Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 1

TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): xyz–32–50+=. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (P).

·
(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)
Þ
(Q) có VTPT
P
nnAB,(0;8;12)0
éù
== ¹
ëû
u
uurr
rrÞ
Qyz():23110+-=.
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2),
2330Pxyz(): +++=. ĐS: Qxyz():220-+-=


Þ

nBA
nu
ì
^
í
^
î
u
ur
r
rr

Þ
chọn nBAu,(10;4;1)
éù
==
ëû
u
ur
rrÞ
Phương trình của (P): xyz104190-+-=.

Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d
1
() và d


Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
xyzxyz
222
26420++-+ =. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
véc tơ v (1;6;2)=
r
, vuông góc với mặt phẳng xyz():4110
a
++-= và tiếp xúc với (S).

·
(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ()
a
là n (1;4;1)=
r
.

Þ
VTPT của (P) là:
[ ]
P
nnv
,(2;1;2)==-
r
rr

Þ
PT của (P) có dạng: xyzm220-++=.
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên dIP(,())4=

125

==. Chứng minh rằng điểm Mdd
12
,, cùng
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.

·
d
1
qua M
1
(0;1;0)- và có u
1
(1;2;3)=
r
, d
2
qua M
2
(0;1;4) và có u
2
(1;2;5)=
r
.
uu
12
;(4;8;4)0
éù
= ¹

1
nên có
phương trình xyz220+-+=. Kiểm tra thấy điểm MP(1;–1;1)()Î .
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 2

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
xyz33
221

== và mặt cầu
(S): xyzxyz
222
22420++ +=. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

·
(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1)=
r
.
(P) // d, Ox
Þ
(P) có VTPT
[ ]
nui,(0;1;2)==-
r
rr

=-
ëÞ
(P): yz23250-++= hoặc (P): yz23250-+-=.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxy
222
2440+++ = và
mặt phẳng (P): xz30+-=. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;1)-
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

·
(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT
P
n (1;0;1)=
r
.
PT (Q) đi qua M có dạng: AxByCzABC
222
(3)(1)(1)0,0-+-++=++¹
(Q) tiếp xúc với (S)
Û
dIQRABCABC
222
(,())43=Û-++=++ (*)

QP
QPnnACCA()().00^Û=Û+=Û=-

Qxyz():2260++-= hoặc Qxyz():1110250-+-=.

Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz
222
–242–30++++=.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính r 3= .

·
(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox
Þ
(P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0)
Þ
(P): y – 2z = 0.

Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz
222
222–10+++-+=
và đường thẳng
xy
d
xz
20
:
260
ì
=
í

=-
î

Û

abcabdab
abcabdab
,2(),3(1)
177,2(),3(2)
é
==-+=
ê
=-=-+=
ë

+ Với (1)
Þ
(P): xyz40+ = + Với (2)
Þ
(P): xyz717540-+-=

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
xyz
1
1
:
211
D
-
==

b
) song song với (
a
) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng
p
6
p
= .

·
Do (
b
) // (
a
) nên (
b
) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6
p
nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (
b
) là h = Rr
2222
534-=-=
Do đó
D
D
D

8
p
= .
ĐS: xyz():2210+-+=
b www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng

2
2
+-
=
++

Û

A
BCABC
2222
(2)2()+-=++ (2)
Từ (1) và (2) ta được: ABB
2
850+=
Û

B
AB
0(3)
850(4)
é
=
ê
+=
ë·
Từ (3): B = 0

abc
P
ab
dAPd
abc
222
40
()
5
4
(;())
ì
++=
ï
ì
D
+
Û
íí
=
=
î
ï
++
î
P

Û

ac


Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
xt
dyt
z
():12
1
ì
=
ï
=-+
í
ï
=
î
và điểm
A
(1;2;3)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

·
(d) đi qua điểm M(0;1;1)- và có VTCT u (1;2;0)=
r
. Gọi nabc(;;)=
r
với abc
222
0++¹
là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): axbyczaxbyczbc(0)(1)(1)00-+++-=Û+++-= (1).


www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 5

Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm MNI(1;1;0),(0;0;2),(1;1;1) Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
MP
NP
dIP
()
()
(,())3
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û


dCPdDP
()
()
(,())(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcd
abd
bcdabcd
abcabc
222222
20
30
3a42
ì
-++=
ï
++=
ï
í
-++++++


Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
A
(1;2;3) , B(0;1;2)- ,
C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng P() đi qua
A
và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến P() bằng khoảng cách từ C đến P().

·
Vì O
Î
(P) nên Paxbycz():0++=, với abc
222
0++¹.
Do A
Î
(P)
Þ
abc230++= (1) và dBPdCPbcabc(,())(,())2=Û-+=++ (2)
Từ (1) và (2)
Þ
b 0= hoặc c 0= .

·
Với b 0= thì ac3=-
Þ
Pxz():30-=
·
Với c 0= thì ab2=-

=
Þ

abcdabcd
abcabc
222222
222
2
+++-+-+
=
++++

www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 6 abcd
abcd
3360
(3)
5230
é
-+-=
Û
ê
-+-+=
ë

Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :

220;;
22
5230
ì
+-+=
-
ï
-+=Û===
í
ï
-+-+=
î
.
Chọn
abcd23;2;3=Þ===-
Þ
()
a
: xyz23230++-=
Vậy:
()
a
: xyz2230 =hoặc ()
a
: xyz23230++-=

Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
dd
12
, lần lượt có phương

(2;1;3)=
r
, d
2
đi qua B(1;2;1) và có
d
u
2
(2;1;4)=-
r
.
Do (P) cách đều dd
12
, nên (P) song song với dd
12
,
Þ

Pdd
nuu
12
,(7;2;4)
éù
==
ëû
r
rrÞ

1
ì
=+
ï
=-
í
ï
=
î
,
xyz
d
2
211
:
122
+
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
với d
1
và d
2
, sao cho khoảng cách từ d
1
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d
2
đến (P).


r
rrÞ
Phương trìnht (P): xyzm220+++=.

m
ddPdAP
1
7
(,())(;())
3
+
== ;
m
ddPdBP
2
5
(,()) (,())
3
+
==
ddPddP
12
(,())2(,())= mm72.5Û+=+
mm
mm
72(5)
72(5)

·
(S) có tâm I(1;2;1)- , bán kính R 2= .
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹
Ta có:
AP
BP
dIPR
()
()
(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î

Û

abcabdab
abcabdab
,,23(1)
38,,23(2)
é
=-= =+
ê


== . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

·
Gọi H là hình chiếu của A trên d
Þ
d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có
A
HHI³
Þ
HI lớn nhất khi
AI
º . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
và nhận
AH
uu
ur
làm VTPT
Þ
(P): xyz75770+ =.

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{
xtytzt2;2;22=-+=-=+ . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)
và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.

·

uur
, cùng phương với
(
)
v 2;0;1=-
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P
0
) là: xzxz2(4)1.(1)290 += =.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
12
:
212

== và điểm
A
(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
(P) có VTPT nabc(;;)=
r
, d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u (2;1;2)=

î

Þ

cab
dab
2(2)
ì
=-+
í
=+
î
. Xét 2 trường hợp:
TH1
: Nếu b = 0 thì (P): xz10-+= . Khi đó: dAP(,())0= .
TH2: Nếu b
¹
0. Chọn b 1= ta được (P): axyaza22(21)220+-+++=.
Khi đó:
dAP
aa
a
22
99
(,())32
845
13
22
22
==£

==
-
. ĐS: Pxyz():5134210+-+=

Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm
M(0;1;2)- và N(1;1;3)- . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P)
là lớn nhất.

·
PT (P) có dạng:
A
xByCzAxByCzBC(1)(2)020+++-=Û+++-=
ABC
222
(0)++¹

NPABCBCABC(1;1;3)()3202-ÎÛ-+++-=Û=+
PBCxByCzBC():(2)20Þ++++-=;
dKP
B
CBC
B
(,())
22
424
=
++
www.VNMATH.com
Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 9

Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc

Cõu 27. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (a) cha ng thng ():
xyz1
112
-
==

v to vi mt phng (P) : xyz2210 += mt gúc 60
0
. Tỡm ta giao
im M ca mt phng (a) vi trc Oz.

ã

( )
nnmm
mm
2
2
111
cos,2410
22
245
Â
==-+=
-+
rr

m 22=- hay m 22=+
Kt lun : M(0;0;22)- hay M(0;0;22)+

Cõu 28. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao
tuyn d ca hai mt phng xy():210=
a
, xz():20
b
= v to vi mt phng
Qxyz():2210+= mt gúc
j
m
22
cos
9
j

+
==
+++


BBCC
22
13850+=.
Chn CBB
5
11;
13
=ị==.
+ Vi BC1==
ị
Pxyz():410-++=
+ Vi BC
5
, 1
13
==
ị
Pxyz():2351350-++=.

Cõu 29. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im
AB
(1;2;3),(2;1;6) v mt
phng Pxyz():230++-=. Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt
phng (P) mt gúc a tho món
3


abcd
bcd
abc
abc
222
230
2a60
23
6
141
ỡ
-+-+=
ù
+=
ù
ớ
++
ù
=
ù
++++
ợ


abcbdb
abcdb
4,3,15
,0,
ộ

++-=
í
++-=
î
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
0
60
a
= .

·
ĐS: Pxyz():2220++ = hoặc Pxyz():2220 +=

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng Pxyz():52510-+-= và
Qxyz():48120 +=. Lập phương trình mặt phẳng
R
() đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc
0
45=
a
.

·
Giả sử PT mặt phẳng (R): axbyczdabc
222
0(0)+++=++¹.
Ta có:
R

ë·
Với ac=- : chọn abc1,0,1===-
Þ
PT mặt phẳng
R
xz():0-=

·
Với ca7= : chọn abc1,20,7===
Þ
PT mặt phẳng
R
xyz():2070++=
Câu hỏi tương tự:
a) Với PxyzQOyzM
0
():20,()(),(2;3;1),45 =º-=
a
.
ĐS:
R
xy():10++= hoặc
R
xyz():534230-+-=

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
xyz

Đáp số: (P): xyz511240+++= hoặc (P): xyz220 =.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
xyz
1
2
:
111
D
-
==
-
,
xyz
2
235
:
211
D
+
==
-
,
0
30=
a
.
ĐS: (P):
xyz2220 += hoặc (P): xyz240++-=
b)

45,30 .

·
Gọi nabc(;;)=
r
là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là ij(1;0;0),(0;1;0)==
rr
.
Ta có:
OxP
OyP
2
sin(,())
2
1
sin(,())
2
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î

Û

ab