ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
1

ThS PHÙNG DUY QUANG (chủ biên)

BÀI GIẢNG ÔN THI CAO HỌC
Môn: TOÁN KINH TẾ

ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
3

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGRAW-HILL
Book Copany, 1984.
2. Lê Đình Thúy (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004.
3. Bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2008
4. Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp T1, T2. NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.
5. Nguyễn Huy Hoàng,Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế T1, T2.
NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.
6. Ngô Văn Thứ, Nguyễn Quang Dong, Mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, 2005.

ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
4

TOÁN CAO CẤP 1
Chuyên đề 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
§1. MA TRẬN
1. Các khái niệm
Cho m, n là các số nguyên dương
Định nghĩa 1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Một ma trận có m
dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m
×









mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa

Viết tắt là A = (a
ij
)
n xn
hoặc A = [a
ij
]
n xn

Ví dụ 1. Cho ma trận





]
n xn

• Ma trận đối của ma trận A là ma trận: -A = [- a
ij
]
n x n

Ví dụ 2. Cho ma trận










−
−
=
02
14
31
A
. Xác định A
T
, - A
Ta có

AThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
5

• Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đểu bằng 0 :
nxm
]0[=θ

• Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận
A là ma trận dòng.
• Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma
trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần
từ a
11
, a
22
, … , a
nn
gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a
n1
,
n 12
a
−
,
… , a
1n

nn
n1n1n1n
n21n222
n11n11211
a0 00
aa 00

aa a0
aa aa
A

+) Ma trận A = [a
ij
]
n x n
được gọi là ma trận tam giác dưới nếu a
ij
= 0 với i < j:















−
−
=
611
412
521
A
;










−
=
600
410
521
B
;











=
10 00
01 00

00 10
00 01
E

• Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat
m x n
(R)
• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat
n
(R)
Ví dụ 5. Cho ma trận






−
=











−
=
17
75
62
A
T
và






−−−
−−
=
176
752
A







−
⇔=

2. Phép toán trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số
Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m
×
n:
[
]
[
]
nm
ij
nm
ij
bB;aA
××
=
=

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m
×
n, kí hiệu A + B và được xác định

=
α

Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B)
Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính
Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m
×
n,
β
α
;
là các số bất kì ta luôn
có:
1) A + B = B + A
2) (A + B) +C = A + (B + C)
3) A + 0 = A
4) A + (-A) = 0
5) 1.A = A
6)
α
(A + B) =
α
A +
α
B
7) (
α
+
β
)A =

312
212
B;
110
421
A
. Khi đó






−−−
−−
=






−
−+









−
=






−






=−=⇔
2/12/5
2/32/1
10
01
35
31
.
2
1
EB
2
1














np2n1n
p22221
p11211
b bb

b bb
b bb

Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B.
Định nghĩa 4.
Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m
×
p, kí hiệu là AB và được xác
định như sau: AB =




• Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước
và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
• Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử
ij
c
là tích vô hướng của dòng
thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau.
Ví dụ 8. Cho hai ma trận






=
13
21
A
và






=
231
410
B
. Tính A.B và B.A

=
1461
872
2.14.33.11.31.10.3
2.24.13.21.11.20.1
231
410
.
13
21
B.A

Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA.
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
9

Ví dụ 9. Cho ma trận






−
−
=
023
012
A











−
−






−
−
=
3781
1753
1203
0112
1321
.
023
012
B.A

hoặc
θ
=
B
.
Ví dụ 10. Cho các ma trận






=






=
01
00
B;
00
10
A
.
Khi đó



=






=
10
00
B;
00
01
A
, ta có






=














=
dc
ba
A
. Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình
θ=−++− )bcad(X)da(X
2

Giải:
Ta có






−+






+−






=






−
−
+






++
++
−






++

Giải:
Ta có






=












=
10
21
10
11
10
11
A
2

đoán






=
10
n1
A
n
. Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức A
n
.
Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [a
ij
]
m x n
là các phép biến đổi có
dạng
i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau:
)cc(dd
jiji
↔↔

ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0:
)kc(kd
ii


11

(3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3
Định nghĩa 6. Ma trận dạng bậc thang là ma trận có tính chất
i) Các dòng khác không (tức là có một phần tử khác 0) nếu có thì luôn ở trên các dòng
bằng không (tức là hàng có tất cả các phần tử bằng 0).
ii) Ở hai dòng khác 0 kề nhau thì phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở bên
phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng trên.
Ví dụ 15. Các ma trận sau là ma trận dạng bậc thang












−
−
=
00000
52000
53110
86511
A
;



−
=
000
120
211
C

ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
12

§2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG
1. Khái niệm định thức
Cho ma trận A =












nn2n1n
n22221

aaa
A
. Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A
Định nghĩa 1. Cho một ma trận A vuông cấp n: A =












nn2n1n
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
.
Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc
A
được định nghĩa như sau:
* Định thức cấp 1: A = [a
11
] thì det(A) = a

Ví dụ 3. Giải phương trình:
0
49
25x
2
=

Giải: Tính định thức ta được: VT = 4x
2
– 25.9
2
15
x
4
9.25
xPT
2
±
=⇔=⇔

* Định thức cấp 3:
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
13

322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
a.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.aa.a.a

i c
ộ
t ch
ỉ
có m
ộ
t
đạ
i bi
ể
u duy nh
ấ
t.
* Các s
ố
h
ạ
ng mang d
ấ
u c
ộ
ng: các s
ố
h
ạ
ng mà các ph
ầ
n t
ử
n

ạ
ng mang d
ấ
u tr
ừ
: các s
ố
h
ạ
ng mà các ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m trên
đườ
ng chéo ph
ụ
ho
ặ
c
các ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m trên các
đỉ

ườ
ng dùng “quy t
ắ
c Sarrus”
sau:
• • • • • •

• • • • • •

• • • • • •

T
ừ
quy t
ắ
c Sarrus trên, chúng ta còn m
ộ
t quy t
ắ
c khác
để
tính nhanh
đị
nh th
ứ
c c
ấ
p
3: ghép thêm c
ộ

ứ
c r
ồ
i nhân các ph
ầ
n t
ử
trên các
đườ
ng chéo
nh
ư
quy t
ắ
c th
ể
hi
ệ
n trên hình: Ví dụ 4.
Tính
đị
nh th
ứ
c

ấ
u +

1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c

D
ấ
u -
D
ấ
u +
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
14

Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

)Mdet()1(a
ij
ji
n
1j
ij
+
=
−
∑
(v
ớ
i i b
ấ
t k
ỳ
)
ho
ặ
c det(A) =
)Mdet()1(a
ij
ji
n
1i
ij
+
=
−
∑

4
=∆ . S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo dòng 1 ta
có )2x3x.(2011
124
111
1xx
)1.(2011
2
2
11
4
+−=−=∆
+
.



=

i là t
ổ
ng c
ủ
a 2 dòng n
ế
u:
(
)
(
)
(
)
i1 i2 ij in i1 i2 ij in i1 i2 ij in ij ij ij
a a a a b b b b c c c c ;a b c
( j 1,n)
= + = + ∀ =

Dòng i là t
ổ
h
ợ
p h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các dòng khác n
ế

k1
a
k2
a
kn
)
Tính chất 1.
(Tính ch
ấ
t chuy
ể
n v
ị
)

Đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông b
ằ
ng
đị
nh th
ứ
c c
ủ

tính ch
ấ
t chuy
ể
n v
ị
, m
ọ
i tính ch
ấ
t c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c
đ
úng cho dòng thì c
ũ
ng
đ
úng cho c
ộ
t và ng
ượ
c l
ạ
i. Do
đ

ộ
t".
Tính chất 2.
(Tính ph
ả
n x
ứ
ng).

Đổ
i ch
ỗ
hai dòng cho nhau và gi
ữ
nguyên v
ị
trí các dòng còn l
ạ
i thì
đị
nh th
ứ
c
đổ
i d
ấ
u.
Ví dụ 2.
Xét
dc

.
Đổ
i ch
ỗ
hai hàng
đ
ó ta
đượ
c, theo tính ch
ấ
t 2
ta có
n
∆
= -
n
∆
002
nn
=
∆
⇒
=
∆
⇔

Tính chất 3.
(Tính thu
ầ
n nh

ng k l
ầ
n
đị
nh th
ứ
c c
ũ

nn2n1n
in2i1i
n11211
nn2n1n
in2i1i
n11211
a
a

a

a aa

a aa
.k
a
u
đị
nh th
ứ
c
ThS Phùng Duy Quang
Trưởng Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại Thương Hà nội
16

Hệ quả 2.
M
ộ
t
đị
nh th
ứ
c có hai dòng t
ỉ
l
ệ
v
ớ
i nhau thì b
ằ
ng không.
Chứng minh
: Th
ậ
t v
ậ

ằ
ng không.
Ví dụ 2.19.
Ch
ứ
ng minh
đị
nh th
ứ
c sau chia h
ế
t cho 17:
91176
4112
204356817
76212
4
−
−−
−
=∆

Giải:
Ta có
D.17
91176
4112
12241
76212
.17

đ
ó
17
4
M
∆

Tính chất 3.
(Tính c
ộ
ng tính).

N
ế
u
đị
nh th
ứ
c có m
ộ
t dòng là t
ổ
ng hai dòng thì
đị
nh th
ứ
c
b
ằ
ng t

ộ
t dòng là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các dòng khác thì
đị
nh
th
ứ
c
ấ
y b
ằ
ng không.
Đ
ó là h
ệ
qu
ả
c
ủ
a tính ch
ấ
t c
ộ

Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
trong quá trình tính định thức cấp n:
*
Đổ
i ch
ỗ
2 dòng (c
ộ
t) cho nhau:
)cc(dd
jiji
↔↔
, phép bi
ế
n
đổ
i này
đị
nh th
ứ
c
đổ
i d
ấ
u
* Nhân m
ộ
t dòng (c
ộ
t) v

t) v
ớ
i m
ộ
t s
ố
c
ộ
ng vào dòng (c
ộ
t) khác:
)chc(dhd
jiji
+
+
, phép bi
ế
n
đổ
i này không làm thay
đổ
i giá tr
ị
c
ủ
a
đị
nh th
ứ
c.

dydxd
3
==∆
+−−

Ví dụ 5.
Tính
đị
nh th
ứ
c
2222
2222
2222
2222
4
)3d()3c()3b()3a(
)2d()2c()2b()2a(
)1d()1c()1b()1a(
dcba
++++
++++
++++
=∆

Giải:

Nhân dòng 1 v
ớ
i (-1), r

i (- 2) c
ộ
ng vào dòng 3, nhân dòng 2 v
ớ
i (-3) c
ộ
ng vào dòng 4
đượ
c:
6666
2222
1d21c21b21a2
dcba
2222
dd2
dd3
4
32
42
++++
=∆
+−
+−
= 0 (vì có 2 dòng t
ỷ
l
ệ
nhau)
Ví dụ 6.
Tính

đượ
c:
1
2
ac
2
cb
1cba
1ba1cba
1ac1cba
1cb1cba
4
++
+++
+++
+++
+++
=∆

Đặ
t nhân t
ử
chung c
ủ
a c
ộ
t 1 ra ngoài:
0
1
2

=∆

a) Sử dụng định nghĩa bằng công thức khai triển:
•

Ph
ầ
n bù
đạ
i s
ố
c
ủ
a
ij
a

Xóa
đ
i dòng th
ứ
i và c
ộ
t th
ứ
j (dòng và c
ộ
t ch
ứ
a ph

đượ
c g
ọ
i là
đị
nh th
ứ
c con c
ấ
p n -1
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i ph
ầ
n t
ử
a
ij
c
ủ
a A và
)Mdet()1(A
ij
ji
ij
+

ứ
c c
ấ
p n là
n
∆
. Khi
đ
ó
n
∆
có th
ể
tính theo hai
cách sau:
i)

Công th
ứ
c khai tri
ể
n theo dòng th
ứ
i :
∑∑
==
+
=−=∆
n
1j

i h
ọ
c Ngo
ạ
i Th
ươ
ng Hà n
ộ
i
19

∑∑
==
+
=−=∆
n
1i
ijij
n
1i
ij
ji
ijn
Aa)Mdet(.)1(a
(2)
Hệ quả.

Đố
i v
ớ


≠
=∆
=
∑
=
kjkhi0
kjkhi
Aa
n
n
1i
ikij
(4)
Nhận xét:
M
ụ
c
đ
ích c
ủ
a công th
ứ
c (1) ho
ặ
c (2) là chuy
ể
n vi
ệ
c tính

nh th
ứ
c c
ấ
p 3, 2.
Khi áp d
ụ
ng công th
ứ
c (1) ho
ặ
c (2), ta nên ch
ọ
n dòng ho
ặ
c c
ộ
t có ch
ứ
a nhi
ề
u ph
ầ
n t
ử
0
nh
ấ
t
để

ớ
i b
ằ
ng
đị
nh th
ứ
c ban
đầ
u nh
ư
ng có dòng ho
ặ
c c
ộ
t nh
ư
v
ậ
y.
Ví dụ 1.
Tính
đị
nh th
ứ
c a)
054
213
112
3

++

b) Khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo c
ộ
t 1 ta có:

355300
21
12
.)1)(1(
42
12
.)1.(3
42
21
.)1.(1
131211
3
−=−−=
−
−−+
−
−+−=∆
+++

i (-1) c
ộ
ng vào c
ộ
t 2, nhân c
ộ
t 1 v
ớ
i (-5) c
ộ
ng vào c
ộ
t 4; r
ồ
i khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo c
ộ
t 1, ta
đượ
c
ThS Phùng Duy Quang
Tr
ưở
ng Khoa C
ơ

cc5
4
21
41
−−
−−−=
−−
−−−−=
−−
−−−
−
=∆
+
+−
+−

C
ộ
ng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 v
ớ
i (-2) c
ộ
ng vào dòng 2, r
ồ
i khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ

ộ
t (-2) v
ớ
i c
ộ
t 1 r
ồ
i c
ộ
ng v
ớ
i c
ộ
t 4
9432
4100
5010
0001
4
−
=∆

Khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo dòng 1 ta
đượ

ộ
t 3, khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo dòng 1 ta
đượ
c
81624
244
41
.)1.(1
2443
410
001
11
4
=−=−==∆
+

Ví dụ 3.
Tính
đị
nh th
ứ
c c
ủ
a ma tr

−
−−−−
=∆

Giải:
ThS Phùng Duy Quang
Tr
ưở
ng Khoa C
ơ
b
ả
n – Tr
ườ
ng
Đạ
i h
ọ
c Ngo
ạ
i Th
ươ
ng Hà n
ộ
i
21

Ta ch
ỉ
c

.)1.(a
a0 00
aa 00

aa a0
aa aa
==−==∆
−−−
−
+
−−−
−
−

T
ươ
ng t
ự
, ta có
nn2211
nn1nn2n1n
1n1n21n11n
2221
11
n
a aa
aa aa
0a aa

00 aa

c v
ề

đị
nh th
ứ
c c
ủ
a
ma tr
ậ
n tam giác trên ho
ặ
c d
ướ
i, sau
đ
ó áp d
ụ
ng công th
ứ
c:
nn332211
nn
n222
n11211
a a.a.a
a 00

a a0

−−−
−−
−
=∆
b)
44321
43321
43221
43211
4321
4
baaaa1
abaaa1
aabaa1
aaaba1
aaaa1
+
+
+
+
=∆

Bạn đọc tự giải ThS Phùng Duy Quang
Tr

xxx0x1
xxxx01
111110
6
=∆
b)
axxxxx
xaxxxx
xxaxxx
xxxaxx
xxxxax
xxxxxa
6
=∆

Giải:
a)

•

N
ế
u x = 0, khai tri
ể
n
đị
nh th
ứ
c theo dòng 1, suy ra
0

xxxx0x
xxxxxx
.
x
5
0xxxxx
x0xxxx
xx0xxx
xxx0xx
xxxx0x
xxxxx0
.
x
1
22
6
==∆

Nhân dòng 1 v
ớ
i (-1) r
ồ
i c
ộ
ng vào các dòng khác ta
đượ
c:
35
22
6

t nhân t
ử
chung ra ngoài d
ấ
u
đị
nh th
ứ
c ta
đượ
c
[ ]
ax xx1
xa xx1

xx ax1
xx xa1
xx xx1
.x5a
ax xxx5a
xa xxx5a

xx axx5a
xx xax5a
xx xxx5a
6
+=
+
+
+

ng vào các dòng 2, dòng 3, … , dòng n ta
đượ
c
[ ] [ ]
6
n
)xa.(x5a
xa0 000
0xa 000

00 xa00
00 0xa0
xx xx1
.x5a −+=
−
−
−
−
+=∆

ThS Phùng Duy Quang
Tr
ưở
ng Khoa C
ơ
b
ả
n – Tr
ườ
ng

ấ
p n,
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i và cách tìm ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o
1. Định thức của tích hai ma trận vuông
Cho hai ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n : A = [a
ij
]
n x n
; B = [b
ij
]

2
B); det(2AB).
Bạn đọc tự giải
2. Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Định nghĩa 1.
Cho A là ma tr
ậ
n vuông c
ấ
p n và E là ma tr
ậ
n
đơ
n v
ị
c
ấ
p n. N
ế
u có ma
tr
ậ
n vuông B c
ấ
p n sao cho
A.B = B.A = E
thì ta nói ma tr
ậ
n A là kh
ả

ậ
n A =






40
01
là kh
ả
ngh
ị
ch và có ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o là








=

=














10
01
40
01
.
4
1
0
01
4
1
0
01
.
40

=
θ
=
θ
.
Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo
Định lý 2.
Ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o A
-1
c
ủ
a ma tr
ậ
n vuông A n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i thì duy nh
ấ
t
3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo
Định lý 3.

i
25

và A
-1
=
1
det(A)
.
A
=
1
det(A)
.
11 21 n1
12 22 n2
1n 2n nn
A A A
A A A
A A A
 
 
 
 
 
 
L
L
M M O M
L

B;
62
31
A

Bạn đọc tự giải
T
ừ
khái ni
ệ
m và
đ
i
ề
u ki
ệ
n kh
ả
ngh
ị
ch c
ủ
a ma tr
ậ
n, ta có m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ

ả
ngh
ị
ch và
(A
-1
)
-1
= A ; (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
;
11
A
k
1
)kA(
−−
=
; (A
m
)
- 1
= (A
-1

ng trình A.X = C, X.A = C có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
CAXCX.A
1−
=⇔=

1
A.CXCXA
−
=⇔=

Ví dụ 4.
Tìm (A
2
)
-1
v
ớ
i






=
62

n A = [a
ij
]
n×n
nh
ư

sau:
Bước 1:
Tính det(A)
N
ế
u det(A) = 0 thì A không kh
ả
ngh
ị
ch.
N
ế
u det(A)
≠
0 thì A có ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
đả
o.
Bước 2:
Tìm