ĐẶNG VĂN CƯỜNG
Chuyên đề TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:

 PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ
 TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 VÍ DỤ CHO TỪNG DẠNG BÀI TẬP.
 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ.


Chƣơng 1: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 3.
Dạng 1: Tọa độ của điểm và của vectơ 4.
Dạng 2: Ba vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng 12.
BÀI TẬP ƠN TẬP CHƢƠNG I 16.
Chƣơng 2: PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU 17.
Dạng 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu 18.
Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt cầu theo các điều kiện cho trƣớc 20.
Dạng 3: Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu – Tiếp diện của mặt cầu 24.
Dạng 4: Tìm tâm và bán kính đƣờng tròn là giao tuyến của mặt cầu và MP 25.
BÀI TẬP ƠN TẬP CHƢƠNG II 27.
Chƣơng 3: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 28.
Dạng 1: Bài tốn lập phƣơng trình mặt phẳng 29.
Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm khơng thẳng hàng 31.
Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua 1 điểm và song song mặt phẳng 32.
Dạng 4: Chứng minh 1 điểm thuộc (khơng thuộc) mặt phẳng 33.
Dạng 5: Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 33.
BÀI TẬP ƠN TẬP CHƢƠNG III 34.
Chƣơng 4: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 36.
Chủ đề 1: CHUYỂN ĐỔI CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 37.
Chủ đề 2: BÀI TỐN VÊ VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI 38.
Dạng 1: Vị trí tƣơng đối của 1 điểm đối với 1 đƣờng thẳng 38.
Dạng 2: Vị trí tƣơng đối của 2 đƣờng thẳng 39.
Dạng 3: Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng 41.
Chủ đề 3: LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG 44.
Dạng 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng khi biết vectơ chỉ phƣơng 44.
Dạng 2: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm 44.
Dạng 3: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua 1 điểm và song song đƣờng thẳng . 45.
Dạng 4: Lập phƣơng trình ĐT qua 1 điểm và vng góc với mặt phẳng 46.
Dạng 5: Lập phƣơng trình ĐT qua 1 điểm và vng góc 2 đƣờng thẳng 47.

Dng 3: Phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng trờn mt phng 71.
Ch 6: BI TON V KHONG CCH 72.
Dng 1: Khong cỏch t 1 im n 1 mt phng 72.
Dng 2: Khong cỏch t 1 im n 1 ng thng 73.
Dng 3: Khong cỏch gia 2 ng thng chộo nhau 74.
Dng 4: Khong cỏch gia hai ng thng song song 75.
Dng 5: Khong cỏch gia ng thng v mt phng 76.
Ch 7: BI TON V GểC 78.
Dng 1: Gúc gia hai ng thng 78.
Dng 2: Gúc gia hai mt phng 78.
Ch 8: BI TON V CC TR HèNH HC 81.
BI TP TNG HP 87.
HèNH HC GII TCH QUA THI I HC CC NM 92.
P N 101.
Chng 1: PHNG PHP TA TRONG KHễNG GIAN 102.
Chng 2: PHNG TRèNH MT CU 107.
Chng 3: PHNG TRèNH MT PHNG 115.
Chng 4: PHNG TRèNH NG THNG 119.
BI TP TNG HP 135.
HNG DN GII P N THI I HC 146.


1 1 1 1
( ; ; )u x y z
,
2 2 2 2
( ; ; )u x y z
và số
k
tùy ý, ta có:
a)
12
1 2 1 2
12
xx
u u y y
zz



  





b)
 
1 2 1 2 1 2 1 2
;;u u x x y y z z    

c)


   

h)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 0u u u u x x y y z z      

3. Liên hệ tọa độ vectơ và tọa độ hai điểm mút:
Trong không gian Oxyz cho các điểm
( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )
A A A B B B C C C D D D
A x y z B x y z C x y z D x y z

a)
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z   

b)
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z     

c) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB
2
2
2
AB
M

A B C
G
A B C
G
A B C
G
xxx
x
yyy
y
zzz
z
















Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.




  




  





4. Tích có hướng của các vectơ:
a) Tích có hướng của hai vectơ
);;( cbau 
và
)';';'( cbav 
là một vectơ, kí hiệu
,uv



, ; ; ( ' ' ; ' ' ; ' ' )
' ' ' ' ' '
b c c a a b
u v bc b c ca c a ab a b
b c c a a b



,uv


vuông góc với cả hai vectơ
u
và
v
.
iii)
 
),sin( , vuvuvu 

iv)
u
,
v
,
w
đồng phẳng 
 
0., wvu

c) p dụng để tính diện tích và thể tích:
* Diện tích hình bình hành ABCD :
 
ADABS .

* Diện tích tam giác ABC :
 
ACABS .

tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 5

I. PHƢƠNG PHÁP.
Sử dụng các định nghĩa và tính chất liên quan đến tọa độ của điểm và vectơ.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC :
1.1)
1
.
2
ABC
S AH BC


2
1
sin
2
1
sin
2
1


Trong đó:
;;a BC b AC c AB  

1.4)
R
abc
S
4


Trong đó:
R
là bán kính đƣờng tròn ngoại
tiếp tam giác
ABC
.
1.5)
prS 

Trong đó: nửa chu vi tam giác

AM



3. TỌA ĐỘ CHÂN ĐƢỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
3.1) Gọi
( ; ; )
E E E
E x y z
là tọa độ chân đƣờng
phân giác trong góc
A
của tam giác
ABC
:

EB AB
AC
EC


3.2) Gọi
( ; ; )
F F F
F x y z
là tọa độ chân đƣờng
phân giác ngồi góc
A
của tam giác
ABC

v a b c  GIẢI.
a)
2 3 2.( 2;1;0) (1;3; 2) 3(2;3;4) (1;8;14)u a b c        

b)
1 3 1 3 15 19 5
( 2;1;0) (1;3; 2) (2;3;4) ( ; ; )
2 4 2 4 4 4 2
v a b c           

Ví dụ 2:Trong không gian
Oxyz
,cho vectơ
(2; 3; 1)a   
điểm cuối
(1; 1;2)B 
. Tìm tọa độ
điểm A.
GIẢI.
Gọi tọa độ điểm
( ; ; )A x y z
, ta có:
(1 ; 1 ;2 ) (2; 3; 1)AB a x y z        

1 2 1
1 3 2 ( 1;2;3)
2 1 3

( ; ; )
D D D
D x y z
, theo giả thiết:
2 0 2 2( 0; 2; 4) (1; 3;0)
D D D
AB CD CD AB x y z         

1
2
21
1 1 1
2( 2) 3 ; ;4
2 2 2
2( 4) 0
4
D
D
DD
D
D
x
x
y y D
z
z






3
2
12
1 3 1
2 1 ; ;3
2 2 2
33
3
E
EE
E E E
EE
E
x
xx
y y y E
zz
z



  




       



b)
 
2 2 2 2 2 2
. 1.3 ( 2).5 0.( 5) 7
cos ,
295
.
1 ( 2) 0 . 3 5 ( 5)
uv
uv
uv
    
  
     

c)
2 0 0 1 1 2
,w ; ; (2;1;7)
3 1 1 2 2 3
u
   






2 2 2
,w 2 1 7 26u


c) Tính bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
d) Tính bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác
ABC
.

GIẢI.
a) Ta có:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 4 1 3 26
B A B A B A
AB x x y y z z         2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 7 ( 5) 1 75
C A C A C A
AC x x y y z z          2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3 ( 6) ( 2) 49
C B C B C B
BC x x y y z z           

Vì
2 2 2
AC AB BC
, nên theo định lý đảo Pitago tam giác


d) Bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác
ABC
:
Ta có:
 
7
2. 26
2
. 1,72
1
( 26 75 49)
2
ABC ABC
ABC
SS
S p r r
p
AB AC BC


     


.

Ví dụ 6: Trong không gian
Oxyz
,cho tam giác
ABC

tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 9

Vì
E
là chân đƣờng phân giác trong của đỉnh
B
nên:
26 1
2
2
104
EA
EA EC
EC
      

2
3
2(1 ) 4
11 2 11
2(2 ) 7 ; ;1
3 3 3
2( 1 ) 5
1
x
xx

1
33
8 1 8 7
;;
3 3 3 3 3
7
33
A B C
GG
A B C
GG
A B C
GG
xxx
xx
yyy
y y G
zzz
zz


  





    



  


Mặt khác:
. . . . 26. 86. 104 52 86
555 555
ABC
ABC
AB AC BC AB AC BC
SR
RS


     tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 10

BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1: Trong khơng gian

(3;1;4)M
. Tìm
,,m n k
để:

2ma nb kc OM  
.
Bài 4: Cho ba điểm
(0; 4;1), ( 1;1; 3), (1; 2;3)A B C   
.
a) Tìm tọa độ điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành.
b) Tính độ dài của đƣờng trung tuyến, đƣờng cao, phân giác trong xuất phát từ đỉnh
C
của
tam giác
ABC
.
Bài 5: Trong khơng gian
Oxyz
, cho 3 điểm
(1;2;4), (2; 1;0), ( 2;3; 1)A B C  
.
a)
( ; ; )M x y z
nằm trong mặt phẳng
()ABC

.
Bài 7: Trong khơng gian
Oxyz
, tìm điểm
()M Oxz
sao cho
M
cách đều ba điểm
(1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)A B C
.
Bài 8: Cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
, biết
(1;0;1), '(2;1;2), '(1; 1;1), (4;5; 5)A B D C
. Tìm tọa độ
các đỉnh còn lại của hình hộp.
tusachvang.net
ÑAËNG VAÊN CÖÔØNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trang 11

Bài 9: Cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
, biết
(4;1; 2), ( 3; 2;17), '(4;5;10), '( 7; 2;11)A C B D    
.
a) Tìm tọa độ các đỉnh
, ', ',B C A D
.


tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 12

I. PHƯƠNG PHÁP:
1. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng:
 Cách 1:
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
,,abc
đồng phẳng là
, . 0a b c



.
 Cách 2:
Cho ba vectơ
,,abc

. Sử dụng định lí này để
phân tích một vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng cho trƣớc.
3.  Chứng minh ba điểm thẳng hàng, khơng thẳng hàng:

,,A B C
khơng thẳng hàng
ABC AB  
khơng cùng phƣơng
AC
.

,,A B C
thẳng hàng
AB
cùng phƣơng
AC
.
4.  Chứng minh bốn đồng phẳng, khơng đồng phẳng:

, , ,A B C D
khơng đồng phẳng
ABCD
là tứ diện
Cách 1:
, . 0AB AC AD




Cách 2: Lập phƣơng trình mặt phẳng

II. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Trong không gian
Oxyz
, cho các vectơ :
(1,1,3), (3, 1,2), (2,3,1)a b c   
và
(9; 3,7), (1,8,8), (5, 5,1)p q r    
.
a) Chứng minh rằng ba vectơ
,,abc
không đồng phẳng.
b) Chứng minh rằng ba vectơ
,,pqr
đồng phẳng.
GIẢI.
a) Chứng minh ba vectơ
,,abc
không đồng phẳng:
Ta có:
 
1 3 3 1 1 1
, ; ; 2.1 ( 1).3;3.3 2.1;1.( 1) 3.1 (5;7; 4)
1 2 2 3 3 1
ab


        




a) Chứng tỏ ba vectơ
,,abc
không đồng phẳng.
b) Phân tích vectơ
( 9,15,5)d 
theo ba vectơ
,,abc
.
GIẢI.
a) Chứng tỏ ba vectơ
,,abc
không đồng phẳng:
Ta có:
, (7;5; 1)ab




, . 7.3 5.( 1) ( 1).4 7 0a b c

       


Vậy ba vectơ
,,abc

không đồng phẳng.
b) Phân tích vectơ
( 9,15,5)d 
theo ba vectơ

Oxyz
, cho các vectơ
(1, ,2), ( 1,2,1), (0, 2,2)a m b m c m    
.
Định
m
để ba vectơ
,,abc
đồng phẳng. GIẢI.
Ta có:
 
2
, 4;2 1; 2a b m m m m

     


Để ba vectơ
,,abc
đồng phẳng thì :
2
2
, . 0 ( 4).0 (2 1)( 2) ( 2).2 0 5 2 0
5
a b c m m m m m m m

                

là một tứ diện.

GIẢI.
Ta có:
(3; 6;3), (2; 4; 4), (3; 2; 3)AB AC AD       

, (36;18;0) , . 36.3 18.( 2) 0.( 3) 72 0AB AC AB AC AD
   
        
   

, , ,A B C D
không đồng phẳng

tứ diện
A B CD
.
tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 15

BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1: Cho hai bộ ba vectơ
( , , ),( , ,w)a b c u v
với:
( 3;2;5), ( 1; 1;4), ( 2;3;1)a b c      

( 2; 6;1), (4; 3; 2),w ( 2; 1;1)uv        

,,abc
.
Bài 4: Trong khơng gian
Oxyz
, cho 2 vectơ
(2; 2;1), (8;4;1)ab  
. Tìm vectơ
c
thỏa:

, ,
cb
ca
abc









đồng phẳng

Bài 5: Trong khơng gian
Oxyz
, cho
 
( 1;2;3), (1;1;1), 2;2;2A B C

ABC
có
(1;2;3), ( 1;3;4), (0;4;2)A B C
.
a) Tìm tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
.
b) Tính góc
A
của tam giác
ABC
.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác
ABC
.
Bài 2: Cho các điểm
( 3; 2;0), (3; 3;1), (5;0;2)A B C  
. Tìm tọa độ điểm
D
để
ABCD
là hình
bình hành.
Bài 3: Trong mặt phẳng
Oxyz
, tìm điểm
M
sao cho

Bài 6: Trong mặt phẳng
Oxyz
, cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có:
(2;0;2), (4;2;4), (2; 2;2)A B D 
,
'(8;10; 10)C 
.
a) Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
b) Tình thể tích hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D

Bài 7: Trong mặt phẳng
Oxyz
,cho ba điểm
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( 0, 0, 0)A a B b C c a b c  
.
a) Chứng tỏ tam giác
ABC
không thể là tam giác vuông.
b) Tính thể tích hình chóp
.O ABC
và diện tích tam giác
ABC
theo
,,abc
.
(Trích ĐTTS vào Trƣờng Đại học Mỹ thuật Công nghiệp, 1999)
Bài 8: Trong mặt phẳng

ABC
và
I
là điểm chia đoạn
OG
theo tỉ số
2k 
.
a) Tính theo
,,abc
diện tích tam giác
ABC
và thể tích tứ diện
.I A BC
.
b) Cho
6abc  
. Tìm
,,abc
để tứ diện
.O ABC
có thể tích lớn nhất.
Bài 10: Cho hình hộp xiên
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
'AB C
.
a) Chứng minh


tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 18

I. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
* Mặt cầu
()S
tâm
( ; ; )I a b c
, bán kính R có phương trình:
     
2 2 2
2
x a y b z c R     

* Phƣơng trình:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d      
(
2 2 2
0a b c d   
)
là phương trình mặt cầu tâm
( ; ; )I a b c

 IH = R (S)  () = {H}, khi đó () gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm
H. (()  IH)
 IH < R  (S)  () là một đường tròn tâm (C) có tâm H, bán kính
22
r R IH

(C) có phương trình
     
2 2 2
2
0
x a y b z c R
Ax By Cz D

     


   



Đƣờng tròn
()C
có tâm
H
là hình chiếu vng góc của
I
trên mặt phẳng
()


M
gọi là tiếp diện của mặt cầu.
Mặt phẳng
()

vng góc với bán kính
R
tại tiếp điểm
M
.
- Nếu mặt phẳng
()

đi qua tâm
I
của mặt cầu
()S
thì sẽ cắt mặt cầu
()S
theo đƣờng tròn
()C
,
gọi là đƣờng tròn lớn, có tâm và bán kính chính là tâm và bán kính của mặt cầu
()S
.
2
2
a m a
b n b
c p c
  


   


  


- Cách tìm bán kính:
2 2 2
R a b c d   Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
2 2 2
( ): 8 2 6 1 0S x y z x y z      

b)
2 2 2
9
( ):3 3 3 6 3 15 0
2
S x y z x y z      





Bán kính mặt cầu:
2 2 2 2 2 2
4 ( 1) ( 3) 1 5R a b c d          

b) Ta có:
2 2 2 2 2 2
93
( ):3 3 3 6 3 15 0 2 5 0
22
S x y z x y z x y z x y z              

Tâm của mặt cầu:
2
1
2
1 1 1 5
: 1; ;
2 2 2 2
55
22
a
I b I
c

  

tusachvang.net
ĐẶNG VĂN CƯỜNG
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Trang 20

BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Bài 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu sau đây:
a)
     
2 2 2
2 3 1 8x y z     
b)
 
2
22
3 16x y z   

c)
2 2 2
2 4 6 2 0x y z x y z      
d)
2 2 2
8 2 1 0x y z x y     

e)
2 2 2

S
là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Bài 3: Cho
()
m
S
có phƣơng trình:
2 2 2 2
( ): 2 2 4 5 2 3 0
m
S x y z mx my mz m m        

Xác định tham số
m
để
()
m
S
là một mặt cầu. Tìm tập hợp tâm
I
của mặt cầu
()
m
S
khi
m
thay
đổi.
Dạng 2 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THEO CÁC
ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

AB
I
xx
x
yy
y
zz
z















;
Bán kính
     
2 2 2
22
B A B A B A
x x y y z z

   

Tính bán mặt cầu:
2 2 2
( ;( ))
aA bB cC D
R d I
A B C

  



5) Đi qua 2 điểm A và B và có tâm nằm trên một đƣờng thẳng (d):
0
0
0
( ):
x x at
d y y bt
z z ct








;

IA IB
a
I a b c
IA IC b
R IA
I P c







   
  





Ví dụ 2: Cho
(6;2; 5), ( 4;0;7)AB
.Viết phƣơng trình mặt cầu nhận
AB
làm đƣờng kính.




    


  

  



Bán kính mặt cầu:
2 2 2
( 4 6) (0 2) (7 5)
62
22
AB
R
     
  

Vậy phƣơng trình mặt cầu cần tìm là:
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 62x y z     
tusachvang.net












Vy phng trỡnh mt cu cn tỡm l:
2 2 2
2 4 4 0x y z x y z Vớ d 4: Vit phng trỡnh mt cu cú tõm
( 1;2;3)I
v qua im
( 2;1;1)M
. GII.
Gi
()S
l phng trỡnh mt cu cn tỡm cú:
2 2 2
( 1;2;3)
( 2 1) (1 2) (1 3) 6

()S
l phng trỡnh mt cu cn tỡm cú:
222
(1;1;2)
1 2.1 2.2 2
( ,( )) 3
1 2 2
I
R d I









taõm
baựn kớnh

Vy phng trỡnh mt cu
()S
cn tỡm l:
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 9x y z Vớ d 6: Vit phng trỡnh mt cu
()S

5
(4 ) (2 ) (6 )
2
( ) 0
7
2
a
IA IB a b c a b c
IA IC a b c a b c b
I P a
c




         



           
  
  







5 7 13

h) Đi qua A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
i) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
j) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)

Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Tâm I  Ox và đi qua 2 điểm A(3;1;0) B (5;5;0).
b) Có tâm là trọng tâm tam giác ABC với A(1;2;3), B(2;2;1), C(0;2;-1) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P):3x +4y + 5 = 0
Bài 6: Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt cầu:
a) Đi qua ba điểm A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trên mp
()Oyz
.
b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng
()Oyz
và có tâm nằm trên tia Ox.
c) Có tâm
(1;2;3)I
và tiếp xúc với mp
()Oyz

Bài 7: Lập phƣơng trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(-1;2;3), B(-4;1;-1), C(0;2;2) và có tâm nằm
trên mặt phẳng
Oxz

Bài 8: Lập phƣơng trình mặt cầu có tâm
(2; 1;2)I 
tiếp xúc với
( ): 2 2 5 0x y z

   

;
( ): 2
0
xt
BC y t
z








;
8
( ):
1 1 0
x y z
AC



Dạng 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT
CẦU – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU.

PHƢƠNG PHÁP:

2 4 6 10 0x y z x y z      

Xét vị trí tƣơng đối của (S) với các mặt phẳng:
a) (P): 3x + 2y – 2z + 22 = 0 b) (Q): x – 2y + 2z – 7 = 0.
c) (R): 5x – y + z + 1 = 0 d) (

): 3x – y – z - 3 = 0.
Bài 12: Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 8 14 55 0x y z x y z      
và mặt phẳng
( ):6 6 7 0P x y z m   
.
Xác định m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt phẳng (S).
Bài 13: Cho mặt cầu (S) có phƣơng trình:
2 2 2
4 2 10 19 0x y z x y z      

Viết phƣơng trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại điểm M(4;4;-3).
Bài 14: Cho mặt cầu (S):
     
2 2 2
1 3 2 49x y z     
. Viết phương trình mặt phẳng tiếp
xúc với mặt cầu (S) tại trung điểm AB biết A(9; 4; -1) và B(7;2;5).
Bài 15: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng:
4 3 12 1 0x y z   
và tiếp
xúc với mặt cầu có phương trình:
2 2 2