Chuyên đề nghiên cứu
MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN

I. CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN

1. Một số công thức cơ tính đạo hàm
[c]’ = 0
[x]’ = 1
[x
α
]’ = αx
α – 1

[sinx]’ = cosx
[cosx]’ = –sinx
[tanx]’ =
1
cos
2
x

[cotx]’ =
-1
sin
2
x

[lnx]’ =
1
x

dy ta gọi là vi phân của hàm số
dx ta gọi là vi phân của đối số (biến)
Như vậy: Vi phân của hàm số bằng tích của đạo
hàm của hàm số đó với vi phân của biến.
3. Tích phân
S =

f(x).dx = g(x) + C
Trong dấu tích phân là một hàm số và một vi phân. Vi
phân của biến nào thì tính tích phân theo biến đó, tất
cả các đại lượng khác biến đều được xem là hằng số.
Từ các đạo hàm cơ bản, hãy viết các tích phân cơ
bản:

dx = x + c

x
α
dx =
1
α

= ln|x| + C. Tuy nhiên công thức này phải
hiểu là: thương số giữa vi phân của biến dx với biến x.
Còn với tích phân cần tìm thì, thương số giữa vi phân
của biến dx với một hàm của biến 1 – 3x.
Ta có thể khắc phục điều này bằng cách đặt ẩn phụ X
= 1 – 3x, khi đó trong tích phân cũng phải có vi phân
của ẩn phụ X, đó là
dX = X’(x).dx
Hay dX = -3dx
Suy ra dx =
-dX
3

Thay trở lại tích phân cần tìm ta được dạng của công
thức:
S =
-1
3


dX
X

Bây giờ thì áp dụng được công thức, ta tính được
S =
-1
3

m
1
v
1
+ m
2
v
2
= m
1
v
1
’ + m
2
v
2
’
+ Định lí động năng:
1
2
mv
2
2
-
1
2
mv
1
2
= A

dT

(C là nhiệt dung bằng đạo hàm của nhiệt lượng theo
nhiệt độ tuyệt đối)
3. Áp dụng
+ Lập phương trình cơ bản
+ Đưa về dạng vi phân: Mỗi vế có một vi phân, biến
của vi phân nào thì nằm cùng vế với vi phân đó
+ Tích phân hai vế theo các cận xác định

Bài 1
Một vật khối lượng m = 1 kg, vận tốc ban đầu
v
0
= 10 m/s, chịu lực cản có độ lớn F
c
= kv, v là vận
tốc của vật, hằng số k = 1 kg/s).
1. Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t
2. Chứng minh rằng vận tốc của vật giảm dần theo
hàm số bậc nhất của đường đi.
3. Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng.
Giải
1. Vận tốc theo thời gian t
Bài toán đang xét vật chuyển động dưới tác dụng của
một lực, đó là F
c

+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động
+ Định luật II Niu-tơn

0
v
m
k
dv
v

t = -
m
k
(lnv - lnv
0
) =
m
k
ln






v
0
v

 v = v
0
e
-k

 v = -
k
m
s + v
0

3. Quãng đường đi đến khi dừng
Cho đến khi vật dừng lại thì v = 0, suy ra
s =
mv
0
k
=
1.10
1
= 10 m
Bài 2
Một thanh trượt bằng kim loại có khối lượng m, có thể
trượt không ma sát dọc theo hai đường ray bằng kim
loại đặt song, nghiêng một góc α và cách nhau một
đoạn b. Các đường ray được nối kín ở phía dưới bằng
một tụ điện có điện dung C. Hệ được đặt trong một từ
trường đều cảm ứng từ B, các đường sức thẳng đứng
hướng xuống. Ban đầu thanh trượt được giữ ở khoảng
cách l so với đáy.
Hỏi sau bao lâu kể
từ lúc thả nhẹ, thanh
trượt tới đáy? Tính
vận tốc của nó khi
đó. Bỏ qua điện trở

= C.B.b.cosα.a
F
t
= C.B
2
b
2
.cosα.a
Thay trở lại phương trình cơ bản ta được
mg.sinα = (m + C.B
2
b
2
cos
2
α)a
a =
mg.sinα
m + C.B
2
b
2
cos
2
α

Chuyên đề nghiên cứu
Ta thấy rằng gia tốc a không đổi theo thời gian, thanh
trượt xuống nhanh dần đều với vận tốc ban đầu bằng
không, ta có

α

* Ghi chú: Chắc bạn thắc mắc
1. Vì sao trong công thức I = C.B.b.cosα.a lại có
cosα?
Công thức tính suất điện động trên thanh dẫn dài b,
chuyển động với vận tốc v trong từ trường đều B là
= B.v.l.sin

, trong đó

là góc hợp bởi
v
với
B

Hãy vẽ góc

và sẽ thấy sin

= cosα
2. Vì sao lực F
t
nằm ngang, hướng sang phải ?
Hãy vẽ đường sức từ, áp dụng quy tắc bàn tay trái, và
chú ý rằng,
t
F
vuông góc đồng thời với thanh và các
đường sức.



0
v
x
dv
x
=



0
t
k
m
.cosα.t.dt

v
x
=
k
2m
cosα.t
2

Trên trục Oy
k.sinα.t + N = mg
1. Khi vật rời mặt phẳng ngang
N = 0


cosα.t
2
dt


0
x
dx =
k
2m
cosα.


0
t
t
2
dt
x =
k.cosα.t
3
6m

Lúc t =
mg
k.sinα
thì quãng đường là
x =
m
2

Từ
dx
dt
= v

dt =
dx
v

Vậy ta có: g.sinα – kx.g.cosα =
vdv
dx

g(sinα – k.cosa.x)dx = vdv


0
x
g(sinα – k.cosa.x)dx =


0
v
vdv
 g(sinα.x -
1
2
k.cosα.x
2
) =
Bài 5
Cho n mol khí lí tưởng đơn nguyên tử có nhiệt dung C
phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối T theo hệ thức
eq C = α + βT, trong đó α và β là các hằng số.
1. Tính nhiệt lượng cần truyền cho khí để nó tăng từ
nhiệt độ T
1
đến nhiệt độ T
2
.
2. Viết biểu thức thể tích của khí theo nhiệt độ T.

Giải
1. Nhiệt lượng
Nói đến nhiệt lượng và nhiệt dung, ta phải nghĩ đến
công thức
C =
dQ
dT

Hay
dQ = CdT = (α + βT)dT


0
Q
dQ =


Bây giờ ta được
(α + βT)dT =
3
2
nRdT + pdV
* Ghi chú: đến đây thường ta nghĩ, α, β, n, R, p đều là
hằng số, nên có thể chuyển T và dT sang một vế, dV
sang một vế để thực hiện tích phân.
Tuy nhiên, hãy chú ý, nếu trong một quá trình rất nhỏ
thì áp suất không đổi, nhưng nếu tích phân, tức là xét
cả quá trình dài, áp suất không phải hằng số, nó thay
đổi theo T. Vậy ta phải đưa p về dạng có T và V (trong
phương trình chỉ có hai vi phân dT và aV), ta sử dụng
phương trình trạng thái
p =
nRT
V
, thay vào phương trình cơ bản ta được
(α + βT)dT =
3
2
nRdT +
nRT
V
dV
Bây giờ thì đã rõ ràng, phương trình chỉ có các hằng
số và hai biến V và T, ta đưa về hai vế cùng với hai vi
phân dV và dT



3
2
nR
T
dT +

βdT = nR




dV
V

 (α -
3
2
nR)lnT + βT = nRlnV + C
Bài 6
Một mạch kín gồm một nguồn điện có suất điện động
biến thiên theo thời gian = 10cos(100πt) (V) và
điện trở trong không đáng kể, nối với mạch ngoài có
một điện trở R = 50 Ω.
1. Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch
tại thời điểm t.
2. Tính điện lượng chuyển qua điện trở và nhiệt
lượng tỏa ra trên điện trở trong thời gian từ

dq = 0,02


t
1
t
2
cos(100πt)dt
 q =
0,02
100π


t
1
t
2
cos(100πt)d(100πt)
= -
0,02
100π
[sin(100πt
2
) – sin(100πt
1
)] ≈ -3,18.10
-5
C

Bài 7

Thành phần F
x
tác dụng lên thành phần v
y
(Lưu ý rằng
lực từ luôn vuông góc với vecto vận tốc)
F
x
= Bv
y
|e|
Thành phần F
y
tác dụng lên thành phần v
x
F
y
= Bv
y
|e|
- Định luật II Niu-tơn trên Ox (trên Ox chỉ có lực từ
nên ta xét trước):
F
x
= ma
x

Bv
y
|e| = m

y

(Hãy vẽ vecto lực từ thì sẽ thấy thành phần F
y
luôn
ngược chiều dương)
Hay
|e|U
d
- B|e|v
x
= m
dv
y
dt

Ta thay thế v
x
=
B|e|
m
y và dt =
dy
v
y
vào thì được
|e|U
d
-
B

|e|U
d
y -
B
2
e
2
2m
y
2
=
m
2
v
y
2

Electron đến bản dương khi y = d, khi đó
|e|U
d
d -
B
2
e
2
2m
d
2
=
m

xBB
z


. Trong đó
0
B
và

là
các hằng số. Tại thời điểm t = 0, truyền cho khung
vận tốc ban đầu
0
v

dọc theo trục Ox. Xác định quãng
đường dịch chuyển xa nhất của khung. Giải
Đây cũng là bài toán về sự chuyển động của khung
dây, phương trình cơ bản là định luật II Niu-tơn
+ Xét khung dây ở tọa độ x (cạnh bên trái của khung
có tọa độ x)
+ Các lực tác dụng lên khung theo phương ngang
chính là lực từ tác dụng lên các cạnh của khung.
+ Cảm ứng từ dọc theo Oz là đều, nên các lực từ tác
dụng lên hai cạnh dọc theo Ox cùng độ lớn, nhưng
ngược chiều nhau, chúng triệt tiêu lẫn nhau.
+ Các lực tác dụng lên hai cạnh dọc theo Oz lần lượt

F
2
– F
1
= ma
-B
0
αX
0
Z
0
I = ma
Trong đó, ta tính I bắt đầu từ việc tính từ thông qua
khung dây tại vị trí này.
Xét diện tích dS cạnh Z
0
, dX tại vị trí cách cạnh bên
trái một đoạn X. Vì dX rất nhỏ nên cảm ứng từ trên
diện tích này là đều B = B
0
[1 – α(x + X)]
dΦ = B.dS = B
0
[1 – α(x + X)]Z
0
dX
Φ =


0

α.
dx
dt
=
I =
R
=
B
0
Z
0
X
0
α
R
.
dx
d

Thay vào biểu thức định luật II Niu-tơn ta được
-
B
0
2
X
0
2
Z
0
2

B
Chuyên đề nghiên cứu
Tích phân hai vế từ x = 0 đến x và từ v = v
0
đến v = 0
ta được
-
B
0
2
X
0
2
Z
0
2
α
2
R
.x = -mv
0

 x =
mv
0
R
B
0
2
X

; v =
k
2
2
t; 2) v
tb
=
k x
2Bài 3
Một chất điểm chuyển động chậm dần trên một đường
thẳng với gia tốc có độ lớn phụ thuộc vào tốc độ v
bằng biểu thức a = k v, với k là hằng số dương. Tại
thời điểm ban đầu vận tốc của chất điểm là v
0
. Tính
quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại và thời
gian đi quãng đường đó.
ĐS: s =
2
3k
.v
3/2
; t =
2 v
0
k


Một thanh kim loại AB có thể
trượt không ma sát dọc theo một
đường ray trên mặt phẳng ngang
(hình vẽ). Thanh có chiều dài l,
khối lượng m và điện trở R. Hệ
thống được đặt trong một từ
trường đều thẳng đứng, cảm ứng
từ B. Tại thời điểm t = 0, một lực không đổi F nằm
ngang, song song với đường ray, tác dụng lên thanh
và thanh bắt đầu chuyển động sang phải. Hãy lập biểu
thức vận tốc của thanh theo thời gian t. Bỏ qua điện
trở của ray.
ĐS: v = (1 - e
-B
2
l
2
Rm
t
)
RF
B
2
l
2

Bài 6
Một dây dẫn thẳng dài
vô hạn mang dòng
điện

0
4.10 ln
Iv
b
F
Ra





Bài 7
Proton có vận tốc v = 10
7
m/s bay vào một môi trường
có từ trường đều B = 0,2 T, các đường sức vuông góc
với mặt phẳng quỹ đạo
của proton. Ngoài ra,
proton còn chịu tác dụng
của lực cản tỉ lệ với vận
tốc F = αv, với α = 7.10
-
20
Ns/m. Hỏi ở khoảng
cách nào kể từ khi bay
vào môi trường, proton
dừng lại?
ĐS: l =
v
0