −v)
2
−
α + iu
(α + iu)
2
+ (x + 1 + v)
2

f(u)g(v)h(y)dudvdy
=
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

0
(α + iu)signv
(α + iu)
2
+ (x + 1 −v)
2
f(u)g(|v|)h(y)dvdudy
+
1
2π
√
2π
+∞

−∞
+∞

0
+∞

−∞
+∞

0
f(u)h(y)

k(u, v)
∗
F
g(v).signv

(x + 1)dydu
−
1
2

+∞

−∞
+∞

0
f(u)h(y) [k(u
1
, v)
∗
F
g(|v|).signv] (x −1)dudy, x > 0
Định lý được chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

h)(y) = 0, ∀y > 0
Do đó : (F f)(y)(F
s
g)(y)(F
s
h)(y) = 0, ∀y > 0 Vì (F f)(y), (F
s
g)(y)(F
s
h)(y)
là giải tích với mọi y>0 nên từ (2.5) ta có
(F f)(y) = 0, ∀y > 0
hoặc
(F
s
g)(y) = 0, ∀y > 0
hoặc
(F
s
h)(y) = 0, ∀y > 0
Điều đó dẫn tới f(x)=0 với mọi x>0 hoặc g(x)=0 với mọi x>0 hoặc h(x)=0
với mọi x>0.
Ta chứng minh xong định lý.
Định nghĩa 1.6
i) Chuẩn trong không gian L(
√
α
2
+ x
2

|f(x)|dx (1.6)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Hệ quả 1.7 : Giả thiết f ∈ L(
√
α
2
+ x
2
, R) và g, h ∈ L(R
+
) khi đó bất
đẳng thức sau được thỏa mãn:



γ
∗
(f, g, h)



L(
√
α
2
+x
2
,R)
≤ f

+∞

−∞
√
α
2
+ x
2
f(u)du.
+∞

0
|g(v)|dv.
+∞

0
|h(y)|dy
Do đó



γ
∗
(f, g, h)



L(R
+
)


0
g(y) [f(x + y) + sign(x − y)f(|x −y|)] dy, x > 0
(1.7)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chứng minh:
Sử dụng phép thế x + y = t ta có:
1
√
2π
+∞

0
g(y)f(x + y)dy =
1
√
2π
+∞

x
g(|t −x|)f (t)dt
=
1
√
2π
o

x
g(|t −x|)f (t)dt +

g(x −t)signt.f(|t|)dt
=
1
√
2π
−x

+∞
g(x + t)signt.f(|t|)dt
= −
1
√
2π
0

−x
g(x + t)signt.f(|t|)dt −
1
√
2π
+∞

0
g(x + t)f (t)dt
= −
1
√
2π
0


f(t)θ
2
(x, t)dt + g(x) = k(x), x > 0 (1.10)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Ở đây
θ
1
(x, u, v, y) =
1
2π
√
2π

α+iu
(α+iu)
2
+(x+v−y)
2
−
α+iu
(α+iu)
2
+(x+v+y)
2
+
α+iu
(α+iu)
2
+(x−v+y)

Với điều kiện1 − λ
1
λ
2
F
c

γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

= 0 với mọi y>0 thì hệ
(1.10) có nghiệm duy nhất thuộc L(R
+
) được xác định như sau:
f(x) = h(x) −λ
1
(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)(x)) +(l
∗
F
c
h)(x)−λ
1
(l
∗
F
c

2
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

(y)
1 −λ
1
λ
2
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

(y)
và đa chập
γ
∗
( ) được xác định (1.1) tích chập (
∗
1
), (

ψ)(y)(F
s
g)(y) = (F
c
h)(y), y > 0
λ
2
(F
c
f)(y)(F
s
θ)(y) + (F
s
g)(y) = (F
s
k)(y), y > 0
Ta có:
∆ =



1
λ
2
(F
s
θ)(y)
λ
1
e

2
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

(y)
1 −λ
1
λ
2
F
c

(
γ
∗
(ϕ, θ, ψ)

(y)
Điều này dẫn tới:
1
∆
= 1 + (F
c
l)(y)
Từ đây ta có:

c
h)(y) −λ
1
F
c

γ
∗
(ϕ, k, ψ)

(y)

= (F
c
h)(y) −λ
1
F
c
(
γ
∗
(ϕ, k, ψ))(y) + F
c
(l
∗
F
c
h)(y)
−λ
1

(ϕ, k, ψ))(y), x > 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Mặt khác ta lại có:
(F
c
f)(y) = [1 + (F
c
l)(y)]



1
(F
s
θ)(y)
(F
c
h)(y)
(F
c
k)(y)



= [1 + (F
c
l)(y)]

(F


(y)
Do đó:
g(x) = k(x) −(θ
∗
1
h)(x) + (k
∗
1
l)(x) −

(θ
∗
1
h)
∗
1
l

(x), x > 0
Từ giả thiết của định lý ta suy ra được f(x), g(x) ∈ L(R
+
).
Định lý được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e
−βy
đối với các phép biến đổi Fourier,




f :
+∞

−∞
|f(x)|dx < + ∞



2.2 Định nghĩa đa chập
Định nghĩa 2.1 Đa chập với hàm trong δ(y) = 4e
−βy
đối với
các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier và Fourier cosine của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên