Chương I: MÊNH ĐỀ - TÂP HƠP
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Mệnh đề.
. Một khẳng định hoặc đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai gọi là một mệnh đề.
. Một mệnh đề còn phụ thuộc vào những giá trị của biến số gọi là mênh đề chứa biến. Mệnh đề chứa biến x kí
hiệu là: P(x).
. Mệnh đề “ không phải P” là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là
P
.
. Mệnh đề “ Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là:
QP⇒
. Mệnh đề
QP ⇒
chỉ sai khi P
đúng và Q sai.
Định lí là một mệnh đề đúng và thường có dạng
QP ⇒
.
Mệnh đề
PQ ⇒
được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề
QP ⇒
.
. Nếu cả hai mênh đề
PQvàQP ⇒⇒
đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí
hiệu
QP ⇔
và đọc là : P tương đương Q hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc P khi và chỉ khi Q.
. Kí hiệu
∀

b) Q: “
"41:
2
+∈∃ nNn
2. Tập hợp.
. Tập hơp là một khái niệm cơ bản của toán học. Để chỉ a là một phần tử của tâp hơp A, ta viết a
∈

A( đọc là a thuộc A). Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a
∉
A( đọc là a không
thuộc A). Tập hợp rỗng kí hiệu là
Φ
tập hợp không chứa phần tử nào.
. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói A là một tập hợp con của B và viết A
⊂
B( đọc là
A chứa trong B). A
)( BxAxxB ∈⇒∈∀⇔⊂
Khi A
ABvàB ⊂⊂
ta nói tâp A bằng tập B và viết là: A = B. Nhu vậy A = B
)( BxAxx ∈⇔∈∀⇔
. Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B

}{
BxvàAxxBA ∈∈=∩ /
;



1/ Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
A = {x ∈ N / x có hai chữ số và chữ số hàng chục là 3}
B = {x ∈ N / x là ước của 15}
C = {x ∈ N / x là số nguyên tố không lớn hơn 17}
D = {x ∈ N
*
/ 3 < n
2
< 30}
E = {x ∈ R / (2x – x
2
)(2x
2
– 3x – 2) = 0}
F = {x ∈ Z / 2x
2
– 7x + 5 = 0}
G = {x ∈ Q / (x – 2)(3x + 1)(x +
2
) = 0}
H = {x ∈ Z /
3
≤
x
}
I = {x ∈ Z / x
2
– 3x + 2 = 0 hoặc x
2
– 1 = 0}

|| aa
a
−=∆
được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
. Nếu
haahahayhaahthihaa
a
+≤≤−≤−≤−≤−=∆ ||
. Ta nói a là số gần đúng của
a
với độ chính
xác h, và viết là
=a
ha
±
.
. Để quy tròn số gần đúng
a
, người ta thường quy ước làm tròn đến hàng cụ thể ( hàng trăm, hàng nghìn,… ).Để
làm tròn đến hàng k, người ta thường quan tâm đến hàng k + 1. Nếu chữ số đó lớn hơn hoặc bằng 5 ta cộng vào
chữ số k một đơn vị, nếu chữ số nhỏ hơn 5 ta giữ ngun chữ số hàng k.
1/ Cho số
a
= 37975421
150
±
. Hãy viết số quy tròn của sở975421.
2/ Độ cao của một ngọn núi là h = 1372,5
1,0±
m. Hãy viết số quy tròn của số 1372,5.

: là tập hợp tất cả các số
x
sao cho biểu
thức
( )f x
có nghĩa.
4/ Đồ thị của hàm số: cho hàm số
( )y f x=
xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
0 0
( ; )M x y
trên mặt phẳng toạ độ với mọi x
0
thuộc tập D và
0 0
( )y f x=
.
5/ Sự biến thiên của hàm số: cho hàm số
( )y f x=
xác định trên khoảng
( ; )a b ⊂ ¡
.
Hàm số
( )y f x=
gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a;b) nếu
1 2 1 2 1 2
, ( ; ) : ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
.
Hàm số
( )y f x=

⇔

− = − ∀ ∈

Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số:
Phương pháp:
Muốn tìm tập xác định của hàm số
( )y f x
=
, ta tìm các số
x
sao cho biểu thức
( )f x
có
nghĩa.
Một số trường hợp cần nhớ:
Hàm số dạng
điều kiện để biểu thức
( )f x
có nghĩa
( )
( )
( )
P x
f x
Q x
=

b y
x
−
=
+
2
2 1
)
3 2
x
c y
x x
−
=
− +
2
2
)
4
x
d y
x
+
=
−
2
2 1
)
1
x

) 4 2a y x= −
) 1k y x= +
) 4 2 1l y x x= − + +
) 5 3 1m y x x= − + −

4 1
)
4
x
e y
x
−
=
−
) 4 2a y x= −
…………………………………………@
Chuyªn ®Ò : Hµm sè
D¹ng 1:T×m TX§ cña hµm sè.
Bµi 1. T×m TX§ cña c¸c hµm sè :
a). y=
127
2
2
+−
−
xx
x
b). y=
2)3(
75

1
2
54
2
−
++−
x
xx
Bµi 2. T×m TX§ cña c¸c hµm sè :
a). y=
1−x
-
x34 −
b). y=
3−x
-
45
2
−+− xx

c). y=
1−x
-
x+1
1
d). y=
x
-
xx −
2

2
+−−
−
xxx
x
i). y=(
1)
3
1
2
1
−
−
−
−
x
xx
k). y=
86
3
2
+−
−
xx
x
l). y=
2
2
4
2

561
43
22
+++

xxx
x
q). y=
422
12
++
+
xx
x
Bài 3. Cho hàm số y=








+

<

1x1- khi
2
8




+
+
xx
x
xx
a). Tìm TXĐ của hàm số.
b). Tính f(0), f(-1), f(10), f(11).

Bài 5. Cho hàm số y=f(x)=
xm
mx
x

+

3
1
2
Xac định m để
(
]
4;2=
f
D
Bài 6. Giải các bất phơng trình và phơng trình sau:
a).
438432

1
2
+

+++
mx
x
mx
xác định trên [1; 2)
e). y=
1
432
+

++
mx
mx
mx
xác định với mọi x>0.
Bài 9. Cho hàm số y=f(x)=
1212
2222
+ xxxx
a).Đơn giản f(x).
b).Tìm TXĐ của hàm số.
c).Tính f(4), f(-2).
5
Dạng 2:Tìm tập giá trị của hàm số.
Bài 1. Tìm tập giá trị của hàm số:
a). y=

xx
xx
<ĐHSP TPHCM>
Bài 3. Tìm tập giá trị của hàm số: y=
1
2
+ xx
Bài 4. Tìm tập giá trị của hàm số: y=
1
12
2
++
+
xx
x
Bài 5. Tìm tập giá trị của hàm số: y=
123
31020
2
2
++
++
xx
xx
<HVNH TPHCM>
1-x nếu -2 x < 0
Bài 6. Cho hàm số y= x nếu 0 x 2
a) Tìm TXĐ của hàm số.
b) Tính các giá trị f(-1), f(0), f(1,5).
c) Tìm tập giá trị của hàm số.

1
trên mỗi khoảng (-; 0) và (0; +).
f) y=
x32
trên nửa khoảng




3
2
;(
g) y=x
5
3


h) y=
2
32
+
+
x
x
trên mỗi khoảng (-; -2) và (-2; +).
i) y=
1
2



xx
21
)3()2(
22
+
+
a) Tìm TXĐ của hàm số.
b) CMR f là hàm hằng.
Bài 6. Với giá trị nào của m thì hàm số: y=(2-m)x +
2
m
- 2
a) Đồng biến trên R b) Nghịch biến trên R
Dạng 4:Xét tính chẵn - lẻ của hàm số.
Bài 1. Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a) y=
2
24
4
572
x
xxx ++
b) y=
3
35
41
53
xx
xxx ++
c) y=

2
+
l) y=
2
35
4 x
xxx

+
m) y=
4
2
2
4

x
xx
n) y=
( ) ( )
20082008
11 ++ xx
Bài 2. Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a) y=
2
3
2 x
x

b) y=
xx

+

0 x khi 3
0 x khi 3
x
x
b) y=f(x)=





<
=
>
0 xkhi 1
0 xkhi 0
0 x khi 1
c) y=f(x)=







+
1 xkhi 1x
1x1- khi 0
-1 x khi 1

a)Tích hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
b)Tích hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ.
c)Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
Bài 6. Cho hàm số y=f(x)=
32)2(
2
+ mxx
. XĐ m để hàm số là hàm số lẻ.
Bài 7. Cho hàm số y=f(x)=
2
2
2
2
+
++
x
mxmx
. XĐ m để hàm số là hàm số lẻ trên TXĐ.
Dạng 5:Hàm số phụ thuộc tham số. Tìm điểm cố đinh của đồ thị hàm số.
Bài 1. Tìm điểm cố định của (
)
m
C
: y=
)12(2)232()1(
223
+++ mmxmmxmx
Bài 2. CMR (
)
m

4)4(3
2
Bài 5. <ĐH-Đà Nẵng> Tìm điểm cố định của (
)
m
C
: y=
5
24
+ mmxx
Bài 6. Cho hàm số y=f(x)=(2m-1)x+3m+1, (
m
d
)
a) Xét sự biến thiê.
b) CMR (
m
d
) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7.<ĐH_Y Dợc TPHCM> Cho hàm số y=f(x)=
mx
mxmx
+
+++ 1)1(2
2
, (
)
m
C


>
<+
<+

1x, 1- x
1x,0 1x-
0x,-1 12x
-1x, 32x
Bài 3. Cho hàm số y=3x-2
a) Vẽ ĐTHS
b) Từ ĐTHS trên suy ra ĐTHS y=
23 x
Bài 4. a) Vẽ ĐTHS y=x-2
b) Từ ĐTHS trên suy ra ĐTHS y=
2x
Bài 5. Cho hàm số y=f(x)=
3
3
132


+
x
x
xx
a) Khảo sát SBT và vẽ ĐTHS.
8
b) Giải và biện luận bằng đồ thị số nghiệm pt f(x)=m.
c) Tìm x để f(x) >0
Bài 6. Cho hàm số y=f(x)=

2
d
: y=(1-m)x+2m-3
a) Tìm m để (
)
1
d
/ / (
)
2
d
.
b) Tìm m để (
)
1
d

(
)
2
d
.
c) CMR (
)
2
d
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 11. Cho ba đờng thẳng:
(
)

1
d
: y=-mx+m+3, (
)
2
d
:y=-x+4, (
)
3
d
: y=2x+3.
a) CMR (
)
1
d
luôn đi qua một điểm cố định.
Trờng ptth minh châu_gv: nguyễn văn vĩnh
b) CMR ba đờng thẳng (
)
1
d
,(
)
2
d
,(
)
3
d
luôn luôn đồng quy với mọi m.

.
9
e) X§ to¹ ®é ®iĨm D ®Ĩ tø gi¸c ABCD lµ hbh.
Bµi 16. Trong mỈt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho 3 ®iĨm A(-4; -1), B(2; 4), C(-2; 2).
a) LËp pt c¸c c¹nh cđa
ABC∆
.
b) LËp pt c¸c ®êng trung trùc cđa
ABC∆
. X§ to¹ ®é träng t©m G cđa
ABC∆
.
c) LËp pt c¸c ®êng cao cđa
ABC∆
.X§ to¹ ®é trùc t©m H cđa
ABC∆
.
d) LËp pt c¸c ®êng trtrùc cđa
ABC∆
. X§ to¹ ®é t©m I cđa ®trßn ngtiÕp
ABC∆
.
e) CMR ba ®iĨm G, H, I th¼ng hµng.
D¹ng 7:Hµm sè bËc hai.
Bµi 1. Cho hµm sè y=f(x)=
43
2
++− xx
.
a) Kh¶o s¸t SBT vµ vÏ §THS.

.
d) T×m k ®Ĩ (d):y=kx+k-2 c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt.
Bµi 4. Cho (P): y=f(x)=
32
2
++− xx
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ (p).
b) CMR ®êng th¼ng (d): y=mx lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt M vµ N.T×m q
tÝch trung ®iĨm I cđa ®o¹n th¼ng MN.
Bµi 5. Cho (P): y=f(x)=
2
2
−− xx
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ (P).
b) ViÕt pt ®êngth (d) qua M(1; -1) cã HSG lµ -1/2. X§ to¹ ®é giao ®iĨm A, B cđa
(P) vµ (d).
c) Cho ®iĨm E(0; -2). CMR:
0
90=∠AEB
.
Ph¬ng ph¸p gi¶i :BÀI TẬP CHƯƠNG II_ĐẠI SỐ 10
HÀM SỐBẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
A.HÀM SỐ BẬC NHẤT:
Dạng y = ax +b
TXĐ: D=R
Hàm số đồng biến trên R khi a >0 ; Hàm số nghòch biến trên R khi a<0
Bảng biến thiên :
a>0 a<0
10
x -∞ +∞


∆
−−
2
4
2
a
;
a
b
S
Trục đối xứng
a
b
x
2
−=






∞







Nhận đường thẳng
a
b
x
2
−=
là trục đối xứng.
Chú ý : Muốn vẽ đồ thò của hàm số y =ax
2
+bx +c ta thực hiện như sau:
–Xác dònh hương lõm của đồ thò –Xác đònh tọa độ điểm đỉnh






∆
−−
2
4
2
a
;
a
b
S
và trục đối xứng
a
b

) : y=a
1
x+b
1
; (d
2
): y=a
2
x +b
2
:
(d
1
)//(d
2
) 



≠
=
21
21
bb
aa
(d
1
)⊥ (d
2
) a


2
4a
∆
−

-∞ -∞
2
5
2
1
2
1
2
5
2
3
+−==>







−=
=
<=>





−=
−=
<=>



+−=
+=−
<=>∈−−
xy
b
a
ba
ba
)d();(B;);(A
Thí dụ 3 :
Vẽ đồ thị của hàm số y =





<+
≥−
11
2
1
112

);(B;A)c);(B;A)b);(B;A)a
Thí dụ 5:
12
)(dcủa1x phầnXóa
D(-2;0) và(C0;1) điểm 2 qua)d(
xkhixy:)(d Vẽ
xvới)(d phần.xóa B và Aqua)(d Vẽ
B(2;3)A(1;1) điểm 2 qua)d(
xkhixy:)(dVẽ
2
2
11
1
≥
<+==
<
≥−=
2
1
11
2
1
1
112
Tìm hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên.
Bài Tập :
Tìm hàm số có đồ thị là các hàm dưới đây:
Bài 2:
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = ax
2





+∞− ;
a
b
2
Hàm số đồng biến trong khoảng






−∞−
a
b
;
2
Lập bảng biến thiên – Xác định điểm đỉnh ; trục đối xứng
Tìm giao điểm của đồ thị với Ox và Oy,
Vẽ đồ thị.
Thí dụ 1:
13
Hàm số có đồ thị như hình bên là đồ thị của hàm số
cho bởi nhiều công thức .
Do đồ thị là một đường gấp khúc nên mỗi công
thức đều có dạng y = ax +b
x< -2 : Đồ thị qua 2 điểm B(-2 ; 6) và C(-1;3)

3
2
2
++− x
x
Txđ : D= R
a =
0
2
1
<−
=> Hs đồng biến trong (–∞;1)
Hs nghịch biến trong ( 2; +∞)
Bài 3: Tìm các hệ số a ; b ; c của hàm số y = ax
2
+bx+c
Dạng 1: Qua 3 điểm A(x
1
;y
1
) ; B(x
2
;y
2
) ; C(x
3
;y
3
)
Gọi (P): y =ax

2
;y
2
) và biết trục đối xứng x = x
0
baxx
a
b
xxTruïc
ycbxax
ycbxax
)P(B;A
−=<=>=−<=>=





=++
=++
<=>∈
000
22
2
2
11
2
1
2
2






=+
=++
=++
<=>∈
02
2
22
2
2
11
2
1
bax
ycbxax
ycbxax
)P(S;A
Giải hệ tìm a ; b ;c
Thí dụ 1:
Cho hàm số y = ax
2
+bx+c . Tìm a ; b ;c biết đồ thị (P) của nó đi qua 3 điểm A(–2;2 ) B(0;–2) C(3;-1/2)
14
x –∞ 2 +∞
y
+∞ +∞




−=
−=
=
<=>







−=++
−=
=+−
<=>∈ x
x
y
c
b
a
cba
c
cba
)P(C;B;A
Thí dụ 2:
Cho hàm số y = ax
2






=+
=++
=+−
<=>∈ xxy
c
b
a
ba
cba
cba
)P(S;A
Thí dụ 3:
Cho hàm số y = ax
2
+bx+c . Tìm a ; b ;c biết đồ thị (P) của nó đi qua 2 điểm O và






4
3
1;A
và có trục là








=+
=+
=
<=>









=−
=++
=
<=>∈
4
0
1
4
1
04

2
3
1
−==>−===>=




−=
=
yx;yx
x
x
Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm
( )






−− 2
2
3
31 ;B;A
Thí dụ 2:
Tìm giao điểm của (P) : y= –x
2
+3x +4 và (d): y = x +5
Giải :

−+=





++−=
+=





−−=
+=
1
2
2
2
4
232
2
2
5
2
2
4
2
2
2

2

a.Xác định các hệ số a ; b ;c của hàm số . ĐS : y = 3x
2
–4x -1
b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) vừa tìm được ơ câu a.
c.Gọi (d) là đường thẳng có phương trình y = mx+n . Tìm m và n biết (d) đi qua 2 điểm M(–1 ; –12) và
N(3 ; 8). Tìm giao điểm của (d) và (P). ĐS:m = 5 ; n = -7
2 Cho hàm số y = ax
2
+bx +c có đồ thị (P).
a.Xác định các hệ số a ; b ; c biết đỉnh của (P) là S(3; -4) và cắt Oy tại điểm (0;5).
b.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm được ở câu a.
c.Vẽ (P’):y = –x
2
+4x –3 , trên cùng đồ thị với (P) . Tìm giao điểm của (P) và (P’) . Kiểm tra lại bằng đại
số.
3.Cho hàm số y =
( )( )
53
4
1
+− xx
có đồ thị (P) .
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số .
b. Gọi (d) là đường thẳng có phương trình y =
m
x
+−
2

x=0=>y= -3 ; y = 0=>x= –1;x=3
Vẽ y = x
2
+2x –3
16
a=1 > 0=>đồ thị quay bề lõm lên trên
Đỉnh S’(–1;–4) x = 0=>y= –3 ; y = 0=> x= 1; x = -3
BÀI TẬP:
Bài 1. T×m tËp x¸c ®Þnh cđa hµm sè sau:
1/
x
xx
y
2
2
+
=
2/
1
1
+
=
x
y
3/
23
3
2
+−
+

+
xx
x
11/ y=
)86)(1(
3
2
+−−
−
xxx
x
12/ y =
3x
1x2
2
+
−
13/ y=
1−x
+
x
x
−
−
2
13
14/ y =
1
1− +x
x

4
2x
x 1+
7/ y=
x
x 2
2
+
8/ y=
2
)1( −x
x
9/ y =
4 2
x + x + 3
10/ y =
2
x 3 x 1+ −
11/ y =
3 x x 3− + +
12/ y =
3
x 2x 2010+ +
13/ y=
23
46
+− xx
14/ y=
( ) ( )
2010 2010

d
: y=(1-m)x+2m-3
a) T×m m ®Ĩ (
)
1
d
/ / (
)
2
d
.
b) CMR (
)
2
d
lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
Bài 5. Cho ba ®êng th¼ng:(
)
1
d
: 2x+3y-4=0, (
)
2
d
: -x+y-1, (
)
m
d
:
0253

,(
)
3
d
lu«n lu«n ®ång quy víi mäi m.
17
Bài 7. T×m Parabol
2
2
++= bxaxy
biÕt r»ng Parabol ®ã:
1/ §i qua hai ®iĨm M(1;5) vµ N(-2; 8). (KQ:
2
2 2y x x= + +
)
2/ §i qua ®iĨm A(-3; -6) vµ cã trơc ®èi xøng
3
4
x = −
. (KQ:
2
16 8
2
9 3
y x x= − − +
)
3/ Cã ®Ønh I(1;- 4). (KQ:
2
6 12 2y x x= − +
)

2
−+= xxy
3/
2
y x 2x 2= + +
4/
43
2
−−−= xxy
5/
44
2
+−= xxy
6/
32
2
++−= xxy
7/
xxy 2
2
−=
8/
4
2
+−= xy

Bài 10 . T×m täa ®é giao ®iĨm cđa c¸c ®å thÞ hàm số :
1/ y = 2x − 3 và y = 1 − x 2/ y = 2(x − 1) và y = 2 3/ 4x + y-1 = 0 và 3x-y −
2=0
4/

2
+− xx
|
g) Gi¶i vµ biƯn ln b»ng ®å thÞ sè nghiƯm pt
023
2
=+−+− mxx
.
h) T×m k ®Ĩ (d): y=kx+k-2 c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt.
Bài 12. Cho (P) : y = −
4
x
2
+ 2x − 3 và (d) : x − 2y + m = 0
1/ Đònh m để (P) và (d) có 2 điểm chung phân biệt.
2/ Đònh m để (P) và (d) tiếp xúc nhau. Xác đònh tọa độ tiếp điểm.
Bài 13 . Cho Parabol (P) : y = ax
2
- 4x + c
a/ Xác đònh a, c biết (P) qua A(0; 3) và có trục đối xứng x=2
b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (P) vừa tìm được.
18
c/ Gọi (d)có phương trình : y = 2x + m. Đònh m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 14. Cho (P) : y = x
2
− 3x − 4 và (d) : y = −2x + m. Đònh m để (P) và (d) :
a/Có 2 điểm chung phân biệt
b/Tiếp xúc
c/Không cắt nhau.
Bµi 15. Cho (P): y=f(x)=

*Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) nếu tập nghiệm của (2) chứa tập nghiệm của (1).
* Cho phương trình f(x) = 0
)()()( xhxhxf =+⇔
, y = h(x) là một hàm số.
*Bình phương hai vế của một phương trình ta được một phương trình hệ quả.
* Đối với phương trình chứa căn ta có:



=
≥
⇔=
2
)]([)(
0)(
)()(
xgxf
xg
xgxf
2.Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai.
* Phương trình ax + b = 0, (a
)0≠
có nghiệm x =
a
b
−
.
.Nếu a = 0, b = 0 phương trình có vơ số nghiệm.
.Nếu a = 0, b
0≠

<∆
phương trình vơ nghiệm.
* Nếu x
1
và x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 thì







=
−=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
* Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình : X
2
– SX + P = 0

22
bacybxa
bacbyax
19
1. D
0
≠
: Hệ có một nghiệm duy nhất (x ; y) trong đó x =
D
D
y
D
D
y
x
=,
2. D = 0:
*
00 ≠≠
yx
DhoăoD
: Hệ vơ nghiệm
*
0==
yx
DD
: Hệ có vơ số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình
ax + by = c
B. BÀI TẬP
1. Giải phương trình :

;
)3)(2(
50
3
10
2
2
1/;
1
154
1
3
1
2
/
;
1
1
5
4
/;0651/
+−=−−
−
=
+−
−−
+
−
=+
+

xx
xxx
e
xxxx
d
x
xx
x
x
x
x
c
xx
x
bxxxa

2. Giải phương trình (trò tuyệt đối) :
235/;421/
;01
3
52
/;2
2
/;
2
1
/
;0115/;1
23
4

x
g
xxf
xx
xx
exxxxd
xxxcxxbxxa

3. Giải phương trình (chứa căn thức) :
( )( )
22
2
4
/;3421/;0)12(263/
;134/;5321/;446/
22
22
=−−
−
+=−−=−+++−
−=−+=−−+−=+−
x
x
fxxxexxxd
xxxcxxxbxxxa
4. Giải phương trình (đặt ẩn phụ) :
6315/;1381/
;
2
2

a/ m(x – m) = x + m – 2; b/ m
2
(x – 1) + m = x(3m – 2);
c/ (m
2
+ 2)x – 2m = x – 3; d/ m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6
6. Giải và biện luận phương trình (bậc 1 có mẫu số) theo tham số m :
2
12
)2)(1(
/;1
2
2)12(
/ +=
+
+−
+=
−
+−
m
x
xmm
bm
x
xm
a
7. Giải và biện luận phương trình (bậc 2) theo tham số m :
20
a/ (m – 1)x
2

1
;
11
;; xx
xx
xxxx −+++
b/ p dụng : Không giải phương trình x
2
– 2x – 15 = 0 hãy tính :
_ Tổng bình phương hai nghiệm.
_ Bình phương tổng hai nghiệm
_ Tổng lập phương hai nghiệm.
9. Đònh m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa :
a/ x
2
+ (m – 1)x + m + 6 = 0 thỏa : x
1
2
+ x
2
2
= 10.
b/ (m + 1)x
2
– 2(m – 1)x + m – 2 = 0 thỏa : 4(x
1
+ x
2
) = 7x
1

– (2m + 1)x + m – 2 = 0; b/ x
2
– 2(m + 2)x + m
2
+ 7 = 0
15. Đònh m để phương trình có đúng một nghiệm :
a/ mx
2
– 2(m + 3)x + m = 0; b/ (m – 1)x
2
– 6(m – 1)x + 2m – 3 = 0
16.Đònh m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt : 3x
2
+ 5x + 2m + 1 = 0
17. Giải các hệ phương trình.
a)



=−
−=+−
425
537
yx
yx
b)



−=+−

zyx
b)





=++
=−+
=+−−
422
5243
343
zyx
zyx
zyx
c)





=+−
=+−
=++
1034
5223
7
zyx
zyx

ayx
2
53
b)



+=−
=+
143
2
byx
ayax
21.*Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y
x y
2 2
4 8
2 4

+ =

+ =

b)
x xy
x y
2
24

xy x y
3 4 1 0
3( ) 9

− + =

= + −

f)
x y
xy x y
2 3 2
6 0

+ =

+ + + =

21
g)
y x x
x y
2
4
2 5 0

+ =

+ − =



+ =

b)
x y m
x y x
2 2
2 2

+ =

− + =

c)
x y
x y m
2 2
3 2 1

− =

+ =

23.*Giải các hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x y xy x y
2 2
11
2( ) 31

x y
13
6
6

+ =



+ =

e)
x x y y
x y xy
3 3 3 3
17
5

+ + =

+ + =

f)
x x y y
x xy y
4 2 2 4
2 2
481
37


xy x y m
( 1)( 1) 5
( ) 4

+ + = +

+ =

25.*Giải các hệ phương trình sau:
a)
x x y
y y x
2
2
3 2
3 2


= +

= +


b)
x y x y
y x y x
2 2
2 2
2 2
2 2


− =




− =


e)
y
y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3

+
=




2
3
3


= +

= +


b)
x y m m
y x m m
2 2
2 2
(3 4 ) (3 4 )
(3 4 ) (3 4 )


− = −

− = −


c)
xy x m y
xy y m x
2
2
( 1)



− + = −

+ + =


c)
y xy
x xy y
2
2 2
3 4
4 1


− =

− + =


d)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15



− − =


28.*Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
x mxy y m
x m xy my m
2 2
2 2
( 1)


+ + =

+ − + =


b)
xy y
x xy m
2
2
12
26


− =

− = +




<<
>>
⇔
0
0
ckhibcac
ckhibcac
a > b
bdacdcvà >⇒≥>≥ 00
a > b
nn
baNnvà >⇒∈≥
*
0
baba >⇒≥> 0
33
baba >⇒>
xxxxx −≥≥≥ ||,||,0||
axaax ≤≤−⇔≤||
(a > 0)
axhoăoaxax ≥−≤⇔≥||

|||||||||| bababa +≤+≤−
b) Bất đẳng thức Cô-si.
*
)0,(
2
;

xyyx
33
+≥
b) x
2
+ 4y
2
+ 3z
2
+ 14 > 2x + 12y + 6z.
2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau :
Vôùi ∀ a, b, c ∈ R :
a/ a
2
+ b
2
+ c
2
+ 3 ≥ 2(a + b + c) b/ a
2
+ b
2
+ a
2
b
2
+ 1 ≥ 4ab
c/
22
22

2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca
g/ (a + b + c)
2
≤ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) h/ a
2
+ b
2
+ 1 ≥ ab + a + b
3. Vôùi a, b, c > 0 :
abbabae
abcaccbbad
cbaab
c
ca
b
bc
a
c
a

≥+++
≥+++++≥++
++≥++++≥++

f/
ba
a
b
b
a
+≥+
g/
baba +
≥+
411
h/
4
4
abcd
dcba
≥
+++

23
k/.
dcbadcba +++
≥+++
161111
l/.
a

0, b 0
2
≥ ≥ ⇒ ≥a ab
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b
b) Cho
3
a+b+c
0, b 0, c 0
3
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c
c) Cho
1 2 n
1 2 1 2
a +a + +a
0, 0, , 0 .
n
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥
n
n n
a a a a a a
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
= = =
n
a a a
2. Ví dụ:
1) Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng:
a)
2+ ≥

b)
2 2 2
2
+ +
+ + ≥
+ + +
a b c a b c
b c c a a b
3. Bài tập:
1) Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh:
a)
( )
1 1
4
 
+ + ≥
 ÷
 
a b
a b
b)
( )
1 1 1
9
 
+ + + + ≥
 ÷
 
a b c
a b c

. 1=
n
a a a
. Chứng minh:
( ) ( )
( )
1 2
1 1 1 2+ + + ≥
n
n
a a a
24
3) Cho x, y, z > 0. Chứng minh
2 2 2
2 2 2
+ + ≥ + +
x y z x y z
y z x
y z x
4) Chứng minh:
1
! ; n N
2
+
> ∈
n
n
n
5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh:
( ) ( ) ( )

12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có:
2
4 4 8
3 3 2
− +
+ ≥
a a
13) Cho
, , 0x y z >
và thỏa
1x y z+ + =
. Chứng minh rằng
18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+ + >
+
14) Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + + ≥ + + +
a b c d
b c d a a b c d
15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
+ + ≥

19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh
1 1 1 8
 
  
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
  
 
x y z
y z x
20) Chứng minh
2
2
3
2
2
x
x R
x
+
≥ ∀ ∈
+
21) Chứng minh
8
6 >1
1
x
x
x
+

< + ∀ ∈ ≥¢
25