THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–

O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á

&M
M
Ặ
Ặ
T
TP
P
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
GT
T
R
R
O
O
N

…

Q
Q
U
U
A
A
N
NH
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
G


IC
C
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
GV
V
Ề
ỀĐ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G

H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
.
.1) CÁC KHÁI NIỆM:
 Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước trong chậu, … cho ta một phần của mặt phẳng trong không gian.
 Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng chữ cái để đặt tên mặt phẳng đó
chẳng hạn (P), (Q), (), (), …
 Điểm A thuộc mặt phẳng (P) hay mặt phẳng (P) chứa điểm A, ta ghi A(P) hoặc (P)A.
 Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) hay mặt phẳng (P) chứa d, ta ghi d(P) hoặc (P)d.
d
p
p
A

2) CÁC TÍNH CHẤT:
 Có một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt
 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.
 Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều
thuộc mặt phẳng đó.
 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì
chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm

7
d
d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ký hiệu d = (P)

(Q)
Q
p
A
F
G
I
E
H
B
D
C
A
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G



H
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
GS
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: Tìm hai điểm chung, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai
điểm chung ấy.

1
Vd
Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: (SAB) và (SBC);
(SAC) và (SBD)
Giải: Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) có S là điểm chung thứ nhất và
B là điểm chung thứ hai. Vậy (SAB)  (SBC) = SB.
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = BD  AC 


 


 
maø
BD SBD O SBD
O BD
O AC
AC SAC O SAC
  


 

  

 


  

 

 
 

 (SBD)  (SAC) = SO. Trong mp(SBD) gọi I = SO  BM

 


maø SO
I SAC
I SO
SAC
I BM
I BM




 
 





 I = BM  (SAC)

minh ba đường thẳng BD, FG, EH đồng quy ta chứng
minh B, D, I thẳng hàng.
Gọi I = FG  EH 


 


 
maø
FG BCD I BCD
I FG
I EH
EH ABD I ABD
  


 

  

 

 
 
, mặt khác


 
B BCD

N
N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–Q
Q
U
U

.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 3


.1) Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (

) chứa BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các
cạnh AB, AC.
a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).
b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).
 Hướng dẫn:
a)


 
E ABC
E AB
F AC
F ABC




 
 





EF  (ABC)

 Hướng dẫn: M = d  (

)
 
M d
M









,
Gọi



 d  M 



 M là điểm chung của (

) với








. Gọi I =
1
d

2
d
, ta
chứng minh I
3
d
.
Thật vậy: Ta có (

)  (
1
d
,
2
d
),



 (
2
d


mà



 (
2
d
,
3
d
)  I
3
d
.

4) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi
, , ,
A B C D
G G G G
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh , , ,
A B C D
AG BG CG DG
đồng quy.
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K


Q
Q
U
U
A
A
N
NH
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
GS
S
O

p
p
.
. Trang 4
 Hướng dẫn: Gọi L là trung
điểm CD,
B
G
AL,
A
G
BL.
Ta có
1
3
B A
LG LG
LA LB
 

A B
G G
// AB 
3
A B A B
AG BG AB
GG GG G G
  
. Gọi
K là trung điểm BC,

GG GG G G
  

1
G
 G
Tương tự , , ,
A B C D
AG BG CG DG
đồng quy tại G
5) Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (

) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm
nằm ngoài mặt phẳng (

) và M là trung điểm đoạn SC.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.
 Hướng dẫn:
Trong mp(ABCD), gọi E = AB  CD 


 
E MAB
E AB
E CD
E SCD







Mà BN  (SBD), AM  (SAC), SO = (SBD)  (SAC)  I  SO
6) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn
BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD)
 Hướng dẫn:
Trong mp(BCD), gọi E = NP  CD

 
1
E NP
E CD







mà
 
  
2
E NP
E MNP
NP MNP



G
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–Q
Q
U
U
A
A
N
N


ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 5
 Hướng dẫn:
IAD  I(KAD)  I(IBC)(KAD)
KBC K(IBC) K(IBC)(KAD) IK=(IBC)(KAD)
Trong mp(ABD) gọi J = DM  BI 



 





 JH = (IBC)  (DMN)

8) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P
không trùng với trung điểm của AD.
a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP với đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(PMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (PMN).
 Hướng dẫn:
a) Ta có E = MP  BD 


 
E PMN
E MP
E BD
E BCD





 



a) Tìm giao điểm M của đường thẳng CD và mặt phẳng (CAE)
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CAE)
 Hướng dẫn:
a) Trong mp(ABCD) gọi M = AE  CD 


'
M C AE
M AE
M CD
M CD





 








'
M CD C AE
  
b) Trong mp(SCD) gọi F = MC  SD 




 





 N = CD  (SBM); (SBN)  (SBM).
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N

O
O
N
N
G
GS
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n





 SO = (SAC)  (SBN)
c) Trong mp(SBN) gọi I = BM  SO, SO  (SAC)  I = BM 
(SAC)
d) Trong mp(SAC) gọi P = SC  AI  mà AI  (ABM)
 P = SC  (ABM); Trong mp(SCD) gọi K = PM  SD


 
K ABM
K PM
K SD
K SCD





 





 PK = (ABM)  (SCD)
e) Tứ giác ABPK là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(ABM).
11) Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu

trên một mặt phẳng cố định.
 Hướng dẫn: (P)  (a, b), OM = (M, a)  (M, b).
Vì M  c  OM  (O,c) cố định. 13) Cho hình bình hành ABCD nằm trên mặt phẳng (P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là
điểm nằm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (CMN);
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN);
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(CMN).
 Hướng dẫn:
a) Trong mp(ABCD) Gọi O = AC  BD 
O AC
O BD








 
O SAC

H
H
Ô
Ô
N
N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p

= CD  CD, F = AD  AD thì thiết diện là
ngũ giác ABCEF

15) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm nằm trong SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM)
 Hướng dẫn:
a) Trong mp(SCD) gọi N = SM  CD 


N SBM
N SM
N CD
N CD





 





,




 




 I
= BM  (SAC)
c) Trong mp(SAC) gọi P = AI  SC 


 
P ABM
P AI
P SC
P SCD





 





 PM = (ABM)  (SCD). Trong

P IQ
P CD








 
P EMQ
P BCD






với
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G

NH
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
GS
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:

Q BCD






 PQ = (EMQ)  (BCD).
c) Trong mặt phẳng (ACD) gọi F = PE  AD 


 
F EMQ
F PE
F AD
F ABD





 





với





I SAC
I SO
I MN
I MN




 
 





 I = MN  (SAC)
b) Ta có I  MN  I  (AMN) Trong mp(SAC), gọi K = AI 
SC


K AMN
K AI
K SC
K SC





c) Trong mp(SAD) gọi D = AG  SD  AD = (AGM)  (SAD)Trong mp(ABCD) gọi K = BI  AC
 SK = (SBI)  (SAC).
Trong mp(SBI) gọi J = IM  SK 


 
J AGM
J IM
J SK
J SAC





 





.
Trong mp(SAC) gọi C = AJ  SC 


 
'
'
'
'

G
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–Q
Q
U
U
A
A
N
N
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 9
§
§
2
2
.
.


GC
C
H
H
É
É
O
ON
N
H
H
A
A
U
U&
&S
S
O

  



 Hai đường thẳng c, d gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng và
không có điểm chung.

2) CÁC TÍNH CHẤT:
 Định lý 1: Qua một điểm A cho trước không nằm trên đường thẳng b cho trước có một và chỉ một
đường thẳng a song song đường thẳng b.
 Định lý 2: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy
hoặc đôi một song song.
           

; ;
a, b, c ñoàngquy
c b a
a b c
     

      


  Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng nếu có song song với hai đường thẳng đó.
 Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
3) CÁC DẠNG TOÁN:

Vd
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD)
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDC)
Giải:
a) Trong (ABCD) gọi E = AD  BC 


 
E SAD
E AD
E BC
E SBC





 






 SE = (SAD)  (SBC).
b)


 

G
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–Q
Q
U
U
A
A
N
N
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 10
B
B
À
À
I
I


và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây:
a) PR song song AC;
b) PR cắt AC.

 Hướng dẫn:
a) Nếu PR //AC và (PRQ)  (ACD) = Qx thì Qx // PR //AC ( hai mặt phẳng đi qua hai đường thẳng
song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó)
 S = Qx  AD
b) Trong mp(ABC) gọi I = PR  AC 


 
I PRQ
I PR
I AC
I ACD





 





.
Trong mp(ACD) gọi S = IQ  AD 


N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–Q
Q
U
U
A

.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11
a) Trong mp(ABN) gọi A = AG  BN 
 


 
'
'
A ABN
A BCD






, mà (ABN)  (BCD) = BN  M, A  BN 
B, M, A, N thẳng hàng. Xét ABN có MM // AA có M trung điểm AB, G trung điểm MN, theo tính
chất đường trung bình, ta có M trung điểm BA và A trung điểm NM  BM = MA = AN.
c) Ta có:
1 1
' '; ' '
2 2
GA MM MM AA
   AA = 4GA  GA = 3GA .
4) Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD điểm R nằm trên cạnh BC sao
cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD
 Hướng dẫn:
Trong mp(BCD) gọi I = RQ  BD.
Trong mp(ABD) gọi S = PI  AD  S = AD  (PQR).
Trong mp(BCD) gọi E trung điểm BR  BE = ER = RC
Xét CED có QR là đường trung bình  QR // ED
Xét BRI có ED // RI, E trung điểm BR  D trung điểm BI.
Xét ABI có AD, IP là hai trung tuyến cắt nhau tại S  S là

Q MNQ
Q ACD






 (MNQ)  (ACD) = Qx thì
Qx // MN // AC. Trong mp(ACD) gọi P = Qx  AD  P = AD 
(MNQ). Tứ giác MNQP là thiết diện của tứ diện ABCD với mp(MNQ).
MNQP là hình bình hành vì MN // PQ và MN = PQ =
1
2
AC.
b) Ta có N  BC  N  (PBC)  N  (PBC)  (AND) Ta có P  AD  P  (AND)  P  (AND) 
(PBC)  NP = (AND)  (PBC).
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
AD, BC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).
b) Xác định thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với
AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô

A
A
N
NH
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
GS
S
O
O
N
N
G
G

 
 
IJ AB
IJG IJ
SAB AB








Với G  (IJG)  (SAB)
 (IJG)  SAB) = Gx thì Gx // IJ // AB
Trong mp(SAB) gọi B = Gx  SB và A = Gx  SA 
AB = (SAB)  (IJG)
b) ABJI là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là
hình thang vì có AB // IJ.
Để ABJI là hình bình hành khi AB = IJ. SAB có G là trọng tâm nên
' ' ' 2
3
SB A B
SB AB
 
 AB= IJ =
2
3
AB =
1

c) Ta có:
 
 
MN AB
MNP MN
ABI AB








, Với I  (MNP)  (ABI), gọi d qua I và d // AB // MN thì d = (MNP)  (ABI)
8) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên
BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD
a) Chứng minh PQ // SA;
b) Gọi K= MN  PQ. Chứng minh K nằm trên một đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
 Hướng dẫn:
a)
DQ CM CN DP
DA CB CS DS
   , Theo Talét đảo  PQ // SA
b) (SAD)  (SBC) = Sx  Sx // BC // AD. Ta có K = MN 
PQ 


 


Ô
N
N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–Q
Q
U

G
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 13
&
&M
M
Ặ
Ặ
T
TP
P
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
GS
S
O
O

song với mp(P)
( )
/ / / /( )
( )
d P
d a d P
a P









d
a
(P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a song
song với mp(P) thì mọi mp(Q)
chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo
giao tuyến song song với a.
/ /( )
( ) / /
( ) ( )
a P
a Q d a
P Q d


a
d
Q
P

ĐL3: Hai đường thẳng chéo
nhau có duy nhất một mặt phẳng
chứa đường thẳng này song song
đường thẳng kia.
!( )
( ) / /
cheùo
P a
a b
P b
 





b
a
b'
P

3) CÁC DẠNG TOÁN:
a) Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng song song với một đường
thẳng nào đó có trong mặt phẳng.

K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–


O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á

.1) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trên một mặt phẳng.
a) Gọi O và O lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO
song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song
với mặt phẳng (CEF).
 Hướng dẫn:
a) Xét DBF có O trung điểm BD, O trung điểm BF 
OO // DF mà DF  (ADF)  OO // (ADF)
Xét ACE có O trung điểm AC, O trung điểm AE  OO
// CE mà CE  (BCE)  OO // (BCE)
b) CD // EF  xác định một mp(CDEF) và ED  (CDEF).
Gọi I trung điểm AB. Xét ABD có M là trọng tâm  DI
qua M. Xét ABE có N là trọng tâm  EI qua N. Ta có
1
3
IM IN
ID IE
 
 MN // DE mà DE(CEF) MN//(CEF).
2) Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Cho (

) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường
thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của (

) với các mặt của tứ diện.
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (






 


 MN // AB
Ta có


 
   
SC
SC SBC
NP SBC







 


 NP // SC
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K


Q
Q
U
U
A
A
N
NH
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
GS
S
O

p
p
.
. Trang 15
Ta có


 
   
AB
AB SAB
PQ SAB







 


 PQ // AB. Vậy MN // PQ. Tứ giác MNPQ là hình thang.
4) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC.
a) Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp(BCD).
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị
trí tương đối của d và mp(ABC)
 Hướng dẫn:
a) MN là đường trung bình ABC  MN // BC  MN // (BCD)
b) (DMN)  (DBC) = d  d // MN // BC  d // (ABC)


 
Q MNPR
Q IR
Q SC
Q SBC





 





 IQ = (MNPR)  (SBC)
 MNPQR là thiết diện của S.ABCD với mặt phẳng qua trung
điểm M của AB và song song với BD và SA.
6) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AD // BC). Gọi E, F lần lượt là trọng tâm SAB và SDC.
Chứng minh EF song song cả ba mặt phẳng (ABCD), (SBC), (SAD).
 Hướng dẫn:
Gọi M, N lần lượt trung điểm AB và CD, ta có E, F lần lượt là trọng
tâm SAB và SCD 
2
3
SE SF
SM SN
 

G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–Q
Q
U
U
A
A

Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 16
8) Cho tứ diện ABCD. Một mp(

) di động luôn song song AB và CD lần lượt cắt các cạnh AC, AD, BD,

 
ACD MN
BCD PQ
CD



 

 




 MN // PQ // CD
 MNPQ là hình bình hành.
b) I là tâm hình bình hành MNPQ  I  KJ với K, J lần lượt là
trung điểm AB, CD. Thật vậy: , vì MQ // NP // AB  L, G
chạy trên CK và DK. Vì LG // MN // PQ // CD, I là tâm hình bình hành MNPQ nên I là trung điểm của
LG chạy trên KJ.
Đảo lại: I  KJ với K, J lần lượt là trung điểm AB, CD gọi L, G lần lượt là trung điểm MQ và NP  I
trung điểm LG  I là tâm hình bình hành MNPQ.
9) Cho hình chóp S.ABCD, gọi M, N lần lượt nằm trên đoạn AB, CD và



qua MN song song SA.
a) Tìm giao tuyến của



I






 





.
Trong mp(SAC) trên SC lấy Q sao cho IQ // SA  IQ =



 (SAC)
b) Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng



là tứ giác MNQP.
c) MN // BC  giao tuyến PQ =



 (SBC), PQ // MN  MNQP là
hình thang.

–Q
Q
U
U
A
A
N
NH
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
GS

á
á
p
p
.
. Trang 17
§
§
4
4
.
.H
H
A
A
I
IM
M
Ặ
Ặ
T
T
.
.1) ĐỊNH NGHĨA:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không
có điểm nào chung.
( )/ /( ) ( ) ( )P Q P Q
   

Q
P

2) CÁC ĐỊNH LÝ:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) và (Q) song song
với nhau.
, ( )
( )/ /( )
/ /( ), / /( )
a b P
a b I P Q
a Q b Q



  

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) song song thì mọi mặt
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải
cắt (Q) và các giao tuyến của
chúng song song.
( ) / /( )
( ) ( ) / /
( ) ( )
P Q
R P a a b
R Q b


  


 


b
a
R
Q
P

3) ĐỊNH LÝ TALÉT TRONG KHÔNG GIAN:
Cho () // () // (). Đường thẳng a cắt mặt phẳng () tại A, cắt ()
tại B, cắt () tại C. Đường thẳng b cắt mặt phẳng () tại D, cắt ()
tại E, cắt () tại F thì
AB BC CA

B
C
A
E
D
D'
E'
A'
C'
B'
F
G
I
H
H'
I'
G'
F'
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G



H
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
GS
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L

D
D'
E'
A'
C'
B'
F
G
I
H
H'
I'
G'
F'
J'
K'
M'
L'
L
M
K
J

5) HÌNH CHÓP CỤT:

 Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và
các tỷ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
 Các mặt bên là những hình thang.
 Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
6) CÁC DẠNG TOÁN:

a) () qua I và song song (SBD)  các giao tuyến của:
(ABCD) với hai mặt phẳng trên là BD // EF; (SBC) với hai mặt
phẳng trên là SB // KE; (SCD) với hai mặt phẳng trên là SD // KE,
với E  BC, F  CD và K  SC  KEF là thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng (). Hơn nữa SBD đều  KEF đều.
b) Ta có AI = x
2
a
x a
 
 
 
 
 CI = AC – AI = a – x . Ta có:


2 a x
IK CI
k
OS CO a

  
là tỷ số đồng dạng của hai tam giác mà
2
3
4
SBD
b
S  với
2

THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–

S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h

và BC // AD, AD(a, AD)  BC // (a, AD)  (b, BC) // (a, AD)
mà (ABC)  (b, BC) = BC và (ABC)  (a, AD) = Ax  BC//
Ax  D = Ax  d
b) Ta có BC// AD. Tương tự AB // CD  ABCD là hình bình
hành. 2) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi M, M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BC.
a) Chứng minh AM song song AM
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (ABC);
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (ABC) và (BAC);
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AMM). Chứng minh G là trọng tâm ABC.
 Hướng dẫn:
a) M, M lần lượt là trung điểm BC, BC  MM // BB // AA và
MM = BB = AA
 AAMM là hình bình hành  AM // AM.
b) Trong mp(AAMM) gọi I = AM  AM 
 


,
I AB C
I AM
AM AB C
I A M
I A M
 





 





 CO = (ABC)  (BAC)
d) Trong mp(ABC) gọi G = AM  CO 
'
'
G AM
G C O








'
G AMM
G d









 
 
' '
' ' '
' ' '
A D B C
A D CB D
B C CB D








 mà BD và AD nằm trong
mp(BDA) nên (BDA) // (CBD)
b) Ta có CC// BB//AA và CC= BB= AA nên AACC là hình bình
hành, gọi I là tâm. Gọi O, O lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và
ABCD.
Trong mp(AACC) gọi
1
G
= AC AO,
2
G
= AC CO 

1
1
1–
–Q
Q
U
U
A
A
N
NH
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 20
lần lượt là trọng tâm tam giác AAC và CCA  A
1
G
= 2
1
G
O và C
2
G
= 2
2
G
O(*)
Xét hai tam giác BDA và BDC có AO và CO là hai trung tuyến nên từ (*) 
1
G
,
2

=
1
G
2
G
=
2
G
C. Thiết diện của mp(AIO) với hình hộp ABCD.ABCD là hình bình hành AACC.
4) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi
1
A
là trung điểm của cạnh SA và
2
A
là trung điểm của đoạn
1
AA
. Gọi ()
và () là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua
1
A
và
2
A
. Mặt phẳng ()
cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại
1
B
,

=
2
B
B,
1
C
2
C
=
2
C
C,
1
D
2
D
=
2
D
D.
c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáylà tứ giác ABCD.
 Hướng dẫn:
a) () // (ABCD) nên giao tuyến của chúng với mp(SAB) là
1
A
1
B
// AB, mà
1
A

B
2
B
=
2
B
B,
1
C
2
C
=
2
C
C,
1
D
2
D
=
2
D
D.
c) Các hình chóp cụt là
2
A
2
B
2
C

mà IH  (AHC)  CB // (AHC)
b) I = AC  AC 


 
'
'
'
' '
I A BC
I A C
I AC
I AB C





 






Gọi J = AB  AB 


 
'

G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–Q
Q
U
U
A
A

Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 21
c) HJ cắt AB tại N, AA // HN, mà HN  (H, d)  AA // (H, d).
(AACC)  (H, d) = a thì a // AA// HN và a qua I, a cắt AC tại M, cắt AC tại K thì thiết diện của hình
lăng trụ ABC.ABC khi cắt bởi mp(H, d) là hình bình hành HNMK.

  FG // AB.
c) DF // AA  DF // (ABBA); FG // AB  FG // (ABBA) 
(DFGE) // (ABBA) mà DE  (DFGE)  DE // (ABBA).
9) Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB  CD = E, AD  BC = F, AC  BD = G. Gọi () là mặt
phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A, B, C.
a) Tìm giao điểm D của SD với ().
b) Tìm điều kiện của () để AB // CD.
c) Với điều kiện nào của () thì ABCD là hình bình hành ?
 Hướng dẫn:
a) Trong mp(SAC) gọi I = AC  SG 


' '
I
I A C
I SG
I SG






 





.

K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N1
1
1
1–
–

O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n
n
h
hP
P
h
h
á

Ế
U
US
S
O
O
N
N
G
GS
S
O
O
N
N
G
G
.
.1) PHÉP CHIẾU SONG SONG:
 Cho mặt phẳng () và đường thẳng . Với mỗi điểm A trong không gian, đường thẳng qua A và song
song  cắt () tại A. Điểm A được gọi là hình chiếu song song của điểm A trên ().

Ơ
N
N
G
G&
&K
K
I
I
Ể
Ể
M
MT
T
R
R
A
A
.
.


c) AC, BF cắt nhau, tức hai hình thang ABCD và ABEF đồng phẳng
mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là ABCD và ABEF không đồng phẳng.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các
đoạn thẳng SA, BC, CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). Gọi O là giao
điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, hãy tìm giao điểm của đường thẳng SO với (MNP).
 Hướng dẫn:

Theo tính chất đường trung bình, ta có: NP // BD, gọi E = NP  AB, F = EM  SB, K = NP  AD,
L = KM  SD  Ngũ giác MFNPL là thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MNP).
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
GG
G
I
I
A
A
N
N

O
O
N
N
G
GS
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
êH
H
à
à
n





. Trong mp(SAC) gọi Q = MI  SO 
 
Q SO
Q SO
Q MNP
Q MI






 




 Q = SO  (MNP)
3) Cho hình chóp đỉnh S đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm
của các cạnh SB, SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC);
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN);
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (AMN).
 Hướng dẫn:
a) Gọi E = ADBC 



 




 Q = SD  (AMN)
c) Tam giác APM là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(AMN). 4) Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng
phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Một mp() lần lượt cắt Ax, By, Cz, Dt tại A, B, C, D.
a) Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song mp(Cz, Dt)
b) Gọi I = AC  BD, J = AC  BD. Chứng minh IJ // AA.
c) Cho AA = a, BB = b, CC = c. Hãy tính DD.
 Hướng dẫn:
a) Ax // Dt mà Dt  (Cz, Dt)  Ax // (Cz, Dt)
AB // DC mà DC  (Cz, Dt)  AB // (Cz, Dt)
 (Ax, By) // (Cz, Dt)
b) IJ là đường trung bình của hình thang AACC nên IJ // AA.
c) Theo tính chất đường trung bình của hình thang:
DD = a + c – b.
5) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần
lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM; NF = 2BN. Qua M, N kẻ các đường thẳng song
song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại
1

AM AM AM AM
AO AM MC AM AM
AC
   
 

 M là trọng tâm tam giác ABD,
DM cắt AB tại I 
1
2
IM
MD

. Tương tự N là trọng tâm
tam giác ABE 
1
2
IN
NE


IM
MD
=
IN
NE
 MN // DE
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K

Q
Q
U
U
A
A
N
NH
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
GS
S
O
O

p
.
. Trang 24
b) Ta có
AM
AC
=
1
3
mà M
1
M
// CD 
1
AM
AD
=
1
3
. Tương tự: N
1
N
// AB và
1
AN
AF
=
1
3


1 1 1 1
, , ,
A B C G
. Chứng minh rằng:
a) GG song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ;
b)
1
G
là trọng tâm của tam giác
1 1 1
A B C
;
c)
1
G
G=
1
3
(
1
A
A +
1
B
B +
1
C
C);
1
G

1
B
1
C
 NN đi qua
1
N
. Trong mặt phẳng
AANN có
1
G

1
A
1
N
và AA// GG// NN. Theo định lý Talét, ta
có
1 1
1 1
AG
AG
AN A N
 =
2
3

1
G
là trọng tâm tam giác

(
1
G
G +
1
A
A)]
=
1
4
(
1
B
B +
1
C
C +
1
A
A) +
1
4
1
G
G
1
G
G =
1
3

A
1
G
và AG)
7) Cho hình hộp ABCD.ABCD. Vẽ thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi qua hai trung điểm M,
N của các cạnh AB, AD và tâm O của mặt CDDC.
 Hướng dẫn:
MN cắt CB, CD lần lượt tại I, J. Trong mặt phẳng CDDC,
JO cắt DD, CC lần lượt tại P, Q. Trong mặt phẳng (BBCC)
IQ cắt BB tại K.
Ta có: (MNO)  (AADD) = NP, (MNO)  (DDCC) =
PQ, (MNO)  (CCBB) = QK,
(MNO)  (AABB) = KM.
Vậy thiết diện của hình hộp ABCD.ABCD tạo bởi mặt
phẳng (MNO) là ngũ giác MNPQK.

8) Cho hình hộp ABCD.ABCD. Trên ba cạnh AB, DD, CB lần lượt lấy ba điểm M, N, P không trùng
với các đỉnh sao cho
' '
' ' '
AM D N B P
AB D D B C
 
.
a) Chứng minh rằng mp(MNP) // (ABD)
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
 Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K

Q
Q
U
U
A
A
N
NH
H
Ệ
ỆS
S
O
O
N
N
G
GS
S
O
O

p
.
. Trang 25
a) Trong hình bình hành ABBA kẻ ME // AB 
' ' '
' ' ' '
AM B E B P B E
AB B B B C B B
  
 EP // BC// AD
 (MEP) // (ABD) (1). Ta có
' '
' '
D N B E
D D B B

mà DD = BB 
DN = BE  DNEB là hình bình hành  NE // BD mà BD
(ABD)  (MEN) // (ABD) (2). Từ (1) và (2)  (MNP) //
(ABD).
b) Trong hình bình hành ABCD kẻ PF // BD. Trong hình bình hành AADD kẻ NK // DA  lục
giác MEPFNK là thiết diện của hình hộp ABCD.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
9) Cho hai tia Ax bà By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N
chạy trên By sao cho AM = kBN (k > 0)
a) Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định.
b) Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn MN sao cho IM = kIN.
 Hướng dẫn:
a) Kẻ tia Bz song song cùng hướng Ax. Trên tia Ax, By, Bz lần lượt lấy các điểm cố định D, C, E sao
cho
AD

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm quỹ tích điểm O khi M chạy trên
đoạn AC.
 Hướng dẫn:
a) ()  BC = N, ()  AD = Q, ()  BD = P
 (MNPQ)  () mà ()//AB và ()//CD  MN//AB//PQ và
MQ//CD//NP  MNPQ là hình bình hành.
b) O = MP  NQ. Gọi I trung điểm CD, AI  MQ = E, BI 
NP = F  E, F thứ tự là trung điểm MQ, NP 
EF//MN//QP//AB. Vì O là trung điểm EF  IO cắt AB tại
trung điểm J của AB  IJ cố định.
M chạy trên AC thì O chạy trên IJ. Vậy quỹ tích của điểm O
là đoạn IJ.

E
F
I
O
A
C
D
B
M
N
P
Q
J