QUAN HỆ SONG SONG
1. (ĐH-A11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với
BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
2. (DB1-D08) Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho
4,BC BM=

3,AC AP=

2.
BD BN=
Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số
AQ
AD
và tỉ số thế tích hai phần của khối tứ diện
ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
3. (DB2-D06) Cho hình lập phương
.'' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
và điểm K thuộc cạnh
'CC
sao cho
2
3
CK a=
Mặt phẳng
()α

′
là hình vuông.
5. (DB1-B06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

60 ,BAD =

SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), SA = a. Gọi
C
′
là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua
AC
′
và song song với BD, cắt các cạnh SB,
SD của hình chóp lần lượt tại
,.BD
′′
Tính thể tích khối chóp
S AB C D
′′′QUAN HỆ VUÔNG GÓC
6. (ĐH-D10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc
của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =
.
4
AC
Gọi CM là đường cao của tam giác SAC.
Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

(SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
11. (ĐH-B06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2,a
SA = a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng
minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
12. (ĐH-B07) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua
trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính
(theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
13. (DB1-B07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chop. Cho AB
= a, SA =
2.a
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng
(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
14. (DB1-A06) Cho hình hộp đứng
.
′′′′
ABCD A B C D
có các cạnh AB = AD = a,
AA
′
=
3
2
a
và góc

60 .BAD =



và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
19. (DB2-D10) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

0
60 .BAD =
Mặt phẳng (SAC) vuông góc
với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, biết

0
90ASC =
và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SBD) bằng a.
20. (DB1-D07)
Cho lăng trụ đứng
111
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông
,AB AC a= =
1
2.AA a=
Gọi
,MN

lần lượt là trung điểm của đoạn
1
AA


60 ,ABC =

đường thẳng
∆
vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại A và S là một điểm thay đổi trên
.∆
Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh rằng trực tâm
của tam giác SBC luôn nằm trên một đường tròn cố định.
23. (DB2-B08) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD
vuông góc với nhau. Tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.
BÀI TOÁN GÓC. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH.
24. (ĐH-D11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC)
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =
3a
và

30 .SBC
=

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
25. (ĐH-D09) Cho hình chóp
.ABC A B C
′′′

có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA
′

tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trục của BC các góc bằng 30
0
và 45
0
, khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
28. (ĐH-A10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và AD, H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
3.a

Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
29. (ĐH-B11) Cho lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
3.a
Hình chiếu
vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng
(ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60

và thể tích của hình chóp
A BB C C
′ ′′

33. (DB2-A06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc
với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
.
3
a
Mặt phẳng
(BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.BCNMI.
34. (DB2-A07) Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. ABC và SBC là các
tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC).
35. (DB1-A07) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
=
25a
và


1
K với mặt phẳng (C
1
AB
1
) bằng 30
0
và A
1
B
1
= a, A
1
C
1
=
5.a

Tính thể tích lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
theo a.
37. (DB2-B07) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao
cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
bằng 60
0
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh

.ABC A B C
′′′
có
BB
′
= a, góc giữa đường thẳng
BB
′

và mặt phẳng
(ABC) bằng 60
0
, tam giác ABC vuông tại C và

60 .BAC =

Hình chiếu vuông góc của điểm
B
′
lên mặt phẳng
(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện
A ABC
′
theo a.
41. (ĐH-B10) Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
′′′

có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng
()A BC

SA vuông góc với đáy và SA =
2.a
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD
vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
46. (ĐH-D08) Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′

có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA
′
=
2.a
). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′

và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AM và
BC
′
.