Trang 1

Trang 2
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
Tên đề tài: “Một số tính chất của nhóm siêu giải được”
Giáo viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hoàng Xinh
Sinh viên thực hiện: Phạm Ngọc Anh – MSSV: 1040047
Đề tài nghiên cứu về một số tính chất của nhóm siêu giải được và ứng dụng của
nó. Đây là đề tài cần có sự tổng hợp rất nhiều kiến thức về cấu trúc nhóm.
Tác giả đề tài đã trình bày rất rõ và chứng minh chi tiết các tính chất của nhóm
siêu giải được. Bên cạnh đó, đề tài còn nêu lên một số ứng dụng của nhóm siêu giải
được cũng như những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn. Ngoài ra, tác giả
còn đưa ra rất nhiều ví dụ, phản ví dụ và giải quyết gần 20 bài tập để có thể làm rõ các
tính chất của nhóm siêu giải được. Có thể nói tác giả đề tài đã làm tròn công việc được
giao.
Luận văn gồm 75 trang được chia làm 5 chương, trong đó trọng tâm là chương
2, 3 và 4. Luận văn trình bày rõ ràng, đẹp. Tác giả đã làm việc nghiêm túc để hoàn
thành công việc được giao. Luận văn có thể được sử dụng để làm tài liệu tham khảo
cho sinh viên ngành sư phạm Toán và Toán tin. Với kết quả đạt được, tôi cho rằng
luận văn của sinh viên Phạm Ngọc Anh xứng đáng là lu
ận văn tốt nghiệp đại học.
Giáo viên hướng dẫn ThS. Nguyễn Hoàng Xinh

Trang 3
LỜI NÓI ĐẦU
Sau thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những
kiến thức tiếp thu được từ quý thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ
môn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệp toàn khóa.

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77
Trang 5
BẢNG KÝ HIỆU
C tập các số phức
Z tập các số nguyên
1 phần tử đơn vị của nhóm nhân hoặc nhóm đơn vị
GH
≤
H là nhóm con của nhóm G
H < G H là nhóm con thực sự của nhóm G
GH
<
H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G
G/H nhóm thương của nhóm G trên H
N
G
(H) chuẩn hóa tử của H trong G
C
G
(H) tâm giao hoán của H trong G
Z(G) tâm giao hoán của nhóm G
[G:H] chỉ số của nhóm con H trong G
G cấp của nhóm G
b a a là ước của b

PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đại số trước thế kỷ XIX được xem như một sự mở rộng của số học (dùng chữ
để biểu thị các con số). Đến đầu thế kỷ XIX, các nhà Toán học bắt đầu chú ý đến sự
tồn tại cấu trúc trong đại số học, chẳng hạn như luật giao hoán và luật kết hợp của các
phép toán. Từ đó dẫn đến sự ra đời của lý thuyết nhóm. Tuy nhiên lý thuyết nhóm thật
sự phát triển bởi Galois (1811-1832) là người đã chứng minh được rằng đa thức chỉ
được hiểu một cách tốt nhất dưới sự kiểm tra của nhóm hoán vị các nghiệm của chúng.
Kể từ đó, nhóm đã xuất hiện trong mọi lĩnh vực của Toán học và nó có mối liên quan
chặt chẽ với lý thuyết số, hình học, tôpô, logic,…
Lý thuyết nhóm ra đời đã tạo nên một bước ngoặt lớn trong sự phát triển của
đại số. Một loạt các cấu trúc nhóm được xây dựng trên nền tảng của những tiên đề
khác nhau nhưng nó vẫn đảm bảo tính nhất quán của hệ thống như nhóm thương,
nhóm giao hoán, nhóm xyclic, nhóm polyxyclic, nhóm giải được, nhóm siêu giải được,
nhóm lũy linh,…Đặc biệt có một nhóm được hình thành bằng cách nhúng nó vào
nhóm xyclic bởi một dãy các nhóm con chuẩn tắc. Đó là nhóm siêu giải được. Lớp
nhóm siêu giải được đặt giữa nhóm lũy linh hữu hạn sinh và nhóm polyxyclic hữu hạn
sinh.
Em nhận thấy nhóm siêu giải được là một nhóm còn khá mới đối với bản thân
nói riêng và với sinh viên chuyên ngành Toán của trường Đại học Cần Thơ nói chung.
Ngoài ra, được sự hướng dẫn và động viên của các thầy cô trong Bộ môn Toán – Khoa
Sư phạm và đặc biệt là của thầy Nguyễn Hoàng Xinh nên em đã mạnh dạn chọn đề tài
"Một số tính chất của nhóm siêu giải được" để làm luận văn tốt nghiệp toàn khóa.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài "Một số tính chất của nhóm siêu giải được", em hướng đến
mục đích là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học
còn khá mới đối với bản thân. Từ đó hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán
học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Với nền tảng những kiến thức đã có, em
tổng hợp và xây dựng sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa nhóm siêu giải được và các loại
nhóm khác. Đây cũng là dịp để em có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm
1.1.1.Nhóm
1.1.1.1.Định nghĩa
Nhóm là một tập hợp G khác rỗng cùng với phép toán hai ngôi (
*
) trên G thỏa
các điều kiện sau:
i) Với x, y, z
∈
G thì (x
*
y )
*
z = x
*
(y
*
z)
ii) Với mọi
Gx
∈
, tồn tại phần tử e
∈
G sao cho x
*
e = e
*
x = x

của G nếu H cùng với phép toán cảm sinh từ phép toán trong G tạo thành một nhóm.
Kí hiệu là H
≤
G.
Dễ thấy tập hợp chỉ gồm phần tử đơn vị của nhóm G lập thành một nhóm con
của G và được gọi là nhóm đơn vị. Kí hiệu là 1.
Nếu H
≤
G, GH1,H
≠
≠
thì H được gọi là nhóm con thực sự của G và được kí
hiệu là H < G.
1.1.2.2.Định lý (về điều kiện tương đương với nhóm con)
Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Khi đó các điều kiện sau tương
đương: Trang 9
i) H
≤
G
ii) Với mọi x, y
∈
H ta có



∈
∈

≤
G, SH = . Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh của
H.
Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G.
iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh.
Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic.
iv) Nếu S = {x
1
, x
2
,…x
n
} thì
n21
x, x,xS …= .
Như vậy G là nhóm xyclic khi và chỉ khi tồn tại
Ga
∈
sao cho aG = .
1.1.4.Lớp ghép – Cấp của phần tử
1.1.4.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm. Khi đó
i) Cấp của G chính là lực lượng của G và ta kí hiệu là G . Nếu G là hữu hạn
thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại, G được gọi là nhóm vô hạn.
ii) Cấp của phần tử
Ga
∈
là cấp của nhóm a và ta kí hiệu là a . Nếu a là
hữu hạn thì a được gọi là phần tử có cấp hữu hạn. Ngược lại, a được gọi là phần tử có
cấp vô hạn.

Cho G là nhóm, K
≤
H
≤
G. Khi đó

[ ]
[
]
[ ]
K:H
K:G
H:G =

1.1.4.6.Các hệ quả
Cho G là nhóm. Khi đó
i) Nếu G hữu hạn, H
≤
G thì
[
]
H:G.HG =
ii) Nếu H, K
≤
G và H, K hữu hạn thì
KH
K.H
HK
∩
=

GH1,H
≠
≠
.

Trang 11
1.1.5.2.Định lý
Cho G là nhóm, H
≤
G. Khi đó
GH
<
khi và chỉ khi với mọi
H
h
∈
và với mọi
Gx
∈
ta có
H
xhx
1
∈
−
.
1.1.5.3.Tính chất
Cho G là nhóm. Khi đó
i) Nếu
GH

là tập tất cả các nhóm con của G chứa H.
Khi đó tương ứng S/HS:
a
f là một song ánh từ L(H,G) vào L(G/H). Hơn
nữa, nếu ta kí hiệu S/H = S
*
và T/H = T
*
với H
≤
S, T
≤
G thì
i)
**
STST ≤⇔≤ . Khi đó
[
]
[
]
**
T,STS, =
ii)
**
STST
<
<
⇔ . Khi đó
**
TSTS ≅

)
(
)
(
)
2121
x*xxx fff = .
i) Đồng cấu nhóm YX:
→
f được gọi là đơn cấu nhóm nếu f là đơn ánh.
Trang 12
ii) Đồng cấu nhóm YX:
→
f được gọi là toàn cấu nhóm nếu f là toàn ánh.
iii) Đồng cấu nhóm YX:
→
f được gọi là đẳng cấu nhóm nếu f là song ánh.
Khi đó, ta nói X đẳng cấu với Y và kí hiệu
Y
X
≅
.
iv) Tập tất cả các đồng cấu nhóm từ X tới Y được kí hiệu là Hom(X,Y).
v) Tập tất cả các tự đồng cấu của nhóm X được kí hiệu là EndX.
vi) Tập tất cả các tự đẳng cấu của nhóm X được kí hiệu là AutX.
1.1.6.2.Định nghĩa
Cho đồng cấu nhóm YX:
→
f , A
⊂

1
Y
ee(x) XxKer
−
==∈= fff .
1.1.6.3.Tính chất
Cho đồng cấu nhóm YX:
→
f .
i) Nếu
X
A
≤
thì
(
)
YA ≤f .
ii) Nếu
Y
B
<
thì
(
)
XB
1
<
−
f .
iii) Ảnh của một nhóm giao hoán là nhóm giao hoán.

G,
H
K
⊂
. Khi đó
G/KH/K
<
và
(
)
(
)
G/HH/KG/K ≅ .
1.1.7.Nhóm con đặc trưng
1.1.7.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm,
GH
≤
. H được gọi là nhóm con đặc trưng của G nếu với mọi
AutG
∈
f ta có
(
)
HH =f .
Kí hiệu là H char G.
1.1.7.2.Ví dụ
Cho G là nhóm. Khi đó ta có
i) 1 char G, G charG
Thật vậy, AutG

)
AutG Z(G),Z(G) ∈∀≤ ff (1)
Như vậy ta có
(
)
AutG Z(G),Z(G)
1
∈∀≤
−
ff

(
)
(
)
(
)
AutG ,Z(G)Z(G)Z(G)
1
∈∀≤=⇒
−
ffff (2)
Từ (1) và (2) ta có
(
)
AutG Z(G),Z(G) ∈∀= ff

⇒
Z(G) char G.
1.1.7.3.Tính chất

ff .

(
)
(
)
(
)
AutG ,HHH
1
∈∀≤=⇒
−
ffff .
Như vậy
(
)
AutG ,HH ∈∀= ff .

⇒
H char G.
Trang 14
ii) Với mỗi a
∈
G ta xét tự đẳng cấu trong của G: GG:
a
→f

-1
axa x
a


Vì H char K nên
(
)
(
)
HHH
K
ff == .
Vậy
(
)
AutG H,H ∈∀= ff

⇒
H char G.
iv) Với mỗi a
∈
G ta xét tự đẳng cấu trong của G: GG:
a
→f

-1
axax
a

Do
GK
<
nên KK:

⇒
.
1.1.7.4. Định lý
Cho G là nhóm xyclic hữu hạn. Khi đó mọi nhóm con của G là nhóm con đặc
trưng của G.
Chứng minh
Do G là nhóm xyclic hữu hạn nên với mọi m là ước của G đều tồn tại duy nhất
một nhóm con của G có cấp m.
Giả sử A
≤
G, AutG
∈
∀
f .
Ta có A,
(
)
G A ≤f và với mỗi AutG
∈
f ta có (A)A:
A
ff →
(a)a f
a

là một đẳng cấu. Do đó
(
)
AA f=


Chứng minh
i) Hiển nhiên
ii) Giả sử N và G/N là nhóm thỏa điều kiện tối đại, ta chứng minh G thỏa điều
kiện tối đại.
Lấy S là tập khác rỗng các nhóm con của G
Xét
{
}
SK NKS
N
∈∩= và
(
)
{
}
SK ,ANK /NKNS
*
∈=∩=
Khi đó, ta có
S
N
là tập con khác rỗng các nhóm con của N. Do đó S
N
có phần tử tối đại là A.
S
*
là tập con khác rỗng các nhóm con của G/N. Do đó S
*
có phần tử tối đại là B.
⇒

/NKNB/NHN ==
Ky
∈
∃
⇒
sao cho yNxN = . Do đó tồn tại n
∈
N sao cho x = yn
NKANHxy
1
∩==∩∈⇒
−

Kx
∈
⇒
(mâu thuẫn (*)).
Vậy K là phần tử tối đại trong S. Suy ra G là nhóm thỏa điều kiện tối đại.
1.1.9. Phần bù
1.1.9.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm, GQK,
≤
. Q được gọi là phần bù của K trong G nếu 1QK
=
∩

và KQ = G.
1.1.9.2.Định lý
Nếu K là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho
(

Cho G là nhóm hữu hạn, p G (p là một số nguyên tố). Khi đó
i) Luôn tồn tại một p-nhóm con Sylow của G.
ii) Mọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó.
iii) Nếu n là số các p-nhóm con Sylow của G thì n
≡
1 (mod p).
1.3.4.Hệ quả
Cho G là nhóm có cấp là mp
n
với p là một số nguyên tố, (m, p) = 1. Khi đó
i) Với mỗi
nk0
≤
≤
, luôn tồn tại p-nhóm con P của G có cấp là p
k
.
ii) Nếu n là số các p-nhóm con Sylow của G thì



≡
mn
p) (mod 1n
.
iii) Nếu tồn tại duy nhất H là p-nhóm con Sylow của G thì H
<
G.
1.3.5.Định lý
Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu G có đúng một p-nhóm con Sylow với mỗi p là

∈ , ta có
[
]
[
]
[
]
n1n21n21
g ,g, ,g,gg, ,g,g
−
= .
Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con các hoán
tử của G. Kí hiệu là G' = [G,G]
Ta kí hiệu ]G' ,[G' G
(2)
=
…
]G ,[G G
(c)(c)1)(c
=
+

Trang 18
1.4.2.Mệnh đề
i) G'
<
G
ii) Cho H
<
G. Khi đó G/H là nhóm giao hoán khi và chỉ khi

∈∀∈= được gọi là tâm giao hoán của H trong G.
v) G} x, x= xG {g (G)C Z(G)
g
G
∈∀∈== được gọi là tâm giao hoán của nhóm
G.
1.4.4.Tính chất
Cho G là nhóm.
i) Nếu H
<
G thì C
G
(H)
<
G.
ii) Nếu H char G thì C
G
(H) char G.
iii) Nếu A
≤
G thì A
<
N
G
(A).
iv) Nếu A
≤
G, B
<
A thì A

G
1
x
G
−−
∈
−
∈
−
∩=∩==

(
)
G
gx
Ggx
1
Gg
HHHgxgx =∩=∩=
∈
−
∈

Nếu K
<
G và K
⊂
H thì K
<
H (Tính chất 1.1.5.3(i))

≤
G. Khi đó [H,G]
≤
K
⇔
H/K
≤
Z(G/K).
ii) Nếu H, K
≤
G, LG:
→
f là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm L nào đó.
Khi đó
[
]
(
)
(
)
[
]
K),H(KH, fff = .
1.4.8.Định lý
Cho G là nhóm,
GH
<
, N
G
(H) là nhóm hữu hạn, (H)SylP

)
(
)
H/KAutH/KN:
G
→ψ sao cho
(
)
H/KCker
G
=ψ và như vậy ta có
(
)
(
)
ψImH/KCH/KN
GG
≅ .
1.4.10. Định lý
Cho N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của nhóm hữu hạn G. Nếu N là một p-
nhóm giao hoán cơ bản tức là n
p
= 1,
Nn
∈
∀
thì pN = khi và chỉ khi G/C
G
(N) là
nhóm giao hoán có số mũ là ước của p-1.

Trang 20
iii) Các nhóm thương
(
)
1-n0,iGG
i1i
=∀
+
được gọi là các nhân tử của dãy.
1.4.12.Định nghĩa
i) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G
nếu các số hạng của dãy đều là các nhóm con chuẩn tắc của G.
ii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy Abel nếu tất cả các nhân tử của
dãy đều là nhóm giao hoán.
iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy xyclic nếu tất cả các nhân tử của
dãy đều là nhóm xyclic.
iv) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy hợp thành nếu tất cả các nhân tử
của dãy đều là nhóm đơn.
1.4.13. Định nghĩa
Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H/K với H, K
<
G và H/K là
nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/K.
Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy cơ bản của G nếu tất cả các nhân tử
của dãy đều là nhân tử cơ bản của G.
1.4.14.Bổ đề
Cho G là nhóm và
**
B B, ,A A, là các nhóm con của G, trong đó ,AA
*

(
)
(
)
ABBABBBAABAA
******
∩∩≅∩∩
1.4.15.Định lý
Cho G là nhóm. Khi đó, bất kỳ hai dãy chuẩn tắc nào của G khi được làm mịn
đều có độ dài bằng nhau và các nhân tử tương ứng của chúng đẳng cấu với nhau.
Chứng minh
Giả sử GGG GG1
n1-n10
==
<
<
<
<
(*) và
GHH HH1
m1m10
==
−
<
<
<
<
(**) là hai dãy chuẩn tắc bất kỳ của G.
Ta kí hiệu
(

=∀=∩=∩=
−−−

Mặt khác theo Bổ đề 1.4.14 (i) thì

(
)
(
)
(
)
n1,i ,m0,j GHGG HGGG
1ji,1-ji1iji1iji,
==∀=∩∩=
−−−
>
Ta có dãy chuẩn tắc của G được làm mịn từ dãy (*)
GGG GG GG1
mn,1mn,n,0m1,n1,11,0
===
−−
<
<
<
<
<
<

(dãy này có nm số hạng)
Ta kí hiệu

−−−

Tương tự ta có dãy chuẩn tắc của G được làm mịn từ dãy (**)
GHH HH HH1
mn,m1,nm0,1mn,1,10,1
<
<
<
<
<
<
<
−−
==
(dãy này có nm số hạng)
Theo Bổ đề 1.4.14(ii) ta có

(
)
(
)
(
)
(
)
GHH GHH HGGHGG
1-ij1jij1j1ji1iji1i
∩∩≅∩∩
−−−−−


giải được.
1.5.3.Định lý
Mọi p-nhóm đều là nhóm giải được.
1.5.4.Định lý
Cho G là nhóm giải được hữu hạn. Khi đó G có một dãy hợp thành với các
nhân tử là nhóm có cấp nguyên tố.
1.6.Nhóm poly-P
1.6.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm, P là một tính chất nào đó của nhóm.
Một dãy poly-P là dãy chuẩn tắc của G mà tất cả các nhân tử của dãy đều có
tính chất P.
Nhóm G được gọi là nhóm poly-P nếu nó có một dãy poly-P.
1.6.2.Mệnh đề
i) G là nhóm giải được nếu nó là nhóm polyabelian.
ii) G là nhóm polyxyclic nếu nó có một dãy polyxyclic.
1.6.3.Định nghĩa
Giả sử P, Q là các tính chất nào đó của nhóm. Nhóm G được gọi là nhóm P-by-
Q nếu có N
<
G sao cho N có tính chất P và G/N có tính chất Q.
1.6.4.Nhận xét
Tính chất P và Q của nhóm G được bảo toàn qua phép đẳng cấu. Do đó, tính
chất của nhóm poly-P và nhóm P-by-Q được bảo toàn qua phép đẳng cấu.
1.6.5.Định lý
Mọi nhóm polyxyclic là nhóm giải được.
Chứng minh
Giả sử G là nhóm polyxyclic. Khi đó G có một dãy chuẩn tắc với các nhân tử là
nhóm xyclic.
Trang 23
Suy ra G có một dãy chuẩn tắc với các nhân tử là nhóm giao hoán . Do đó G là

≥≥= γγ
1.7.2.Nhận xét
i)
[
]
G'G,G)G(
2
==γ
ii) i ),G()G(
1
∀≤
+ ii
γγ
iii)
(
)
i ,)G(G)G()G(
11
∀≤
++ iii
Z γγγ
1.7.3.Định nghĩa
i) Nhóm con G)(
i
ζ của nhóm G được định nghĩa bởi phép quy nạp
1G)(
0
=ζ
…


+
γ .
Hơn thế nữa với mọi i ta có: (G))G(
ic
1
−
+
≤ ζγ
i
.
Chứng minh
(
)
⇒ Nếu GG)( =
c
ζ ta chứng minh i , (G))G(
ic
1
∀≤
−
+
ζγ
i
.
- Với i = 0, ta có G)(G)G(
1
c
ζγ ==
- Giả sử (G))G(
ic

1icic −−−
≤ ζζ . Do đó (G)(G)γ
1-i-c
2i
ζ≤
+
.
Vậy i (G),)G(
ic
1
∀≤
−
+
ζγ
i
.
Đặc biệt, nếu i = c, ta có 1(G))G(
0
1
=≤
+
ζγ
c
suy ra 1)G(
1
=
+c
γ .

(

−+
với 0j
≥

Xét toàn cấu nhóm (G)G(G)γG:
j
j1c
ζ→
−+
f
(G) x (G)xγ
j
j1c
ζ
a
−+

Ta có
[
]
(G)γG(G),γ
1j-cj-c +
=
Theo Mệnh đề 1.4.7(i) suy ra
(
)
(G)γGZ(G)γ(G)γ
1jc1jcjc +−+−−
≤
Theo Định lý 1.4.6, ta có

∀≤
−+
ζ hay ta có i (G),)G(
ic
1
∀≤
−
+
ζγ
i
.
Đặc biệt, nếu j = c, ta có (G)(G)γG
c
1
ζ≤= suy ra G(G)
c
=ζ .
1.7.6.Định nghĩa
Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu
∈
∃
c
Z sao cho 1(G)
1c
=
+
γ (*).
Số c nhỏ nhất thỏa (*) được gọi là lớp của nhóm lũy linh G.
Trang 25
1.7.7.Nhận xét

(**)
Dãy (*) và (**) đều có c+1 số hạng. Do đó dãy giảm trung tâm của G và dãy
tăng trung tâm của G có độ dài bằng nhau.
1.7.8.Định nghĩa
Cho G là nhóm.
Dãy trung tâm của nhóm G là dãy chuẩn tắc của G
G==
n1-n10
GG GG1
<
<
<
<

sao cho [G
i+1
, G]
≤
G
i

(
)
1-n0,i =∀ hay nói cách khác, đó là dãy các nhóm con chuẩn
tắc của G
G==
n1-n10
GG GG1
<
<

Đặc biệt, nếu H
<
G thì G/H là nhóm lũy linh có lớp nhỏ hơn hoặc bằng c.

Chứng minh
i) Vì G là nhóm lũy linh lớp c