ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN – NEUMANN
KHÔNG THUẦN NHẤT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành Toán giải tích Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2010

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN – NEUMANN
KHÔNG THUẦN NHẤT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành Toán giải tích Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2010
2
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN …………………………………………………………… …… 1

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô hướng dẫn, TS
Lê Thị Phương Ngọc, người đã tận tình hướng dẫn và động viên tôi vượt qua mọi
khó khăn để hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy, TS Nguyễn Thành Long và Thầy, TS
Trần Minh Thuyết đã truyền đạt cho tôi những kiến thức vô cùng quý báu trong
suốt thời gian tôi học tập và tham dự các buổi seminar do Thầy chủ trì.
Tôi xin trân trọng c
ảm ơn Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã
đọc cẩn thận luận văn của tôi và cho nhiều nhận xét quý báu để luận văn được hoàn
chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán – Tin học
trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và
truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đạ
i học đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi hoàn thành khóa học và làm các thủ tục bảo vệ luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Khoa học Cơ bản Đại học
Y Dược Tp. Hồ Chí Minh đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về mặt công tác để tôi
hoàn thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn các anh chị trong nhóm seminar do Thầy Nguyễn Thành
Long hướng dẫn và các bạn lớp Cao h
ọc Toán giải tích K17 đã đóng góp, động viên
giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập và làm luận văn.
Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, những người đã luôn
ủng hộ tôi trong những lúc khó khăn nhất.
Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy Cô và những đóng góp
quý báu của các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn.
Học viên Cao học
Huỳnh Thanh Toàn

3
Chương 0

TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho
phương trình sóng phi tuyến
()
()
()
()
22
,, , , 0 1,0 ,
tt x xx x
uutufxtuut x tTμ− =<<<< (0.1)
(
)
()
(
)
(
)
0, , 1, 1, 0,
xx
utgtut utη=+= (0.2)
(
)

xtu u t là các hàm phụ thuộc vào tích phân
()
()
1
2
2
0
,
xx
ut uxtdx=
∫
. (0.4)
Phương trình (0.1) có nguồn gốc từ phương trình mô tả dao động phi tuyến
của một dây đàn hồi (Kirchhoff [4])

()
2
0
0
,,0,0,
2
L
tt xx
Eh u
hu P y t dy u x L t T
Ly
ρ
⎛⎞
∂
⎟

⎟
⎜
⎟
=+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∫
4
với
01
,PP là hằng số.
Bài toán (0.1) – (0.4) có nhiều ý nghĩa trong vật lý và cơ học và được nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây.
Phương trình (0.1) với các dạng khác nhau của
μ và
f
và các điều kiện biên
khác nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả, chẳng hạn:
Trong [8], Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm đã khảo sát phương trình
(0.1) với
1μ ≡ , (,, , , )
xt

2
x
uμμ= với điều kiện biên hỗn hợp hay Cauchy cũng được
nghiên cứu bởi nghiều tác giả: Ebihara, Mederios, Minranda [3].
Trong [10], Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng đã khảo sát (0.1) với
()
2
x
uμμ= ,
()
2
,, , , ,
xt x
ffxtuuuu= với điều kiện biên
(
)
(
)
0
0, 0,
x
uthut− =
()
1, 0,ut= và nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u
ε
đến cấp
1N +
theo
ε với
()()

,
()
()
()
()
22
01xx
bbut butμε=+ +
.
Trong [11], Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng đã khảo sát phương trình
(0.1) với
()
2
,
x
Bt uμ = ,
()
2
,, , , ,
xt x
ffxtuuuu= , điều kiện biên
()
0,
x
ut−
(
)
(
)
00
5
Trong [19], Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long đã
nghiên cứu (0.1) với
()
2
2
,,
x
tu uμμ= ,
(
)
,,
f
fxtu= cùng điều kiện biên
(
)
(
)
0
0, 0, 0
x
uthut− = ,
(
)
(
)
1
1, 1, 0

(
)
()
(
)
22
01
22 2
1
22 2
1
,, , , 0 1,0 ,
0, , 1, 1, 0,
,0 , ,0 ,
,, , ,, , ,, , ,
,
tt xx
t
uutuFxtuutxtT
ut gt ut ut
Puxuxuxux
F xtu ut f xtu ut f xtu ut
ut ut ut
εε
ε
ε
ε
μ
η
ε


trong đó các hàm
11
,,,
f
fμμ
sẽ thỏa thêm một số điều kiện phụ.
Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:
Chương 0, phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm
qua các kết quả trước đó và nêu bố cục luận văn.
Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại
một số không gian hàm, một số kế
t quả về phép nhúng compact và một số kết quả
về lý thuyết phổ được sử dụng trong luận văn.
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài
toán (0.1) – (0.4).
Chương 3, chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán
(
)
P
ε
theo tham số bé
ε
.
Chương 4, chúng tôi cho một ví dụ cụ thể để minh họa về khai triển tiệm cận
nghiệm yếu của bài toán
(
)
P
ε

L .
Với mỗi không gian Banach
X , ta ký hiệu chuẩn trên X là .
X
và ký hiệu
(
)
0, ; , 1
p
LTX p≤≤+∞ là không gian Banach gồm tất cả các hàm đo được
(
)
:0,uT X→ sao cho
()
()
()
1
0, ;
0
,1
p
T
p
p
LTX
X
uutdt p
⎛⎞
⎟
⎜

,ut
() ()
,
t
ut ut=

() ()
,
tt
ut ut=

() ()
,
x
ut ut= ∇
(
)
xx
ut
()
ut= Δ để chỉ
() () () () ()
22
22
,, ,, ,, ,, ,
uuuu
uxtxt xtxt xt
tt xx
∂∂ ∂∂
∂∂ ∂∂

Tpi<<+∞≤≤+∞ = , ta đặt
() ()
{}
01
01
0, ; : 0, ;
pp
dv
WvLTX vLTX
dt
= ∈ = ∈

.
Trên
W ta trang bị chuẩn
()
()
0
1
0
1
0, ;
0, ;
p
p
WLTX
LTX
vv v=+

.

0,T và thỏa mãn bất đẳng thức
()
()
[]
12
0
,0,
t
f
tCCfsdst T≤ + ∀∈
∫
,
trong đó
12
,CC là các hằng số không âm.
Khi đó
()
[
]
2
1
,0,
Ct
f
tCe t T≤∀∈.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số kết quả về lý thuyết phổ.
Ta thành lập các giả thiết sau:
Cho
V và H là hai không gian Hilbert thỏa các điều kiện:
(i) Phép nhúng từ

(
)
11
0: , , ,
VV
CauvCuvuvV∃ > ≤∀∈.
(jv) Bức, nếu
(
)
2
00
0: , ,
V
CauuCuuV∃ > ≥∀∈.
Khi đó ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.3. Với các giả thiết (1.3) – (1.5), tồn tại một cơ sở trực chuẩn
{}
1
j
j
w
+∞
=
của H gồm các hàm riêng
j
wV∈ tương ứng với các giá trị riêng
j
λ sao
cho
123

H 1
[
]
0, 1C là compact và
[]
()
1
1
0,1
2,
CH
uuuH≤∀∈.
Chứng minh bổ đề 1.4 có thể tham khảo trong nhiều tài liệu liên quan đến lý
thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn trong [1].
Bổ đề 1.5. Cho dãy số thực
{}
m
γ thỏa
0
0,γ =
1
0,
mm
γσγ δ
−
≤≤ +
1m∀≥, trong đó 01,0σδ≤ < ≥ là các hằng số cho trước, khi đó

,1
1

(
)
(
)
0, , 1, 1, 0,
xx
utgtut utη=+= (2.2)

(
)
()
(
)
()
01
,0 , ,0
t
ux u x u x u x==

, (2.3)
trong đó
0η ≥ là một hằng số,
01
,,,,uugfμ

là các hàm cho trước thoả điều kiện
mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trong phương trình (2.1), các số hạng phi tuyến
()
()

2
1
,1
2
xt g t xΦ = −−
, (2.4)
(
)
(
)
(
)
,,,v xt u xt xt= −Φ , (2.5)
(
)
(
)
()
,, , ,, ,
tt xx
f
xtvz f xtv z zμ=+Φ−Φ+ Φ

, (2.6)
() ()
(
)
() ()
(
)

,, , ,
tt x x xx x x
vvt tvfxtvvt tμ− + Φ =+Φ
01,0 ,xtT<< << (2.9)
(
)
(
)
(
)
0, 1, 1, 0
xx
vtvt vtη=+ =, (2.10)
(
)
()
(
)
()
01
,0 , ,0
t
vx v x v x v x==

. (2.11)
Trong luận văn này, chúng tôi đặt
1

. Khi đó, chúng tôi
có các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Dạng song tuyến tính đối xứng
()
.,.b xác định bởi (2.13) liên tục
trên
11
HH× và bức trên
1
H , tức là
(i)
(
)
11
1
11
0, , , , ,
HH
CbuvCuv uvH∃ > ≤∀∈
(ii)
(
)
1
1
2
00
0, , , ,
H
CbvvCv vH∃ > ≥∀∈
Và chuẩn

L gồm các hàm riêng
j
w tương ứng với các giá trị riêng
j
λ sao cho
123
0 , lim
jj
j
λλλ λ λ
→+∞
< ≤≤≤≤≤ =+∞
và
()
1
, , , , 1, 2,
jjj
bw v w v v H jλ= ∀∈ ∀= 11
Hơn nữa, dãy
j
j
w
λ
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎨⎬

−Δ = −Ω
⎪
⎪
⎪
⎪
=+=
⎨
⎪
⎪
⎪
∈
⎪
⎪
⎩
(2.14)
Bổ đề 2.2 suy ra từ bổ đề 1.3 với
(
)
21
,,,HLVHbuv== xác định từ
(2.13).
Trong chương này, chúng tôi xây dựng một dãy
{}
m
v bằng quy nạp và
chứng minh dãy
{}
m
v hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.9) – (2.11) trong không
gian hàm thích hợp.

0
0, 1
f
C
++
∈ ×××RRR thỏa
[
]
(
)
0
0, 1 , , ,
i
Df C
++
∈ RRR.
Cho trước
*0T > , ta đặt:
()
[]
()
[]
()
11
0, * 0, *
*, '
CT CT
MMTg g g==+
, (2.15)
với mỗi

== ++


, (2.17)
trong đó
()
()
{
,* ,,, :0 1,0 *,AAMT xtvz x tT== ≤≤ ≤≤
()
}
2
1
,0vM z MM≤≤≤+ ;
(
)
(
)
()
(
)
2
1
00
0
,sup
zMM

()
()
()
}
2
12
212
0, ;
0, ;
,0,;:0,;,,
,,,
T
tttT
LTH
ttt
LTH LQ
WMT v L TH v L TH v LQ
vMv MvM
∞
∞
∞∞
= ∈∈∈
≤≤≤
(2.20)
() ()
(
)
{}
2
1

,, 1
m
vWMTm∈≥ thỏa
() () ()
()
()
1
,,,,
mmm m
vtw tavtw Ftw w Hμ+=∀∈

, (2.23)

(
)
(
)
()
00
0,0
mm
vvxvxv===

, (2.24)
(
)
(
)
()
11

⎪
⎪
⎨
⎪
== ∇ + ∇Φ
⎪
⎪
⎩

(2.26) 13
Sự tồn tại các
m
v được cho bởi định lý sau.
Định lý 2.1. Giả sử các giả thiết (H1) – H(4) đúng, khi đó tồn tại các hằng
số
0M > và 0T > sao cho với
0
0v =
cho trước, tồn tại một dãy quy nạp tuyến
tính
{}
(
)
1
,
m
vWMT⊂ được xác định bởi (2.23) – (2.25).

mj
ct thoả hệ phương trình vi phân tuyến tính sau
(
)
() ()
(
)
()
()
()
,,,,1,
kk
mjm mjmj
vtw tavtw Ftw jkμ+=≤≤

(2.28)
(
)
(
)
(
)
(
)
01
0,0,
kk
mkmk
vvvv==


∑

mạnh trong
1
H . (2.31)
Bổ đề 2.4. Giả sử (H1) – (H4) đúng, khi đó với các hằng số
0M > ,
(]
0, *TT∈ cố định, hệ (2.27) – (2.29) có nghiệm duy nhất
(
)
()
k
m
vt trên
[
]
0,T .
Chứng minh bổ đề 2.4
Bỏ qua các chỉ số m và k trong trong biểu thức
(
)
()
01
,,
k
mkk
vtvv

, hệ (2.27) –

1
k
jj
j
vt c tw
=
=
∑
.
Viết lại (2.32) dưới dạng sau
()
()
00
,
t
jjj mj
ct t d F swds
τ
αβ τ=+ +
∫∫()
() ()
00
1,1
t
jmj
dscsdsjk
τ

L c t d sc sds j k
τ
λτμ= −− ≤≤
∫∫
.
Ta viết lại hệ (2.33) theo dạng phương trình điểm bất động
()
[]
()
,ct Hc t= (2.34)
trong đó

() () () ()
()
12
, , , ,
k
ct c t c t c t= (2.35)

[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
()
12
, , ,

n thích hợp thì ánh
xạ
0
:
n
HXX→ là ánh xạ co, tức là tồn tại
[
)
0, 1ρ ∈ sao cho

[]
[
]
00
,,
nn
X
X
Hc Hd cd cdXρ−≤−∀∈
. (2.38)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng: 15
[]
()
[]
()
()
()

[]
()
[
]
()
jj jj
HctHdt LctLdt− = −

()
() () ()
00
1
t
jmjj
dscsdsds
τ
λτμ≤− −
∫∫()
() ()
0
00
1
t
kjj
Kd csdsds
τ
λτ≤− −

2
0
1
1.
22
kk
XX
tt
Hc t Hd t K c d c dλσ−≤−−= −


.
Điều này chứng tỏ (2.39) đúng với
1n = .
Ta giả sử (2.39) đúng với
n , tức là
[]
()
[]
()
()
()
2
1
2!
n
nn
k
X
t

()
()
2
2
00
2!
n
t
k
k
X
s
dcdds
n
τ
σ
στ≤−
∫∫


,
suy ra 16

[]

[]
()
()
2
2!
n
nn
k
X
X
T
Hc Hd cd
n
σ
−≤ −

,
Mà
()
()
2
lim 0
2!
n
k
n
T
n
σ
→+∞

σ
ρ =

, khi đó ta có (2.38).
Vậy
0
:
n
HXX→ là ánh xạ co nên
H
có nghiệm duy nhất, suy ra hệ (2.27)
– (2.29) có nghiệm duy nhất
(
)
()
k
m
vt trên
[
]
0,T .
Bổ đề 2.4 được chứng minh. ■
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.
Đặt

()
()
()
()
()

(2.43)

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
,
kkk k
mmmmm
Yt avtvt t vtμ=+Δ

. (2.44)
Khi đó ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.5

()
()
()
()
()
()
()
()

mm mm m
Fsv sds aFsv sds v s ds++ +
∫∫∫

17

(
)
(
)
(
)
(
)
1234
00
kk
mm
XY IIII=+++++
. (2.45)
Chứng minh bổ đề 2.5
Nhân (2.28) với
(
)
()
k
mj

()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
1
,,
2
kkk kk
mmmmmm
d
Xt vtvt tavtvt
dt
μ=+
  ()
()
()
()
()
()
1

ta được
(
)
() ()
(
)
()
()
()
,,,
kk
mjmmjmj
vt w tavt w Ft wμ−Δ + −Δ = −Δ

,
1.
j
k≤≤ (2.48)
Ta có các kết quả sau:
()
()
()
()
()
()
()
1
0
,,
kkk

()
()
1
0
,1,1
kkk
mj m jmj
av t w v t w dx v t wη−Δ = −∇ ∇Δ − Δ
∫()
()
()
()
()
()
()
()
1
1
0
0
1, 1
kkk
mj mjm j
vtw vtwdx v twη= −∇ Δ + ΔΔ− Δ
∫
∫
. (2.51) 18
Ta viết lại (2.48) như sau:
(
)
()
()
()
(
)
() ()
()
,,,,1
kk
mjm m j mj
av tw t v t w aFtw j kμ+ ΔΔ= ≤≤

. (2.52)
Trong (2.52), nhân với
(
)
()
k
mj
ct

sau đó tổng theo

Từ (2.44) và (2.53) ta có
()
() ()
()
() ()
()
()
()
2
11
',,1
22
kkk
mmm mm
d
Yt t vt aFtvt jk
dt
μ= Δ + ≤≤

. (2.54)
Lấy tích phân (2.47) theo
t ta được
()
()
()
()
()
()
() ()
()

tt
kk k k
mm mm mm
YtY aFsvsds s vsdsμ− =+Δ
∫∫

(2.56)
Từ (2.42), (2.55), (2.56) ta được (2.45).
Vậy bổ đề 2.5 được chứng minh. ■
Ta đánh giá các tích phân trong (2.45).
* Tích phân thứ nhất

()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
1
0
',
t
kk k
mmm m
Isavsvsvsdsμ=+Δ
∫

−−−
≤∇ + ∇Φ ∇ + ∇Φ + ∇Φ

()
2
11
2KM M≤ +

. (2.57) 19
do đó

()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
2
11 1
0


() ()
()
11
2
22
22
11 0 0
00
,, ,
mmm
Fs fxsv v s dx Kdx K
−−
= ∇≤=
∫∫

.
do đó

() () () () ()
2 0
000
2, 2 2
ttt
kkk
mm m m m
IFsvsdsFsvsdsKvsds= ≤≤
∫∫∫



⎛⎞
∂∂
⎟
⎜
∇≤+ ≤ +
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
∂∂

,
khi đó
()
() ()
1
11
22
2
00
,,
mm m
H
Fs Fxsdx Fxsdx=+∇
∫∫()
()

()
()
()
()
()
()
()
1
2
,
kkkk
mmmm
H
vs bvsvs Ss≤≤

,
do đó