BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG
Chu Thanh Bình
MỘT PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TÍNH ĐỘ TIN CẬY
CỦA CÔNG TRÌNH DAO ĐỘNG CHỊU TẢI TRỌNG
NGẪU NHIÊN CÓ KỂ ĐẾN SAI LỆCH NGẪU NHIÊN
CỦA CÁC THAM SỐ VẬT LIỆU VÀ HÌNH HỌC Chuyên ngành: CƠ KỸ THUẬT
Mã Số: 62.52.01.01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT

HÀ NỘI-2014
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Xây dựng.

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TS Nguyễn Văn Phó- Trường Đại học Xây dựng.

tổng quát để đánh giá an toàn của công trình.Trong các bài toán động lực có lực quán tính
và thời gian t tham gia, tải trọng ngoài và đặc trưng của hệ là ngẫu nhiên nên vấn đề trở nên
rất phức tạp. Các kết quả nghiến cứu về phương trình vi phân ngẫu nhiên cho đến nay chủ
yếu xét với các kích động ngẫu nhiên, ít xét đến tính ngẫu nhiên của bản thân hệ. Vì vậy đề
tài luận án ”Một phương pháp gần đúng tính độ tin cậy của công trình dao động chịu
tải trọng ngẫu nhiên có kể đến sai lệch ngẫu nhiên của các tham số vật liệu và hình
học” có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Mục đích nghiên cứu của luận án: Tìm hiểu các phương pháp đánh giá ĐTC của kết cấu
công trình hiện có, rút ra các ưu điểm và nhược điểm, từ đó xây dựng một phương pháp phân
tích ĐTC của công trình dao động chịu tác dụng của quá trình ngẫu nhiên (QTNN) có các tham
số vật liệu, hình học là đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN).
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu là các kết cấu công trình dạng
dầm, khung và tấm, trong đó vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính. Tải trọng tác
dụng lên kết cấu là các đại lượng tất định, ĐLNN và các QTNN đã được mô phỏng.
Phương pháp và nội dung nghiên cứu: Luận án sử dụng phương pháp nghiên cứu lý
thuyết kết hợp với phương pháp số.Chuyển đầu vào ngẫu nhiên về một tập đầu vào tất định
tương đương (các tổ hợp khả dĩ). Xác định trọng số của từng đầu vào tất định. Sau đó thực
hiện “phép thử trên máy tính” bằng cách giải bài toán dao động tất định ứng với từng đầu
vào tất định.Cuối cùng xử lý kết quả “các phép thử trên máy tính” để tìm ĐTC là tần suất
xuất hiện sự kiện an toàn.
Những kết quả mới của luận án:
1. Phân tích các ưu điểm và nhược điểm của một số phương pháp tính độ tin cậy thông
dụng. Từ đó, rút ra phương pháp tính độ tin cậy công trình dao động.
2. Đề nghị một phương pháp gần đúng tính ĐTC của công trình dao động chịu tải trọng
là các QTNN, có kể đến sai lệch ngẫu nhiên của các tham số vật liệu, hình học và điều kiện
đầu
3. Lập chương trình tính toán ĐTC.
4. Áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích ĐTC một số bài toán động lực học công trình
(dầm, khung và tấm).
Cấu trúc của luận án: Luận án gồm phần mở đầu, 4 chương, phần kết luận và phụ lục.

Nghiên cứu các phương trình vi phân ngẫu nhiên đã trở thành một lĩnh vực phát triển
mạnh mẽ của cơ học. Các nhà cơ học nước ta cũng đã đạt nhiều thành tích trong lĩnh vực
này [1],[53], Song do đặc điểm của công trình là hệ phức tạp, nên các kết quả cơ học chưa
đủ để ứng dụng vào tính toán công trình.Về sự vượt ngưỡng của một QTNN cũng đã có
nhiều công trình nghiên cứu [76],[95],[97],[100]…. điển hình là các nhà cơ học Liên Xô
(cũ) đã có những kết quả quan trọng.
Trong [90], V.A.Svetlitsky đã trình bày các QTNN quen thuộc và xét dao động ngẫu
nhiên của hệ một hay nhiều bậc tự do đối với dầm. Sau đó dành một chương xét cho độ tin
cậy (Fundamentals of Reliability Analysis). Song các kết quả trong đó chưa đủ để áp dụng
cho công trình.
Trong [76], JieLi và JianBing Chen đã dành một chương (Dynamic Reliability of Structures),
song trong đó mới chỉ nêu một số vấn đề có tính nguyên tắc và đưa thêm một số giả thiết toán học
để chứng minh một số mệnh đề liên quan. Từ đó để tính ĐTC của công trình còn phải nghiên cứu
bổ sung.
Trong [89], một luận án tiến sỹ được bảo vệ và công bố ở Ấn Độ, trình bày rất nhiều vấn đề
cơ bản khi xét ĐTC. Song kết quả mới chỉ áp dụng trên các thí dụ đơn giản.
Trong [88], Robert E. Melchers đã dành cả chương 6 (Time dependent reliability) để trình
bày vấn đề, song nặng về các QTNN vượt ngưỡng, không xét vấn đề giải phương trình trạng
thái, chưa giải quyết hết các vướng mắc trong tính toán công trình.
Đã có nhiều bài báo trên các tạp chí nước ngoài xét đến ĐTC phụ thuộc thời gian, trong
đó xét đến bài toán dao động.
Trong [69], Hector A.Jensen, Marcos A.Valdebenito đã trình bày phương pháp phân tích
ĐTC của hệ tuyến tính có tham số ngẫu nhiên và chịu kích động ngẫu nhiên. Khi xét phản ứng
động lực của hệ đã chấp nhận một số giả thiết nhằm đơn giản vấn đề, các giả thiết đó trong
công trình khó chấp nhận.
Trong [75],[77], Jian-Bing Chen, Jie Li sau khi nghiên cứu phương trình dao động ngẫu
nhiên đã xét mật độ xác suất ứng xử của công trình, về mặt toán học khá phức tạp, song do
các yêu cầu của toán học phải thừa nhận nhiều giả thiết để đơn giản hóa nên vẫn khó áp
dụng cho công trình.
Trong [80], Lin-lin Zhang, Jie Li, Yongbo Peng sau khi nghiên cứu phổ ngẫu nhiên của gió

Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THÔNG DỤNG TÍNH ĐỘ TIN CẬY CỦA
CÔNG TRÌNH. ƯU ĐIỂM, NHƯỢC ĐIỂM CỦA TỪNG PHƯƠNG PHÁP
2.1 Mở đầu
2.2 Phương pháp tìm chỉ số độ tin cậy
M
M





2.2.1 Hàm trạng thái giới hạn bậc nhất



n
i
iinnn
XaaXaXaXaaXXXg
1
02211021
), ,(
(2.1)
Chỉ số ĐTC  được xác định như sau:
0
1
2
1
( )
n

x

và chỉ giữ lại đến thành phần bậc nhất [55].
), ,,(
1
2121
21
)(), ,,() ,(







n
xxx
i
n
i
iinn
X
g
xXxxxgXXXg
(2.5)
4

Chỉ số ĐTC  :
i
X

(2.7)
Trường hợp khai triển Taylor hàm
g X

 
 
 
quanh
*
x

, giữ lại đến thành phần bậc hai [96].
2 2
2
( , , , )
2 2
1
1 2 1 2
1
( , , , ,)
2
n
ij
g X X X X X X X
i i j
i i
n n i
X
X
i

2
2
( , , , )
2
1
1 2 1 2
1
( , , , )
2
n
g X X X X X X
i
i
X n i
n
X
i
g
g
X

    

 

 
 

 


    
 
       
 
     
       
 
   
(2.10)
2.2.3 Các ưu điểm và nhược điểm của phương pháp tìm chỉ số độ tin cậy  theo FOSM
2.2.3.1 Ưu điểm của phương pháp
- Tính toán đơn giản, dễ sử dụng.
- Không đòi hỏi biết dạng hàm phân bố (hay mật độ) của các biến ngẫu nhiên mà chỉ cần biết kỳ
vọng và phương sai của quãng an toàn.
2.2.3.2 Nhược điểm của phương pháp
- Các kết quả kém chính xác, vì đã bỏ các thành phần phi tuyến trong khai triển Taylor.
- Phương pháp FOSM còn có nhược điểm là khó khăn và thiếu chính xác trong tính toán 
M
.
M là hàm của các biến trạng thái X
i
, mà X
i
lại là hàm của các biến đầu vào. Ta chỉ biết các
đặc trưng bằng số của các biến ngẫu nhiên đầu vào, phải tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của
biến trạng thái X
i
. Từ các biến trạng thái X
i
tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của M. Trường

/
M
nói chung có giá trị khác nhau, dẫn đến xác
định  gặp khó khăn.
2.3 Phương pháp lặp tìm chỉ số độ tin cậy Hasofer-Lind[55].
2.3.1 Nội dung của phương pháp
Xét phương trình mặt trạng thái giới hạn g( X
1
,X
2
,…,X
n
)=0, trong đó các biến ngẫu
nhiên là không tương quan. Hàm trạng thái được viết dưới dạng chuẩn của các biến rút gọn.
'
1 2
; ( , , . ) 0
i
i
i X
i n
X
X
Z g Z Z Z



 
(2.17)


,…,z
n
*
. Hệ phương trình đó là:
ai diem thiet ke
2
n
k=1
ai diem thiet ke
*

(2.18)

i
t
i
k
t
i i
g
z
g
z
Z




 
 

- Phương pháp lặp có ưu điểm là không mắc sai số do tuyến tính hóa. Ngày nay, việc thực
hiện quá trình lặp trên máy tính điện tử là dễ dàng và hiệu quả.
- Điểm thiết kế được điều chỉnh trong quá trình lặp.
2.3.2.2 Nhược điểm
- Vấn đề chọn giá trị ban đầu của  sao cho kết quả tính toán hội tụ, cho nên có thể phải
chọn lại giá trị  ban đầu thích hợp.
- Cũng giống như phương pháp FOSM, để đưa về không gian chuẩn phải thực hiện phép biến
đổi
i
X
i
X
i
i
X
Z




, nghĩa là phải tính
X
i

. Việc tính
X
i

theo các số liệu đầu vào là khó khăn,
đặc biệt trong trường hợp phương trình trạng thái chỉ có nghiệm bằng số (nghiệm gần đúng)

trên [0,1], sử dụng các đặc trưng xác suất (hàm phân phối xác suất) để tạo ra các số ngẫu nhiên đại
diện cho các đầu vào ngẫu nhiên, nghĩa là đưa đầu vào ngẫu nhiên về tất định. Từ đó “thử nghiệm
trên máy tính” bằng các tính toán tất định. Xử lý thống kê kết quả thử nghiệm theo yêu cầu của bài
toán. Độ tin cậy được tính gần đúng theo tần suất.
6

Phương pháp Monte Carlo có ưu điểm là tính toán đơn giản, tính bài toán ngẫu nhiên bằng tính
toán tất định. Song có nhược điểm là khối lượng tính toán lớn và yêu cầu phải tính được hàm ngược
của hàm phân phối xác suất.
2.4.3 Phương pháp tính độ tin cậy trong một số trường hợp đặc thù
Tải trọng ngẫu nhiên (đầu vào của bài toán dao động ngẫu nhiên) được hạn chế là QTNN dừng,
và được xác định dựa trên phổ S() của tải trọng ngẫu nhiên, để chuyển bài toán giải trong miền tần
số sang miền thời gian, dựa trên rời rạc hóa tần số  với N khoảng chia (N đủ lớn) cho một thể hiện
dạng tổng (N) các hàm điều hòa có biên độ a
i
phụ thuộc S(
i
) và pha dao động 
i
là số ngẫu nhiên
phân bố đều trong khoảng [0,2] xác định theo Monte-Carlo. Phương pháp này đã được sử dụng
trong tính toán công trình biển. Trong đó người ta đã quy định chọn phổ của tải trọng (là một biểu
thức cụ thể), sau đó xác định các đặc trưng xác suất của phản ứng kết cấu. Từ đó tính ĐTC.
2.4.4 Phương pháp “chồi” (hay vượt ngưỡng) [12],[80],[89],[103]…
Đối với công trình xây dựng thường có xác suất an toàn cao, nghĩa là xác suất sự cố (vượt qua
mức quy định) là bé. Do đó, ta có thể dùng giả thiết dòng Poisson[95]. Trong trường hợp này, xác
suất để sau thời gian t không vượt qua mức a của quá trình (các thể hiện) được tính theo công thức:
( )
( )
a

( )
a
t
N t
 (2.25)
Phương pháp này cũng chỉ xét cho một bất đẳng thức (ngưỡng) và phải biết mật độ phân phối đồng thời
của
v
và
v


2.5 Phương pháp tính ĐTC theo tần suất xuất hiện sự kiện an toàn của kết cấu [36], [37], [38].
Nội dung chính của phương pháp gồm 3 bước chính (tương tự phương pháp Monte
Carlo)
Bước 1: Chuyển đầu vào ngẫu nhiên ban đầu về một tập đầu vào tất định tương đương.
Bước 2: “Thực nghiệm trên máy tính” theo từng đầu vào tất định vừa được thành lập.
Bước 3: Xử lý thống kê các tập giá trị đầu ra theo yêu cầu của bài toán
Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỘ TIN CẬY CỦA CÔNG TRÌNH DAO ĐỘNG
3.1 Mở đầu
Trong chương này, NCS sau khi thừa kế và mở rộng một số kết quả đã có [36], [37], [38] đề
nghị một phương pháp tính ĐTC của công trình dao động, bằng cách sử dụng một số giả thiết và
một số quan niệm đã được sử dụng phổ biến trong tính toán công trình xây dựng.Ý tưởng chính
của phương pháp như sau:
- Các đặc trưng của hệ là các ĐLNN, tải trọng là các QTNN, các quá trình đó được mô
phỏng thành các thể hiện hoặc một hàm của thời gian và các ĐLNN (bằng biểu diễn phổ,
biểu diễn chính tắc hay khai triển Fourier) [12],[95],[96].
- Không giải trực tiếp phương trình vi phân dao động ngẫu nhiên, mà giải phương trình
dao động tất định tương ứng .
- “Thử nghiệm trên máy tính” với tập đầu vào tất định được thành lập.





),,(),,(

là vectơ tải trọng ngoài,
phương trình trạng thái của hệ thống là :
),,(),,( txqtxuL



(3.1)
trong đó
 
T
xxxx
321
,,

là các biến không gian,
 
T
i



là các tham số ngẫu nhiên, t là thời gian, L
là toán tử vi phân (hay đại số). Viện sỹ Nga Волотин В.В [101],[102],[103] đã nêu định
nghĩa tổng quát của ĐTC như sau :

vượt ngưỡng như bài toán cân bằng giới hạn, bài
toán thích nghi của hệ đàn-dẻo thì phương trình
trạng thái và phép biến đổi từ
u

vào
v

nằm trong
xác suất tin cậy. Nó có dạng (3.5)
.
 
0
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( ) P ( , , )
0,
L u x q x
G u x v x
P t f v x
x V
t
   
   
 

     
     
  



.
Xác suất (3.5) là xác suất đồng thời thỏa mãn một hệ phương trình và bất phương trình.
Điều kiện


t,0

đòi hỏi các điều kiện phải thỏa mãn tại mọi điểm trước và cả ngay cả
thời điểm đang xét. Điều kiện
Vx 

đòi hỏi các điều kiện phải thỏa mãn tại mọi điểm của
công trình. Điều kiện an toàn là
0
f v

 

 
 
cho cấu kiện hay kết cấu. Quá trình ngẫu nhiên
( , , )
q x t

  
thường được ký hiệu là
( , )
q x t


- Một hàm của thời gian t và một số ĐLNN. Vì vậy QTNN có thể dừng hay không dừng
miễn là mô phỏng được.
5. Bài toán dao động tất định tương ứng (tất định hóa) đã có lời giải, có phương pháp giải mà
đa phần và thường gặp hơn cả là lời giải số (phương pháp số).
3.3.2 Sơ đồ khối tính độ tin cậy của công trình dao động
Bước 1: Xác định các tham số đầu vào.
- Tải trọng là các đại lượng tất định, ĐLNN và các QTNN.
- Tham số vật liệu là các đại lượng tất định hoặc ĐLNN.
- Tham số hình học là các đại lượng tất định hoặc ĐLNN.
- Điều kiện đầu và điều kiện biên có thể là các ĐLNN.
Bước 2: Xử lý sơ bộ đầu vào.
- Giới hạn miền xác định của các tham số ngẫu nhiên (chỉ xét với miền có hàm mật độ không
đủ nhỏ) và rời rạc hóa giá trị khoảng xác định.
- Sử dụng các kết quả mô phỏng tải trọng (QTNN) theo một trong hai dạng
 Từ mật độ phổ đã cho mô phỏng thành một họ các thể hiện.
 Theo lý thuyết thống kê, mô phỏng QTNN bởi các hàm số của các ĐLNN và thời gian
t (một họ các hàm số tất định).
Bước 3: -Thành lập phương trình vi phân dao động của kết cấu, điều kiện đầu và điều kiện
biên (phương trình dưới dạng chính xác hay dạng gần đúng).
- Thành lập điều kiện an toàn theo yêu cầu bài toán, M
i
0 với mọi bất đẳng thức (M
i
là
’’khoảng an toàn’’, i=1,2,…n).
Bước 4: Thành lập tập hợp các đầu vào tất định khả dĩ tương đương đầu vào ngẫu nhiên ban đầu.
- Xây dựng tập các đầu vào tất định khả dĩ bằng cách lập mọi tổ hợp đầu vào có thể
xảy ra, ứng với các giá trị rời rạc của các ĐLNN và các thể hiện.
Bước 5: Xác định trọng số cho từng đầu vào tất định bằng cách dựa theo giá trị của hàm mật độ
tại các điểm rời rạc.

tải trọng gió, tải trọng động đất, tải trọng sóng v.v… Từ các số liệu thực nghiệm, người ta
đã mô phỏng toán học nó thành các hàm của thời gian t và một số ĐLNN hoặc xấp xỉ bởi
một họ các thể hiện, các thể hiện là những hàm tất định của thời gian t.
Sơ đồ khối của phương pháp

Hình 3.2 Sơ đồ khối của phương pháp kiến nghị

được thành lập để có 1 tập đầu ra tất định

Xử lý thống kê kết quả thu được, kiểm tra thỏa
mãn
đi
ều kiện an to
àn

Tính t
ần suất

10 


 


 


( )
M U C U K U F t
  
 
(3.9)
Với điều kiện đầu
0

T
e e e e e
e
M N N dV



(3.10)
[C] là ma trận cản của toàn hệ.









T
e e e
e
C T C T


với












T
e e e e e
e
K B D B dV


(3.12)
[M
e
],[C
e
],[K
e
] là ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng của phần tử hữu hạn e.
Điều kiện an toàn của công trình có thể là một hệ bất đẳng thức của các biến chất lượng
(hay biến trạng thái): M
i
0, i=1,2…. Trong đó M
i
là “khoảng an toàn” (safety margin) hay
“lượng dữ trữ an toàn”. Ngay trong trường hợp điều kiện bền đối với một mặt cắt của thanh
thép theo điều kiện bền Tresca đã có 6 bất đẳng thức (vì miền an toàn là lục giác Tresca).
3.3.3.4 Thành lập tập hợp đầu vào tất định tương đương với đầu vào ngẫu nhiên ban đầu
Sau khi rời rạc hóa các ĐLNN và mô phỏng QTNN bởi các thể hiện, ta chia đầu vào

rêi r¹c
l
1
sè
thµnh
l
2
thÓ hiÖn

Hình 3.6 Tổ hợp số liệu đầu vào gồm các biến tất định+1 ĐLNN+ 1 QTNN
 Trường hợp có Nhóm tất định+n ĐLNN + m QTNN (hình vẽ 3.7)
Nhãm tÊt ®Þnh
n §LNN
1
l
n
m QTNN
1
q
m
l
q

Hình 3.7 Tổ hợp số liệu đầu vào gồm các biến tất định+n ĐLNN+m QTNN

11

Bước 1: Lấy nhóm tất định + l
1
giá trị rời rạc của ĐLNN thứ nhất ta có l

Để phản ánh vai trò của chúng trong tính toán là tương đương, mỗi giá trị rời rạc của biến ngẫu
nhiên được mang một trọng số, trọng số này phản ánh số lần xuất hiện giá trị của nó trong kết quả
thực nghiệm, nghĩa là tỷ lệ với tần suất hay hàm mật độ xác suất. Các giá trị tất định có mặt trong
mọi tổ hợp khả dĩ nên không có trọng sô. Đối với ĐLNN, để xác định khoảng giá trị rời rạc [a,b],
thì điểm đầu, điểm cuối của khoảng là những điểm có hàm mật độ bé nhất. Ta ký hiệu các giá trị đó
là x
1
(0)
và x
2
(0)
. Gọi f(x) là hàm mật độ thì
( 0 ) ( 0 )
1 2
[ a ,b ]
( ) ( ) m i n f ( x )
x
f x f x

 
. Ta coi tại x
1
(0)
và x
2
(0)

ta quan sát được một lần xuất hiện, do đó các điểm rời rạc x
i
khác có số lần xuất hiện là số nguyên

…c
q

trong đó a
i
là các giá trị tất định, b
j
là các giá trị rời rạc của các ĐLNN có trọng số r
j
, c
k
là
các thể hiện của các QTNN thì trọng số của đầu vào tất định là:
1 2
1
.
m
j m i
i
L r r r r

  
(3.19)
3.3.3.6 Phân tích kết cấu theo từng đầu vào tất định vừa được thành lập để có một tập đầu ra
tất định
Khi đã có các đầu vào tất định, ta phân tích kết cấu theo các phần mềm phân tích kết cấu tất
định thông thường như Etab, Sap2000…. Các chương trình tính toán kết cấu thông dụng ngày nay
thường được lập theo phương pháp PTHH, đó là phương pháp gần đúng, song đã được thử nghiệm
trên nhiều trường hợp, nên có thể tin tưởng được. Với một đầu vào tất định, qua thuật toán phân tích
ta có một đầu ra tất định. Xử lý thống kê tập đầu ra (kết quả thử nghiệm) ta có các kết quả cần thiết.

3.3.4.1 Xuất phát từ định nghĩa xác suất
ĐTC hay xác suất an toàn là tần suất xuất hiện sự kiện an toàn khi số phép thử tăng lên vô
hạn. Song trong thực tế không thể tiến hành vô hạn phép thử. Vì vậy theo yêu cầu của độ
chính xác khi tính ĐTC mà người ta chấp nhận số phép thử là hữu hạn và có cách ước lượng
được số phép thử cần thiết và đánh giá sai số [55],[96] Định nghĩa ĐTC có 2 điểm quan
trọng cần lưu ý là:
- Các phép thử trong cùng một điều kiện, từ điều này người ta quy định khi tiến hành thí nghiệm hoặc
quan sát đo đạc phải ở điều kiện giống nhau hoặc tương đương.
12

- Số phép thử phải đủ lớn để đảm bảo độ chính xác.
Hai đòi hỏi trên đã được đảm bảo trong lược đồ tính ĐTC đề xuất ở phần trên. Thật vậy:
- Về các phép thử trong cùng một điều kiện, ở đây là phép thử trên máy tính, nên các đầu vào
cho chương trình tính phải tương đương (điều này đã thể hiện ở tổ hợp mọi khả năng có thể
xẩy ra của hiện tượng ngẫu nhiên và xác định trọng số cho các giá trị rời rạc).
- Về phép thử đủ lớn đã sử dụng kết quả trong[55] .
3.3.4.2 Bảo đảm sự tương đương giữa đầu vào ngẫu nhiên ban đầu với một tập đầu vào
tất định
Một đầu vào tất định không thể tương đương với một đầu vào ngẫu nhiên, song một tập
đầu vào tất định có thể tương đương với một đầu vào ngẫu nhiên. Điều đó thuộc về bản chất
của hiện tượng ngẫu nhiên (ĐLNN được mô hình hóa từ kết quả thực nghiệm tất định,
QTNN được mô hình hóa từ các thể hiện).
- Đối với ĐLNN: Ngẫu nhiên không hiểu theo nghĩa “tùy ý, không có quy luật”. ĐLNN là
đại lượng mà giá trị nằm trong một khoảng xác định (miền kết quả của phép thử), tần suất
xuất hiện trong đó tỷ lệ với hàm mật độ. Thật ra hàm mật độ được xây dựng từ biểu đồ tần
suất (biểu đồ tổ chức)[55] (hình vẽ 3.8). Biểu thức toán học của hàm mật độ xác suất là sự
xấp xỉ biểu đồ tổ chức. Nhờ mô hình hóa thành biểu thức toán học mà tính toán được dễ
dàng. Do đó, nếu ta trở lại biểu đồ tổ chức để tính gần đúng cũng là việc bình thường.
Đối với phân phối chuẩn hàm mật độ f
X

,x
B
]
0
x
f(x)
x x
A
B

Hình vẽ 3.8 Biểu đồ tổ chức, hàm mật độ của ĐLNN
- Đối với QTNN: Để xác định một QTNN người ta xuất phát từ các thể hiện X
i
(t), thể hiện là kết
quả quan sát, đo đạc. Từ đó người ta mô hình hóa toán học bằng hàm kỳ vọng (giá trị trung bình)

X
(t), hàm mật độ f
X
(t) và họ hàm tương quan, mật độ phổ v.v…[76]. Với một giá trị t=t
0
xác định
ta có một ĐLNN (hình 3.9)
t
0
t
0
x(t)

X (t)

Về sai số do khối lượng phép thử hữu hạn, công thức để ước lượng số phép thử cần thiết
đã được nêu trong [55].
3.3.4.5 Độ tin cậy của phương pháp
Để thể hiện ĐTC của phương pháp đề xuất, theo truyền thống của các luận án cơ học, luận án
đã được cấu trúc theo cách: Sau khi đề xuất phương pháp, kiểm tra ĐTC của phương pháp. Kiểm
tra bằng cách so sánh kết quả tính theo luận án với kết quả đã được tính bởi các tác giả khác (hay
các kết quả chính xác). Tiếp đó ứng dụng phương pháp mới vào một số bài toán phức tạp hơn, để
chứng tỏ khả năng ứng dụng của phương pháp. Theo cách đó luận án xét các thí dụ đơn giản đối
với hệ 1 bậc tự do trong 4 trường hợp để so sánh, tiếp đó xét các ví dụ phức tạp hơn (khung 4 tầng,
khung 20 tầng) để so sánh kết quả. Thấy rằng sai khác giữa 2 kết quả là không lớn. Do vậy phương
pháp đề xuât là có thể tin cậy được.
3.3.5 Phạm vi ứng dụng của phương pháp
Phương pháp đề xuất xét một lớp rộng bài toán dao động ngẫu nhiên tuyến tính, có vế
phải của phương trình dao động là QTNN, các hệ số của vế trái là các hàm ngẫu nhiên, điều
kiện đầu và điều kiện biên có thể là ngẫu nhiên. Ngoài ra phương pháp còn có thể áp dụng
cho bài toán ĐTC phụ thuộc nhiều bất đẳng thức (điều kiện an toàn) mà không phải tìm cận.
3.3.6 Các ưu điểm và nhược điểm của phương pháp đề nghị.
3.3.6.1 Ưu điểm:
- Không giải trực tiếp phương trình trạng thái là phương trình vi phân ngẫu nhiên để tìm phản ứng
của hệ, mà giải một loạt bài toán dao động tất định. Đặc biệt đối với các bài toán mà hệ số vế trái
của phương trình dao động là các hàm ngẫu nhiên, điều kiện đầu và điều kiện biên là ngẫu nhiên,
thì việc tìm lời giải dù rất khó khăn, nhưng phương pháp của luận án vẫn khắc phục được.
- Quá trình giải không yêu cầu thỏa mãn thêm các giả thiết toán học như: ồn trắng, ergodic, dừng v.v…
mà chỉ yêu cầu QTNN mô phỏng được.
- Xác suất an toàn của công trình là xác suất đồng thời phụ thuộc một hệ bất đẳng thức ngẫu
nhiên. Phương pháp tính tần suất chỉ yêu cầu kiểm tra sự thỏa mãn một hệ các bất đẳng thức tất
định, vì nó là kết quả của từng phép thử tất định, dễ dàng kết luận với kết quả mỗi phép thử kết
14

cấu có an toàn hay không. Không phải tìm cách đánh giá các cận trên, cận dưới của ĐTC qua

biến ngẫu nhiên bằng cách tạo số giả ngẫu nhiên theo hàm phân phối xác suất (hay hàm mật độ)
đã biết của chúng, từ đó mô phỏng phân phối xác suất của quãng an toàn Z(X
1
,X
2
,…,X
n
) của bài
toán ĐTC. Nói chung phân phối xác suất của đại lượng Z thường không theo một dạng quen
thuộc nào, ngay khi các biến đều có phân phối chuẩn (trừ trường hợp Z là hàm tuyến tính của các
biến ngẫu nhiên độc lập).
Xác suất không tin cậy có thể giải theo hai cách sau:
- Xác định xác suất sự cố theo công thức:
 
0 lim
f
f
N
N
P P Z
N
 
  
(3.22)
Trong đó N
f
là số lần quan sát thấy Z<0, N là tổng số phép thử.Xác suất an toàn là P
s
=1-P
f

tính tổng số phép thử khác nhau. Phương pháp Monte Carlo có số lượng lần thử bằng số lượng
lần thử thực sự trên máy, còn phương pháp của luận án do dùng trọng số mà số lần thử trên máy ít
hơn rõ rệt so với tổng số lần thử được sử dụng khi tính tần suất. Trước khi đi vào so sánh cụ thể,
cần chú ý rằng cả hai phương pháp đều dựa vào ba thông tin quan trọng sau:
- Đặc trưng xác suất của biến ngẫu nhiên (các đặc trưng bằng số, miền xác định, hàm mật độ, v.v…)
- Sử dụng giá trị mô phỏng của phân phối đều trong đoạn [0,1] để bảo đảm điều kiện thử giống nhau.
- Căn cứ theo luật số lớn của lý thuyết xác suất (khi số phép thử tăng lên vô hạn thì tần suất dẫn
đến xác suất) để tính gần đúng xác suất bằng tần suất.
Thủ tục của phương pháp Monte Carlo có 5 bước chính đã nêu ở trên. Thủ tục của phương
pháp nêu trong luận án gồm các bước chính sau:
Bước 1: Chuyển đầu vào ngẫu nhiên về một tập đầu vào tất định tương đương (gồm rời rạc
hóa, lập các tổ hợp khả dĩ, tìm trọng số,…)
Bước 2: Tính đáp ứng của hệ theo từng đầu vào tất định vừa được thành lập ở bước 1.
Bước 3: Kiểm tra an toàn của kết cấu theo từng phép thử để tìm tần suất.
Từ đó, ta thấy rằng:
- Các bước 1, bước 2 và bước 3 của phương pháp Monte Carlo tương đương với bước 1 của luận án.
- Bước 4 của phương pháp Monte Carlo tương đương với bước 2 của luận án.
- Bước 5 của phương pháp Monte Carlo tương đương với bước 3 của luận án.
Để so sánh kết quả giữa phương pháp Monte-Carlo và phương pháp của luận án, xin dẫn ra
sau đây một thí dụ đơn giản đã được giải bằng phương pháp Monte Carlo trong[55].
Xét dầm gỗ công xôn chịu lực như hình vẽ 3.11
Trong đó q,F là các ĐLNN chuẩn có
µ
F
=18.14(kN),
F
=1.814(kN), µ
q
=0.744(kN/m),


Rõ ràng hai phương pháp đều xấp xỉ tốt giá trị chính xác.
3.4 Ví dụ, so sánh kết quả.
3.4.1 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do với điều kiện đầu ngẫu
nhiên[90].
Phương trình dao động
2
2 0
o
y y y
 
  
 
(3.37)
Nghiệm của phương trình (3.37) có dạng
0
0
y
( os t+ sin )+ sin
t
y e y c t t


  
 

 
 

 
 


).
y
z
L
yHình 3.12 Sơ đồ tính.
ĐTC là xác suất


ax 0
m
P
 
 (3.42). Trong đó :
ax
2 2
0 t T 0 t T
x x
3. . 3. .
ax ( ) ax ( )
W W
x x
m
E I E I
m y t m y t
L L


n
P
N
   .
-Kết quả tính ĐTC theo hai phương pháp là xấp xỉ nhau (
1
0.9945
S
P  và
2
0.9956
S
P  ).
3.4.2 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do có các đặc trưng của hệ là ngẫu
nhiên[90]
Xét bài toán như trong 3.4.1, giả sử E và 
0
là ngẫu nhiên còn y
0
,
0
y

là tất định.
a.Tính theo phương pháp trong [90]:
Độ tin cậy theo điều kiện bền là:
ax 0
( )
m
P

và E trong miền xác định. ĐTC theo điều kiện an
toàn được xác định gần đúng theo biểu thức sau:
0.9503
s
n
P
N
  .
-Kết quả tính ĐTC theo hai phương pháp là xấp xỉ nhau (
1
0.9591
S
P  và
2
0.9503
S
P  ).

17

3.4.3 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do với điều kiện đầu và các đặc
trưng của hệ là ngẫu nhiên.
Xét bài toán như trong 3.4.1, giả sử y
0
,
0
y

, E và 
0

max

0
.
- Rời rạc hóa các biến ngẫu nhiên y
0
,
0
y

,
0
và E trong miền xác định. ĐTC được xác
định theo
0.9214
s
n
P
N
  .
-Kết quả tính ĐTC theo hai phương pháp là xấp xỉ nhau (
1
0.9272
S
P  và
2
0.9214
S
P  ).
3.4.4 Dao động ngẫu nhiên của hệ tuyến tính một bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên

2
2
2 2
4
1
3 3
4
1
m
F L
mgL
y x
EI EI

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.

0.010493
4.2123 0.9999
0.002491

s
n
P
N
  .
- Kết quả tính ĐTC theo hai phương pháp là xấp xỉ nhau (
1
0.9999
S
P  và
2
0.9999
S
P  ).
3.5 Nhận xét
Các sai số giữa phương pháp của luận án và của các tác giả khác [90] trong các ví dụ ở trên là nhỏ.
3.6 Ví dụ tính khung nhiều tầng chịu tải trọng gió theo phương pháp PDEM và phương
pháp của luận án.
18

Cho một khung phẳng chịu tải trọng ngẫu nhiên là tải trọng gió (Hình 3.17). Luận án đã tính toán
so sánh kết quả tính ĐTC của luận án với phương phápPDEM trình bày trong [80] (Bảng 3.24).
Hai tham số phân bố ngẫu nhiên được xét trong bài báo [80] là vận tốc gió trung bình ở độ cao
10 (m) U
10
và độ dài nhám z
0
(the roughness length z
0
) có hàm phân bố mật độ biểu thức (3.30),

0 .2 6 5* ( 2 4 .8 7 2 )
1 0
0 .2 6 5* ( 2 4 .8 7 2 )
1 0
1 0
1 0
( ) 0 .2 6 5 e * e
U
U
e
U
f U
 
 

 (3.31)

Hình 3.17 Sơ đồ kết cấu khung 20 tầng
Bảng 3.24 ĐTC vượt các ngưỡng khác nhau theo
bài báo [80]
Vượt
ngưỡng
(m)
Theo
[80]
Kết quả
luận án
Sai
số(%)
0.4 0.9981 0.9986 0.05

0.1
t[s]
Ham mat do cua van toc

Hình 3.19 Hàm mật độ phân bố của vận tốc gió U
103.7 Lập trình phần mềm tính ĐTC theo phương pháp tần suất xuất hiện sự kiện an toàn của
kết cấu.
Trên cơ sở sơ đồ các bước của phương pháp tính ĐTC của công trình dao động, tác giả luận
án đã xây dựng chương trình ĐTC 2011 để tính ĐTC cho kết cấu. Chương trình được viết bằng
ngôn ngữ Delphi. Mã nguồn của phần mềm được cho trong phụ lục. Việc giải bài toán dao
động tất định bằng phần mềm Sap 2000 version 14. Đây là một phần mềm phân tích kết cấu
nổi tiếng của hãng Computer and Structures Inc hiện được sử dụng nhiều nơi trên khắp thế giới.
Tùy theo các ĐLNN và số điểm rời rạc của ĐLNN mà ta sẽ có các đầu vào tất định khác nhau.
Có bao nhiêu đầu vào tất định khác nhau thì chương trình ĐTC 2011 sẽ gọi Sap2000 hỗ trợ bấy
nhiêu lần để giải các bài toán dao động tất định từ đó sẽ có bấy nhiêu đầu ra tất định. Cuối cùng
tùy theo điều kiện an toàn mà ta đi xác định ĐTC của kết cấu.

19

CHƯƠNG 4
TÍNH TOÁN ĐỘ TIN CẬY CỦA MỘT SỐ DẠNG KẾT CẤU
4.1 Kết cấu khung chịu tải trọng động đất là quá trình ngẫu nhiên
Cho 1 kết cấu khung bê tông cốt thép (BTCT) 4 tầng, 2 nhịp. Chiều cao tầng 1 là
4.4m, 3 tầng còn lại có chiều cao là 3.6m. Kích thước nhịp là 6.17x2.17m. Kích thước dầm
nhịp 6.17m là 22x60cm, kích thước nhịp 2.17m là 22x30. Kích thước cột các tầng 1, 2 nhịp
6.17 m là 22x45 cm, kích thước các cột tầng trên là 22x35. Kích thước cột tầng biên nhịp
2.17 m là 22x22 cm. Tải trọng tác động lên công trình, tổ hợp tải trọng tính toán để thiết kế


[M],[C],[K] là ma trận khối lượng,cản và độ
cứng của kết cấu Hình 4.2 Sơ đồ kết cấu khung
4.1.3 Xác định các đầu vào tất định và trọng số của từng đầu vào tất định
Bảng 4.5 Giá trị rời rạc của R
s
, hàm mật độ và trọng số tương ứng
270 272.5 275 277.5 R
S
(N/mm
2
)
290 287.5 285 282.5
280
f(x) 0.000054 0.00177 0.0216 0.0968 0.1596
Trọng số 1 33 403 1808 2981
Bảng 4.6 Giá trị rời rạc của E, hàm mật độ và trọng số tương ứng
E(kN/m
2
) 1.932x10
7
2.116x10
7
2.3x10
7
2.484x10
7

2
).
Đặt M=M
gh
-M
x
là quãng an toàn, trong đó M
gh
: mô men giới hạn trên tiết diện thẳng góc với
trục dọc cấu kiện, M
x
là nội lực lớn nhất trên tiết diện. Kết quả tính toán M=M
gh
-M
x
đối với
một thể hiện cho trong bảng 4.8 .
20

Bảng 4.8 Giá trị quãng an toàn M của phần tử 13-thể hiện 1-động đất
R
s
(1)
R
s
(2)
R
s
(3)
R

E
5
28.79 30.08 31.36 32.64 33.90 35.16 36.42 37.66 38.90
Bảng 4.18 Giá trị tần suất của quãng an toàn đối với phần tử 13
R
s
(1)
R
s
(2)
R
s
(3)
R
s
(4)
R
s
(5)
R
s
(6)
R
s
(7)
R
s
(8)
R
s


84976 140107

84976 18941

1551 47
E
5
1 33 403 1808 2981 1808 403 33 1
ĐTC theo TTGH thứ nhất về khả năng chịu lưc của phần tử 13 xác định theo công thức
251503744
1
251503744
S
s
N
P
N
  
.
 Quãng an toàn với cấu kiện chịu nén+uốn (cột)-Phần tử số 5.
Cột tầng 1 (phần tử số 5) kích thước 22x45 được bố trí thép như sau: Bố trí thép đối
xứng mỗi bên 320 (A
s
= A
’
s
=9.42 cm
2
).

s
(6)
R
s
(7)
R
s
(8)
R
s
(9)

E
1
27.56

28.35

29.14

29.93

30.73

31.52

32.31

33.09


12.63

13.42

14.21

15.00

15.79

16.58

E
4
16.94

17.73

18.52

19.31

20.10

20.89

21.69

22.48


s
(3)
R
s
(4)
R
s
(5)
R
s
(6)
R
s
(7)
R
s
(8)
R
s
(9)

E
1
1 33 403 1808 2981 1808 403 33 1
E
2
47 1551 18941

84976 140107


1
251503744
S
s
N
P
N
  
.
4.2 Kết cấu khung chịu tải trọng gió là quá trình ngẫu nhiên
Cho kết cấu khung phẳng 10 tầng 3 nhịp như hình 4.13. Chiều cao các tầng 1 là 3.6m,
nhịp khung có kích thước là 6m. Tham số vật liệu, tham số hình học cho trong bảng 4.30,
bảng 4.31.Tải trọng tác dụng (tĩnh tải+hoạt tải), tổ hợp tải trọng, điều kiện an toàn của kết
cấu theo TCVN 2737-1995, TCXDVN 356:2005. Liên kết chân cột với móng là liên kết
ngàm. Tải trọng gió là QTNN được mô phỏng thành các thể hiện khác nhau. Yêu cầu xác
định ĐTC của khung BTCT theo TTGH thứ nhất về khả năng chiu lực.

214.2.1 Xác định và xử lý các tham số đầu vào.

Tải trọng: Các trường hợp tải được xét đến.
- Tĩnh tải: bao gồm trọng lượng bản thân sàn
BTCT + thêm các lớp hoàn thiện phân bố đều
trên sàn,tải trọng tường bao che phân bố đều
lên sàn.
- Hoạt tải sàn tác dụng phân bố đều trên sàn
lệch tầng lệch nhịp.
Tĩnh tải, hoạt tải sàn là các đại lượng tất định.

b
, hàm mật độ và trọng số tương ứng
10.5 10.75 11 11.25 R
b
(N/mm
2
)
11.75 12 12.25 12.5
11.5
f(x) 0.00054 0.01773 0.21596 0.96788 1.5958
Trọng số 1 33 403 1808 2981
Bảng 4.33 Giá trị rời rạc của E, hàm mật độ và trọng số tương ứng
E(kN/m
2
) 1.932x10
7
2.116x10
7
2.3x10
7
2.484x10
7
2.668x10
7

f(x) 2.073x10
-9
9.675x10
-8
3.469x10

gh
: mô men giới hạn trên tiết diện thẳng góc với
trục dọc cấu kiện xác định theo phụ lục 2, M
x
là nội lực lớn nhất trên tiết diện. Kết quả tính
toán M=M
gh
-M
x
đối với một thể hiện cho trong bảng 4.35.

Bảng 4.35 Giá trị quãng an toàn M của phần tử 41-thể hiện 1
22

R
b
(1)
R
b
(2)
R
b
(3)
R
b
(4)
R
b
(5)
R

251503744
s
s
N
P
N
  
.
 Quãng an toàn với cấu kiện chịu nén+uốn (cột)-Phẩn tử 11
Cột tầng 1 (phần tử số 11) kích thước 30x60 được bố trí thép như sau: Bố trí thép đối
xứng mỗi bên 525 (A
s
= A
’
s
=24.54 cm
2
).
Đặt M=M
gh
-Ne, M
gh
là mô men giới hạn xác định theo phụ lục 2, N là lực dọc trên tiết
diện, e là độ lệch tâm phụ thuộc vào mô men uốn và lực dọc của tiết diện. Kết quả tính toán giá trị
của quãng an toàn M đối với 1 thể hiện cho trong bảng 4.41
Bảng 4.41 Giá trị quãng an toàn M của phần tử 11-thể hiện 1.
R
b
(1)
R

E
3
-15.39 -5.95 3.38 12.60 21.71 30.71 39.60 48.38 57.04
E
4
0.05 9.49 18.82 28.04 37.15 46.15 55.04 63.82 72.48
E
5
1.42 10.86 20.19 29.41 38.52 47.52 56.41 65.19 73.85
ĐTC theo TTGH thứ nhất về khả năng chịu lưc của phần tử 11 xác định theo công thức
248913255
0.9897
251503744
s
s
N
P
N
  
.
4.3 Ví dụ tấm
Xét 1 kết cấu tấm BTCT kích thước
4x6x0.15 (m), liên kết ngàm một cạnh, 3
cạnh còn lại tự do. Vật liệu có mô đun đàn
hồi E=2.3x10
7
kN/m
2
, =0.3, trọng lượng
riêng =25 kN/m


 


 


 
 
0
1
M x C x K x M x
   
  
,
Trong đó [M],[C],[K] là ma trận khối lượng,cản và độ cứng của kết cấu
4.3.3 Xác định các đầu vào tất định và trọng số của từng đầu vào tất định
Bảng 4.48 Giá trị rời rạc của E, hàm mật độ và trọng số tương ứng
E(kN/m
2
) 1.932x10
7
2.116x10
7
2.3x10
7
2.484x10
7
2.668x10
7

h
2
h
3
h
4
h
5
h
6
h
7
E
1
-0.1309 -0.0210 -0.0074 0.0015 0.0130 0.0039 0.0375
E
2
-0.0774 -0.0311 0.0124 0.0254 0.0129 0.0117 0.1287
E
3
-0.0051 -0.0495 0.0695 0.0249 -0.0018 0.1403 0.1165
E
4
-0.0310 -0.0234 0.0076 0.0038 0.0657 0.1286 0.1339
E
5
-0.0279 0.0015 0.0228 0.0327 0.1291 0.1167 0.2205
Bảng 4.60 Giá trị tần suất của quãng an toàn khi E, h là các tham số ngẫu nhiên chuẩn
h
1

ôngso 5943800
s
R
P
T

  
.
Vậy xác suất an toàn của tấm theo TTGH thứ hai về điều kiện làm việc bình thường
là 96.50%.