"Cỏc bin phỏp bi dng HSG lp 9 k nng gii cỏc dng phng trỡnh vụ t"
phần1 mở đầu
Từ những năm đầu thập kỷ 90 của thế kỷ XX, Ngành Giáo dục Lệ Thủy đã
chú trọng hoạt động nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện trong đó chú trọng chất
lợng giáo dục mũi nhọn. Đó là nhiệm vụ trung tâm của toàn ngành, của mọi cơ sở
giáo dục. Để thực hiện có hiệu quả mục tiêu đó, giải pháp quan trọng đặt ra cho
cấp THCS là thực hiện đổi mới phơng pháp dạy học. Mục tiêu của đổi mới là
nhằm nâng cao chất lợng dạy học, chất lợng đào tạo nguồn nhân lực đáp ứng ngày
càng cao của sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc và yêu cầu hội nhập
khu vực và quốc tế.
Trong những năm gần đây vị thế chất lợng học sinh giỏi của Huyện Lệ Thuỷ
ngày càng đợc khẳng định trong giáo dục tỉnh nhà, hai năm liên tiếp tiếp từ năm
học 2009 - 2010 và 2010 - 2011 thành tích học sinh giỏi văn hóa xếp ở vị trí thứ 2
chỉ sau thành phố Đồng Hới. Trong đó bộ môn Toán cũng có đóng gốp quan trọng
trong thành tích này của giáo dục huyện nhà, tuy nhiên trong giảng dạy bồi dỡng
HSG bộ môn Toán chúng ta cần phải nghiêm túc rút kinh nghiệm và điều chỉnh
cho phù hợp với các đối tợng học sinh khác nhau, trình độ học tập khác nhau và
trang bị chắc, nhuyễn các dạng toán, các chuyên đề để học sinh khi gặp tình
huống trong thực tiễn thì có khả năng giải quyết đơc.
Nhận thấy đây là một vấn đề quan trọng có vị trí chiến lợc lâu dài và cũng để
khẳng định "thơng hiệu" giáo dục Lệ Thuỷ thì mỗi một cán bộ quản lí, mỗi một
giáo viên phải trăn trở tìm đợc các giải pháp tối u để làm tốt công việc đầy gian
khó là bồi dỡng ngày càng đợc nhiều nhân tài cho quê hơng và đất nớc. Với suy
nghĩ nh vậy qua một số năm công tác quản lí chỉ đạo hoạt động bồi dỡng học sinh
giỏi và trực tiếp đứng lớp tại trờng THCS Kiến Giang tôi trăn trở suy nghĩ tìm ra
những giải pháp để ngày càng bồi dỡng đợc nhiều học sinh giỏi bộ môn Toán
nhăm đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của việc bồi dỡng HSG cũng nh phong trào
giáo dục huyện nhà. Trong phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm tôi xin đợc trao
đổi: "Các biện pháp bồi dỡng học sinh giỏi lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng
trình vô tỉ".
*

Trong chơng trình môn Toán ở các lớp THCS kiến thức về phơng trình vô tỉ
không nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp
tục học lên ở THPT.
Khi giải toán về phơng trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức
cơ bản về căn thức, phơng trình, hệ phơng trình, các phép biến đổi đại số, Học
sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức
tạp. Việc học sinh giải thành thạo các dạng phơng trình vô tỉ giúp học sinh phát
triển t duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán dỡng HSG.
Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh.
2.Cơ sở thực tiễn:
2.1. Về học sinh

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 2
"Cỏc bin phỏp bi dng HSG lp 9 k nng gii cỏc dng phng trỡnh vụ t"
Phơng trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều
học sinh không biết giải phơng trình vô tỉ nh thế nào? Có những phơng pháp
nào?
Các bài toán về phơng trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều
trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu
viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định,
gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác tự bồi
dỡng của giáo viên.
Vì vậy việc nghiên cứu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ là rất thiết
thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng dạy
phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học, dặc biệt là chất l-
ợng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trờng THCS.
Theo số liệu thống kê thể hiện trong Bảng 01 và 02 thì tỉ lệ học sinh giải
thành thành thạo các dạng phơng trình vô tỉ còn hạn chế chiếm tỉ lệ xấp xỉ 22%
trong tổng số các bài tập mà giáo viên giao về nhà thuộc chuyên đề, trong đó có
nhiều bài tập học sinh cha nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức gốc nên trong

2009-2010 20 16 80.0 4
20.0
Tổng 40 31 77.5 9 22.5
2.2. Về giáo viên:

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 3
"Cỏc bin phỏp bi dng HSG lp 9 k nng gii cỏc dng phng trỡnh vụ t"
Trong chơng trình đại trà, theo chuẩn kiến thức kỉ năng theo Quyết định 16,
thì dạng phơng trình không đợc giảng dạy trực tiếp mà chỉ thông qua một số bài
tập rèn luyện mà tùy theo đối tợng học sinh, giáo viên có thể lựa chọn và giới
thiệu. Nên trong thực tế giảng dạy giáo viên cúng ít đầu t, tìm hiểu về vấn đề này,
nhng trong các kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh, thi tuyển sinh vào các tr-
ờng chuyên lớp chọn lại xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến nội dung này.
Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ hiện nay còn
ít giáo viên nghiên cứu, hoặc nghiên cứu cũng không hệ thống.
Theo thống kê các đề thi chọn HSG của Sở GD-ĐT Quảng Bình, trong các
năm lại đây thì các bài thi liên quan đến phơng trình vô tỉ, chiếm tỉ lệ khá đáng kể,
tính ra trung bình đến 20% trong tổng số điểm của toàn bộ đề ra.
*Bảng 3:
thống kê kiến thức liên quan đến pt vô tỉ trong các kì thi chọn hsg lớp 9
tỉnh quảng bình
Năm học Kiến thức chung
Kiến thức liên quan đến
phơng trình vô tỉ
Tỉ lệ %
Tống số bài
ra
Điểm
Tống số bài
ra

2.5
25.0 25.0
2005-2006
4 10.0 1
2.5
25.0 25.0
2006-2007
4 10.0 1
2.0
25.0 20.0
2007-2008
5 10.0 0
0.0
0.0 0.0
2008-2009
5 10.0 1
2.0
20.0 20.0
2009-2010
4 10.0 1
2.5
25.0 25.0
2010-2011
5 10.0 1
2.5
20.0 25.0
Tổng
58 130 15 28.5 25.9% 21.9%
3. Các giải pháp đã thực hiện
3.1.Giải pháp 1 : Cung cấp kiến thức cơ bản, kiến thức gốc có hệ thống và





==

=
aax
x
ax
2
2
0
, với a

0.
Phép biến đổi CBH, với giả thiết các căn thức đều có nghĩa.
1.



<

==
0
0
2
AkhiA
AkhiA
AA


7.
B
AB
B
A
=
8.
( )
ApnmApAnAm +=+
3.1.1.2. Căn bậc ba.
Định nghĩa: Cho số thực a số thực x gọi là CBB của a nếu x
3
= a.
Ký hiệu
3
ax =
.
Lu ý: Mọi số thực đều có duy nhất một CBB.
Phép biến đổi CBB: dựa trên phép biến đổi CBH ta cũng có tơng tự.
(Dành cho HS tự ghi vào vở để ghi nhớ)
3.1.1. 3. Căn bậc n.
Định nghĩa:
Cho số thực a số thực x gọi là CBn của a nếu x
n
= a. Ký hiệu
n
ax =
.
Lu ý:

.
Bài 2. Tìm x, thỏa mãn điều kiện sau:
a)
2 x 6=
; b)
2
9x 2x 1= +
; c)
1
2 x 2 4x 8
2
+ + + =
;
d)
2
1 4x 4x 5 + =
; e)
4
x 7=
; f)
2
x 9 3 x 3 0 =
.
3.2.Giải pháp 2: Phát huy tính sáng tạo, t duy linh hoạt mềm dẻo của học
sinh, bằng cách tổ chức cho HS tìm hiểu và xây dựng nhiều lời giải khác nhau
cho một bài toán.
Ta xét bài toán sau ví dụ sau:
Bài 3. Gải pt
x 1 x 2 x 34 x 7 + + = +
(1)


x = 2, thử lại thấy thỏa mãn là nghiệm của phơng trình (1).
*Cách 2: Phơng pháp biểu thức liên hợp
Ta có phơng trình (1) tơng đơng với:

( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 2 x 1 x 2 x 34 x 7 x 34 x 7
x 1 x 2 x 34 x 7
+ + + + + +
=
+ + +

( ) ( )
x 2 x 1 x 34 x 7
x 1 x 2 x 34 x 7
+ + +
=
+ + +

1 9
x 1 x 2 x 34 x 7
=
+ + +

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 6
"Cỏc bin phỏp bi dng HSG lp 9 k nng gii cỏc dng phng trỡnh vụ t"

9 x 2 9 x 1 x 34 x 7
x 1 x 2 x 34 x 7


x 1 x 2 x 7 x 34 + + + = +

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (
1; 2; 3
) và (
x 1
;
x 2
2
+
;
x 7
3
+
), ta có:
( ) ( )
( )
2
x 2 x 7
1 2 3 x 1 x 1 x 2 x 7
2 3
+ +

+ + + + + + + + =
( )
2
x 34+


3 x 7 +

x 2
(**).
Từ (*) và (**) suy ra x = 2.
Thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phơng trình (1).
*Cách 4: Giải theo phơng pháp đặc trng riêng của dạng phơng trình.
Theo Cách 1, ta có:
(1)

( ) ( ) ( ) ( )
x 34 x 7 x 1 x 2 20+ + + + =



2 2
x x 2 x 41x 238 20+ + + + =
.
Lại theo cách 3, ta cúng có x

2, suy ra:
2
x x 2 2+
và
2
x 41x 238 18+ +


2 2

tuyến 2 kèm cặp học sinh ở các trờng để cũng cố các kiến thức còn yếu cho học
sinh.
Ví dụ: Sau khi dạy bồi dỡng về chuyên đề "Phơng trình vô tỉ", ta có thể
giao phiếu bài tập về nhà đợc thiết kế nh sau:
Bài tập Buổi Phơng trình vô tỉ
Bài 1. Giải phơng trình:
253 =+ xx
(1)
HD: Nhận dạng phơng trình cơ bản.
Bài 2. Giải các phơng trình:
a)
3 2 4 4 4 1x x x x + =
(2)
b)
2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x + + + + =
(3)
Bài 3. Giải phơng trình:
( )
1
1 2
2
x y z x y z+ + = + +
(4)
Bài 4. Giải phơng trình:
( ) ( ) ( )
1 2 8 32x y z xyz+ + + =
(5), với x, y, z > 0.
HD: áp dụng bđt Cô-si cho hai số không âm.
Bài 5. Giải phơng trình sau:
2 2 2

= A
2


2AB + B
2
+ (A

B)
3
= A
3


3A
2
B + 3AB
2


B
3
+
[ ]





=

(3)
Với điều kiện
02

x
(4)
(3)

2x - 1 = (x-2)
2
(5)
056
4412
2
2
=+
+=
xx
xxx
Giải ra ta đợc x
1
=1 không thoả mãn (4)
x
2
= 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phơng trình: x = 5
Bài 5. Giải phơng trình:
23151 = xxx
(1)
Giải
Phơng trình (1) có nghĩa:

)3()72()21315(4
072
21315272
)15)(23(215231
22
2
xxx
x
xxx
xxxxx
Giải (3) ta đợc:
7
2
x
không thoả mãn (1).
Vậy phơng trình vô nghiệm.
Bài 6. Giải phơng trình
121 =+ xx
(1)
Giải
Điều kiện:
2

x
(2)
Viết PT (1) dới dạng

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 9
"Cỏc bin phỏp bi dng HSG lp 9 k nng gii cỏc dng phng trỡnh vụ t"


2)71(
2271)1(
=++
=++
xx
xx
Giải (1)
7;1
0)7)(1(
0)7)(1(
21
3
==
=+
=+
xx
xx
xx
Là nghiệm của phơng trình
Chú ý:
- Khi bình phơng hai vế của phơng trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dơng.
- Trớc khi lên luỹ thừa cần biến đổi phơng trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế
các trờng hợp hoặc có lời giải ngắn gọn.
Bài 8. Giải pt:
844
2
=++ xxx
(1)
Giải:
8)2(

2
++ xx
+
1
2
x
= 2x + 2
3/
2
2
7
x
x
+
2
7
x
x
= x (x = 2)
4/
1+x
-
2+x
=
5+x
-
10+x
(x=-1)
Bài 10. Giải các pt sử dụng phép lập phơng:
1/

3
13 +x
=
3
1x
(x=- 1);
4/
3
1 x+
+
3
1 x
=1 (x =
27
28
);
3.4.2. Phơng trình đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
a) Kiến thức vận dụng :
Ta có:
== )()(
2
xfxf

)(xf
nu
0)( xf

)(xf
nu
0)( <xf

( )( )
02322 xx
(4)
Giải (4) ta đợc:
116 x
Thoả mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình (1)là :
116

x
c) Chú ý :
+ Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết
đợc thành bình phơng của một biểu thức.
+ Có những phơng trình cần phải biến đổi mới có dạng trên.
d) Bài tập áp dụng:
Bài 12. Giải các phơng trình sau:
1/
21212
22
=++++ xxxx
( )
1x
2/
211
22
=+ xxxx
( )
2=x

3/

+






=+ xxx
> 0
Đặt:
222
95095 yxxyxx =+=+

Khi đó (1)

y
2
+ 4 = 4y

055
455
2
2
2
=+
=+
=
xx
xx
y

(2). Đặt:
0
4
1
=+ yx
4
1
2
= yx
Khi đó (1) trở thành
2)
2
1
(
4
1
22
=++ yy
0744
2
=+ yy







=


3
3
3
3
11
Lập phơng hai vế ta có :
3
63
1= yyy




=
=

3
62
1
0
yy
y
Nếu:
2020
3
==+= xxy
Nếu
11
66
3

+ xx
Khi đó: (1)
28)24(2152
2
+=+ xx
(2)
Đặt:
15224 +=+ xy
(3)
Điều kiện:
2
1
024

+ yy
Khi đó (2) trở thành (4x + 2)
2
= 2y + 15 (4)
Từ (3) ta có : (4y + 2)
2
= 2x + 15 (5)
Từ (4) và (5) có hệ:





+=+
+=+
)5(152)24(

, loại
+) Nếu 8x + 8y + 9 = 0
988 = xy
. Thay vào 9 (4) ta đợc:
64x
2
+ 72x - 35 = 0

9 221
x
16

=
( loại );
9 221
x
16
+
=
(nhận).
Vậy nghiệm của phơng trình là:
2
1
1
=x
;
16
2219
2
+

53 x
=(2x - 3)
3
- x + 2 (2)
Đặt :2y - 3 =
3
53 x
3
)32(53 = yx
(3)
Khi đó (2)
3
)32(52 =+ xxy
(4)
Từ (3),(4) có hệ :





=+
=
3
3
)32(52
)32(53
xxy
yx

Trừ vế với vế ta đợc :

=
2
35 +
; x
3
=
2
35
* Một số dạng khác:
Bài 18. Giải phơng trình:
312
3
=++ xx
(1)
Giải
Điều kiện: x
1
(2)
Đặt:
3
3
x 2 y x 2 y = =

3
101
22
2
=
=+=+
yz

2
2
11
2
=

+
x
x
(1)
Giải:
Điều kiện:



<<

22
0
x
x
Đặt:
202
222
=+>= yxyx
Ta có hệ: (1)





22
2
SP
SP
PS
PS

+Trờng hợp 1: Ta đợc x = y =1.
+Trờng hợp 2:








=
+
=
2
31
2
31
y
x
hoặc




1/
22
24692 xxxx ++=+
;
2/
41212 =++ xxxx
; (HD: đặt
5;01 == xyx
)
3/
14421 =+++ xxxx
; (HD: đặt
41; = xyx
)
Bài 21. Giải các phơng trình sau bằng cách đa về hệ phơng trình:
1/
46283
23
+=+ xxx
; (HD: đặt:
bxxax =+=+ 42,2
2
)
2/
)2(215
23
+=+ xx
(HD: đặt
2
x 1 a; x x 1 b+ = + =

=+ xx
(HD: đặt
10;2;1;2
3
= xax
)
5/
513413
2
+=+ xxx
(HD: đặt
)
8
3711
;
4
11
;1,1332
+
=+= xxy
6/
534
2
= xxx
(HD: đặt
)
2
295
;1,25
+

373 < xx
Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dơng do đó phơng trình (1) vô nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
*Nội dung phơng pháp:

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 15
"Cỏc bin phỏp bi dng HSG lp 9 k nng gii cỏc dng phng trỡnh vụ t"
Xét phơng trình F(x) = G(x) (1)
Nếu: F(x)

K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a, G(x)

K, dấu đẳng thức sảy ra khi
x = b (k, a, b là các hằng số).
Khi a = b

(1) có nghiệm là: x = a
Khi a

b

(1) vô nghiệm
*Bài tập rèn luyện:
Bài 23. Giải phơng trình:
222
2414105763 xxxxxx =+++++
(1)
Giải:
Vế trái:
5949)1(54)1(3

2
2
1
1
b
a
b
a
=
Vế trái:
426.1126
22
=++++ xxxx
Dấu = xảy ra khi x = 3.
Vậy phơng trình vô nghiệm.
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
*Nội dung phơng pháp:
Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh đợc các trờng hợp khác của ẩn không là
nghiệm của phơng trình .
*Bài tập rèn luyện:
Bài 25. Giải phơng trình:
312
3
=++ xx
(1)
Giải:
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình.
+ Với x > 3 thì
<+> 21,12
3

"Cỏc bin phỏp bi dng HSG lp 9 k nng gii cỏc dng phng trỡnh vụ t"
Giải:
Điều kiện: x >
4
1
(2). Sử dụng bất đẳng thức:
2+
a
b
b
a
Với a,b > 0 thì dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
Do đó:
2
14
14


+

x
x
x
x
Dấu = xảy ra
14 = xx
2
x 4x 1 0 + =
x 2 3 =
, thoả mãn (2)

4
3
16

+

+
zyx
= 82 -
66513 zyx
(x = 19; y =
5; z = 1890).
3.4.5. Những chú ý trong việc giải các dạng phơng trình vô tỉ thờng gặp
a) Khi giải phơng trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau
+ Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức.
+ Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức.
b) Để giải phơng trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững
+ Các phép biến đổi căn thức.
+ Các phép biến đổi biểu thức đại số.
+ Các kiến thức và phơng pháp giải các phơng trình và hệ phơng trình.
+ Các kiến thức về bất đẳng thức
4. Kết quả đạt đợc bớc đầu và bài học kinh nhiệm.
Sau khi áp dung các giải pháp chỉ đạo trên thực hiện công tác bồi dỡng học
sinh giỏi THCS Kiến Giang trong năm học 2010 - 2011 cho đội tuyển Toán lớp 9
thgi chọn học sinh giỏi tỉnh, thì đạt kết quả nh sau (xem Bảng 4, 5).
*Bảng 4:
Kết quả học tập chuyên đề " phơng trình vô tỉ"
Năm học
Tống số bài
tập ra bài ra

0.0 - 2.9 3.0- 4.9 5.0 - 6.4 6.5 - 7.9 8.0 - 10.0
SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% SL TL%
2010 - 2011
12
1 8.33 4 33.33 6 50.00 1 8.33 0 0.00

Qua bảng số liệu này ta có thể thấy rằng HS giải tốt phơng trình vô tỉ và các
kiến thức liên quan đến căn thức giúp các em có t duy giải toán, tỉ lệ học sinh
điểm dới 5 chỉ còn 5/12 em chiểm 41,67%, so với hai năm học trớc là 29/37 em
chiếm tỉ lệ 78,38% (xem Bảng 01).
Từ sự phân tích trên, cho chúng ta thấy các giải pháp trên là sát đúng với
thực tế công tác bồi dỡng học sinh giỏi bộ môn Toán tại THCS Kiến Giang nên đã
gặt hái bớc đầu những kết quả quan trọng, tạo sự động viên khích lệ bản thân yên
tâm công tác bồi dỡng học sinh giỏi bộ môn Toán. Để làm đợc vấn đề này thì
theo tôi chúng ta phải lu ý một số bài học kinh nghiệm trong việc dạy các dạng
phơng trình vô tỉ. Đó là:
Thứ nhất, phơng trình vô tỉ là một dạng toán không thể thiếu đợc trong ch-
ơng trình bồi dỡng học sinh giỏi bậc THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách
giáo khoa thì cha đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu,
tìm tòi sáng tạo thờng xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề
này thông qua các kênh thông tin.
Thứ hai, để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phơng pháp giải ph-
ơng trình vô tỉ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phơng trình vô
tỉ: các dạng phơng trình vô tỉ, phân biệt sự khác nhau giữa phơng trình vô tỉ với
các dạng phơng trình khác, đồng thời phải nắm vững các phơng pháp giải phơng
trình vô tỉ.
Thứ ba, qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến
thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 18

công tác quản lí, vừa bồi dỡng học sinh giỏi toán cũng cha đợc nhiều nên bản
sáng kiến này chắc chắn còn có nhiều chỗ còn hạn chế, nhng với tinh thần muốn
đóng góp cho phong trào bồi dỡng học sinh giỏi huyện nhà ngày càng có những
dấu hiệu khởi sắc, xứng tầm với thành tích của giáo dục Lệ Thuỷ. Cần đợc sự
đóng góp bổ sung của các đồng nghiệp. Tôi chân thành cám ơn chuyên viên
Phòng giáo dục, Hội đồng khoa học nhà trờng đã giúp tôi thành bản sáng kiến
kinh nghiệm này.
Kiến Giang, ngày 15 tháng 05 năm 2011
Ngời viết
Lê Dơng Quyền
nhận xét của hội đồng khoa học nhà trờng. Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 20
"Các biện pháp bồi dưỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phương trình vô tỉ"
nhËn xÐt cña héi ®ång khoa ngµnh gi¸o dôc