Chuyên đề : ph ơng trình vô tỉ
Dạng 1: Phơng trình dạng:
( ) ( )
axgxf
=+
(Với f(x) > g(x))
Ph ơng pháp giải : Xét 3 trờng hợp
Tr ờng hợp 1 : g(x) 0 khi đó f(x) > 0 và phơng trình trở thành: f(x) + g(x) = a
Giải ra tìm x và so sánh điều kiện.
Tr ờng hợp 2 : f(x) > 0 và g(x) < 0 và phơng trình trở thành: f(x) - g(x) = a
Giải ra tìm x và so sánh điều kiện.
Tr ờng hợp 3 : f(x) < 0 và phơng trình trở thành: - f(x) - g(x) = a
Giải ra tìm x và so sánh điều kiện. Sau đó kết luận.
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau:
a.
51212
=++
xxxx
b.
x 2 x 1 x 8 6 x 1 4+ + + =
c.
5168143
=+++
xxxx
Giải
a. Điều kiện x 1
Đa phơng trình về dạng:
( )
*2111121111
=++=++
xxxx

xx
nên phơng trình (*) xảy ra dấu = khi
2011

xx
.
Vậy ta đợc 1 x 2 là nghiệm của phơng trình.
b. Điều kiện x 1
Đa phơng trình về dạng:
( )
*4311143111
=++=++
xxxx
(Do
11
+
x
> 0)
Tr ờng hợp 1 :
10031

xx
. Khi đó phơng trình (*) trở thành:
10612
==
xx
(thỏa mãn)
Tr ờng hợp 2 :
101031
<<

261012
==
xx
(thỏa mãn)
Tr ờng hợp 2 :
105312
<<
xx
.
Khi đó phơng trình (*) trở thành:
5153121
==+
xx
(vô lý)
Tr ờng hợp 3 :
5121
<<
xx
.
Khi đó phơng trình (*) trở thành:
153121
==++
xxx
(thỏa mãn)
Kết hợp cả 3 trờng hợp ta đợc x = 1 và x = 26 là nghiệm của phơng trình.
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
1.
5168143
=++++
xxxx

2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + =
(Vậy nghiệm phơng trình x = -1)
3.
564524428183
222
+=+++
xxxxxx
(Vậy nghiệm phơng trình x = 3)
Dạng 3: Phơng pháp tổng bình phơng:
( )( ) ( )( ) ( )( )
0....
222
=+++
xhxgxf
Ph ơng pháp giải : Dấu = xảy ra khi f(x) = g(x) = h(x) = .. = 0.
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
1.
8362412
+++=++
zyxzyx
(x = 2; y = 6; z = 12)
2.
1
2 3 4 ( ).
2
x y z x y z + + + = + +
(x = 3; y = -2; z = 5)
3.
( )

( )
01321
2
2
=+++
xx
. Ta có nghiệm duy nhất x = -1)
Dạng 4: Phơng pháp đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
1.
( )( )
36363
=+++
xxxx
. Điều kiện: -3 x 6
Đặt
( ) ( )
06;03
==+
bbxaax
ta đợc hệ phơng trình



=+
=+
9
3
22
ba

Thay a = 4 giải ra ta có: x = 7 hoặc x = -5 thỏa mãn điều kiện (*).
3.
1111
423
+=++++
xxxxx
. Điều kiện x 1.
Đặt
( ) ( )
baxbbxxxaax .101;01
423
==+++=
.
Khi đó ta có phơng trình: a + b = 1 + ab

(a - 1)(1 - b) = 0

a = 1 và b = 1.
Giải ra ta có: x = 2 và x = 0(loại do x 1)
4.
428
22
=++
xx
. ĐK: x
2
2. Đặt ẩn đa về hệ




5;
ta có hệ





=
=+++
5
20
22
2
ba
ababa
Giải ta đợc: x = 9.
Dạng 5: Phơng pháp đa về dạng tích
Ví dụ: Giải phơng trình:
232323
22
++=+++
xxxxxx
.
Điều kiện: x 2. Khi đó ta có:
( )( ) ( )( )
331221
++=
xxxxxx
( ) ( ) ( )( )
03211113112