1
ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ
(Biên soạn: Trần Ngọc Hội - 2007)

PHẦN II: XÁC SUẤT

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

§1. ÔN VỀ TỔ HP
1.1. Đònh nghóa: Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có
thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.
Ví dụ: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là:
{x,y}; {x,z}; {y,z}.
1.2. Công thức tính tổ hợp: Gọi
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử.
Ta có công thức:
()
!
!!
=
−
k
n
n
C
knk

Ví dụ:

A
sản phẩm loại A. Số cách chọn là
A
k
N
C .

Bước 2: Chọn n-k sản phẩm loại B từ N-N
A
sản phẩm loại B. Số cách chọn
là
−
−
A
nk
NN
C .2
Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản
phẩm loại A là:
.
−
−
AA
knk
NNN
CC
.


Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi A
j
(j =
1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” .

5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A∪ B) là biến
cố đònh bởi:

A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra.
⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

Minh họa:

3

Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
như sau:

A
1
+ A
2
+…+ A
n


Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
như sau:

A
1
A
2
…A
n
xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
đồng thời xảy ra.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5.
C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5.

Ta có: AB = A

5
.

8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = Φ, nghóa là A và B
không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn.
B : Xuất hiện mặt 1 chấm.
C : Xuất hiện mặt có số không quá 2.

Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A
2
).

9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu
A
, là biến cố đònh bởi
A
xảy ra ⇔ A không xảy ra
Minh họa:

Như vậy, A và
A
xung khắc, hơn nữa A +
A
= Ω, nghóa là nhất thiết phải
có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc
A
xảy ra khi thực hiện phép thử.


P(A) =
raxảy thể có cấp sơ cố biếnsố Tổng
A cho lợi thuậncấpsơ cốbiếnốS2.3. Công thức tính xác suất lựa chọn.

Xét một lô hàng chứa N sản phẩm, trong dó có N
A
sản phẩm loại A,
còn lại là loại B. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm (0< n < N). Khi
đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ N
A
thỏa 0 ≤ n-k ≤ N-N
A
, xác suất để trong n sản phẩm
chọn ra có đúng k sản phẩm loại A là:
AA
knk
NNN
n
n
N
(k)
CC
p
C
−
−

)

2) Hệ quả:

Với A là một biến cố bất kỳ, ta có

P(A) 1 P(A)=−

3) Công thức cộng xác suất thứ hai:

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có:

6

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm
xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản
phẩm chọn ra có:
a)
Số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu.
b)
Ít nhất 1 sản phẩm xấu.
Lời giải.

Gọi A
j
(j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4-j) sản phẩm xấu có
trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó A
0

1365
450
)(;
1365
100
)(;
1365
5
)(
43
210
==
===
APAP
APAPAP

a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu. Ta có:

A = A
4
+ A
3
+ A
2
.Từ đây do tính xung khắc từng đôi của A
2
, A

= A
4
. Suy ra xác suất của B là 7
8462,0
1365
210
1)(1)(1)(
4
=−=−=−= APBPBP .

Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán,
70 sinh viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh văn.
Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên
giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn.

Lời giải

Gọi
- A là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Toán.
- B là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Anh văn.
Khi đó
- AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn.
- A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán
hoặc Anh văn.
Do đó
.9,0
100

8

Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể
bằng nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A). Đặc biệt, ta
thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay
chưa biết biến cố C đã xảy ra. Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo
đònh nghóa sau:

2) Tính độc lập: Nếu P(A/B) = P(A), nghóa là sự xuất hiện của biến
cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A
độc lập với B.

4.2. Công thức nhân xác suất thứ nhất

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có

P(AB) = P(A) P(B)
Mở rộng
: Với A
1
, A
2
, …, A
n
là n biến cố độc lập từng đôi, nghóa là với
mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n , A
i
và A
j
độc lập, ta có:


P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
/ A
1
)… P(A
n
/ A
1
A
2
…A
n-1
).

Chẳng hạn:
P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB).

Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản
phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu.
Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm.


;
105
50
)(
;
105
10
)(
2
15
0
5
2
10
2
2
15
1
5
1
10
1
2
15
2
5
0
10
0
==

21
)(
2
15
0
7
2
8
2
2
15
1
7
1
8
1
2
15
2
7
0
8
0
==
==
==
C
CC
C
CC


P(A) = P(A
0
B
2
) + P(A
1
B
1
) + P(A
2
B
0
).

Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta: 10
.3651,0
.
105
21
.
105
45
105
56
.
105


P(A)
A)P(A
/A)P(A
1
1
= .
Mặt khác A
1
A = A
1
B
1

Vì hai biến cố A
1
và B
1
độc

lập nên theo Công thức nhân thứ nhất ta có:

.2540,0
105
56
.
105
50
)()()()(
11111

= Ω;
- ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, A
i
A
j
= Φ,
nghóa là các biến cố A
1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một
và chỉ một biến cố A
j
nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ.

Nhận xét: Với A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có
P(A
1
) + P(A
2
) + … + P(A
n

0
B
0
, A
0
B
1
, A
0
B
2
, A
1
B
0
, A
1
B
1
, A
1
B
2
, A
2
B
0
, A
2
B

, A
1
B
2
+ A
2
B
1
, A
2
B
2
.

5.2. Công thức xác suất đầy đủ

Cho A
1
, A
2
,…, A
n
là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi.
Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có:

n
j
j
j1
P(A) P(A )P(A/A )

tốt và 1 sản phẩm xấu.
b)
Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II.
Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I.

Lời giải.
Gọi
- A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II.
- A
j
(j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 - j) sản phẩmxấu có
trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I.

12

Khi đó A
0
, A
1
, A
2
là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:

.
105
45
)(
;
105
50

CC
C
CC
C
CC
AP
AP
AP

a)
Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A).
Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A) = P(A
0
) P(A/A
0
) + P(A
1
) P(A/A
1
) + P(A
2
) P(A/A
2
).

Ta có:
136
72

9
1
==
==
C
CC
C
CC
AAP
AAPSuy ra xác suất của biến cố A là

5231,0
.
136
70
.
105
45
136
72
.
105
50
136
72
.
105

===

§6. CÔNG THỨC BERNOULLI
6.1. Công thức Bernoulli
Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả
sử ở mỗi phép thử,
biến cố A hoặc xảy ra với xác suất p không đổi, hoặc không
xảy ra với xác suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Công thức
Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:

k
knk
n
n
P(k) pq
C
−
=

6.2. Hệ quả: Với các giả thiết như trên ta có:

- Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào
là q
n
.
- Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là p
n
.

Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho

3
5
3
==
C
AP

b)
Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt
chính là P(A
3
+ A
4
+ A
5
). Ta có:

.68256,0
)6.0()4,0()6,0(3456,0
)()()()(
54
4
5
543543
=
++=
+
+
=
++

b) Loại liên tục: Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không
đếm được các giá trò mà thông thường các giá trò này lấp kín một đoạn nào đó
trong tập các số thực.
Ví dụ: Gọi T là nhiệt độ đo được tại một đòa phương. Ta có T là một
đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
1.3. Luật phân phối:
a) Trường hợp rời rạc:
Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trò tăng dần :
x
0
, x
1
,…,x
n
ta lập bảng:

X x
0
x
1
……………………… x
n

P p
0
p
1
…………………………. p
n



15
.
3
1
)2(
;
15
8
)1(
;
15
2
)0(
2
10
0
4
2
6
2
2
10
1
4
1
6
1
2
10

1
,…, p
n
ta đưa ra hàm mật độ
f(x) thoả các tính chất sau:

- f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b].
-
∫
=
b
a
dxxf .1)(
-
∫
=≤≤
β
α
βα
.)()( dxxfXP

§2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN.
2.1. Mode:
Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trò
x
0
của X được xác đònh như sau:
- Nếu X rời rạc thì x
0
là giá trò mà xác suất P(X = x

0
p
1
…………………………. p
nthì
∑
=
=
n
k
kk
pxXM
0
)( , nghóa là

M(X) = x
0
p
0
+ x
1
p
1
+…+ x
n
p
n

M(XY) = M(X)M(Y).

2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn.
1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số
thực không âm đònh bởi:

17
D(X) = M((X - μ)
2
)
trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X.
Căn bậc hai của phương sai được gọi là
độ lệch chuẩn, kí hiệu
)(
X
σ
. Vậy
)()( XDX =
σ
.
2) Công thức tính phương sai:
Từ đònh nghóa của phương sai ta có công thức khác để tính
phương sai như sau:
D(X) = M(X
2
) – [M(X)]
2

trong đó M(X
2

==
=−
∑∑- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác đònh [a;b]
thì

∫∫
−=
b
a
b
a
dxxxfdxxfxXD
22
))(()()(Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:

X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
và kỳ vọng của X là M(X) = 1,2ø . Suy ra phương sai của X là:

D(X) = M(X
2
) – [M(X)]
2
= 0

Chú ý: Ta có thể sử dụng phần mềm thống kê trong các máy tính bỏ túi
CASIO 500MS, 570MS, ) để tính kỳ vọng , phương sai và độ lệch chuẩn của đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc.
Ví dụ: Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau:

X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3

1)
Vào MODE SD: Bấm MODE… và bấm số ứng với SD, trên màn hình
sẽ hiện lên chữ SD.
2)
Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1(Scl) = AC. Kiểm tra lại:
Bấm REPLAY Up hoặc Down thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa.
3)
Nhập số liệu: x
i
; p
i
M
+
(DATA)
0 ; (bấm SHIFT ,) 2 a
b/c
15 M
+
1 ; 8 a
b/c
15 M
+

b/c
3 M
+
(DATA). Khi kiểm tra ta thấy x
4
= 3 (dư).
Ta để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M
+
thì tòan bộ số liệu dư
(gồm giá trò của X = 3 và xác suất tương ứng 1/3) sẽ bò xóa.

Chú ý: Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa
màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa.
5)
Đọc kết quả:
- Bấm SHIFT 2 1 (
X
) = ta được kỳ vọng M(X) = 1,2.

19
- Bấm SHIFT 2 2 (xσ
n
) = ta được độ lệch chuẩn (X) 0, 6532.σ=
- Suy ra phương sai D(X) = [σ(X)]
2
= (0,6532)
2
= 0,4267.
Chú ý: Đối với máy CASIO 500A, có một số thay đổi như sau:


k
N
AA
kXP
−
−
== )(
3.2. Các đặc số của phân phối siêu bội.
Giả sử X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, N
A
, n). Khi đó X có các đặc
số như sau:
a)
Kỳ vọng:
N
N
pới
A
== vnpXM )( .
b)
Phương sai.
pqv
N
nN
npqXD −=
−
−
= 1
1
)( ới

Vậy luật phân phối của X là:

X 0 1 2 3 4
P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495

Kỳ vọng của X là
M(X) np 4. 2,667.== =
8
12

Phương sai của X là
D(X) npq 4. (1 ) 0,6465.==−=
N-n 8 8 12-4
N-1 12 12 12-1§4. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
4.1. Đònh nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhò
thức, kí hiệu X∼ B(n,p), trong đó n số nguyên dương , 0 < p < 1, nếu X rời rạc
nhận n + 1 giá trò nguyên 0,1,…, n với các xác suất được tính theo theo Công
thức Bernoulli:.)(
knk
k
n
qpkXP
C
−

n
CC
qpkXP
−−
===

Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304;

21
P(X = 3) = 0,3456; P(X = 4) = 0,2592; P(X = 5) = 0,07776.
Vậy luật phân phối của X là:

X 0 1 2 3 4 5
P 0,01024 0,0768 0,2304 0,3456 0,2592 0,07776- Kỳ vọng của X là M(X) = np = 5.0,6 = 3.

- Phương sai của X là D(X) = npq = 5.0,6. 0,4 = 1,2.

- Giá trò tin chắc nhất của X chính là Mod(X): Mod(X) = k với k là
số nguyên thỏa
np – q ≤ k ≤ np – q + 1 ⇔ 5. 0,6 – 0,4 ≤ k ≤ 5. 0,6 – 0,4 + 1
⇔
2,6 ≤ k ≤ 3,6
⇔
k = 3.
Vậy giá trò tin chắc nhất của X là k = 3.


A
= 8000; n =10. Vì
n = 10 rất nhỏ so với N = 10000 nên ta có thể xem như X có phân phối nhò
thức X ∼ B(n,p) với n = 10; p = N
A
/N = 8000/10000 = 0,8. Do đó xác suất chọn
được 7 sản phẩm tốt là:

7
73
10
P(X 7) (0,8) (0,2) 0,2013.
C
== ≈
22
§5. PHÂN PHỐI POISSON
5.1. Đònh nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối
Poisson, kí hiệu X ∼ P(a), trong đó hằng số a > 0, nếu X rời rạc nhận vô hạn
đếm được các giá trò nguyên k = 0,1,…, với các xác suất đònh bởi:.
!
)(

cũng có phân phối Poisson:
X
1
+ X
2
∼ P(a
1
+ a
2
).

5.4. Đònh lý Poisson: Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
nhò thức X ∼ B(n,p). Giả sử rằng n khá lớn và p khá bé (thông thường p <
0,1). Khi đó có thể xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson:
X ≈ Y, trong đó Y ∼ P(a) với a = np, nghóa là:!
)(
k
ae
kXP
ka−
≈= (k = 0, 1, …)
Ví dụ: Một máy dệt có 1000 ống sợi. Xác suất để trong một giờ máy hoạt động
có 1 ống sợi bò đứt là 0,2%. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống
sợi bò đứt.
Lời giải

Gọi X là tổng số ống sợi bò đứt trong một giờ hoạt động của máy thì X có
23
§6. PHÂN PHỐI CHUẨN
6.1. Đònh nghóa: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối
chuẩn, kí hiệu X ∼ N(μ, σ
2
), trong đó μ, σ là các hằng số và σ > 0, nếu X
liên tục và có hàm mật độ xác đònh trên
R đònh bởi:

.
2
1
)(
2
2
2
)(
,
σ
μ
σμ
π
σ
−
−
=
x
exf

π

Hàm Gauss là hàm số chẵn (nghóa là f(-x) = f(x)), liên tục trên
R.
Người ta đã lập bảng giá trò của hàm Gauss, trong đó ghi các giá trò f(x) trên
đoạn [0;3,99]. Khi x > 3,99, hàm Gauss giảm rất chậm, do đó ta xấp xỉ:

∀x > 3,99, f(x) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.

Ví dụ: Tra bảng giá trò hàm Gauss ta có:
f(1,14) ≈ 0,2083;
f(-2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396.
f(-6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.

6.4. Hàm Laplace.
Hàm laplace ϕ(x) là hàm số xác đònh trên R đònh bởi:

.
2
1
)(
0
2
2
dtex
x
t
∫
−
=

(1)
trong đó ϕ(x) là hàm Laplace.
Đặc biệt, với mỗi k > 0, ta có:

Ví dụ: Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lương ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn với trọng lượng trung bình 50kg và phương sai 100kg
2
. Một sản
phẩm được xếp vào loại A nếu có trọng lượng từ 45kg đến 55kg. Tính tỉ lệ sản
phẩm loại A của loại sản phẩm trên.
Lời giải

Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho. Từ giả thiết ta suy ra
X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ
2
) với μ = 50, σ
2
= 100 (σ = 10). Vì một sản
phẩm được xếp vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản
phẩm loại A chính là xác suất P(45 ≤ X ≤ 55).
p dụng công thức trên ta có

.383,0
1915,0.2
)5,0(2
)5,0()5,0(
)
10
5045
()

a)
).(
1
)(
σ
μ
σ
−
≈=
k
fkXP (k = 0,1,2,…)
b)
)()()(
12
21
σ
μ
ϕ
σ
μ
ϕ
−
−
−
≈≤≤
kk
kXkP ( k
1
< k
2

6
3
10
1
4
2
6
333
=+=+=≤≤=
C
CC
C
CC
PPkPp
Gọi X là tổng số kiện hàng được nhận trong 140 kiện được kiểm tra, X
có phân phối nhò thức X ∼ B(n,p) với n = 140, p = 2/3. Vì n = 140 khá lớn và
p = 2/3 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân
phối chuẩn như sau:
X ∼ N(μ, σ
2
)
với μ = np = 140.2/3 = 93,3333,
.5777,53/1.3/2.140 === npq
σ

a)
Xác suất để có 93 kiện được nhận là:
1 93 1 93 93, 33
P(X 93) f( ) f( )
5,5777 5,5777