WWW.VNMATH.COM
Chương 10
Mở đầu về hình học không gian. Quan hệ song
song
Sau khi học xong mục này, học sinh cần biết :
1. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một trong các điều kiện sau đây :
(a) Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
(b) Mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.
(c) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
(d) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song.
(e) Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng chéo với đường thẳng ấy.
(f) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng không chứa đường thẳng ấy.
(g) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau.
2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song :
(a) Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.
(b) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và lần lưựơt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với
ít nhất một trong hai đường thẳng ấy.
(c) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
(d) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì giao tuyến song song với a.
(e) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường
thẳng đó.
(f) Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.
(g) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b không song song với l thì hai hình chiếu a
′
, b
′
của a và b theo
phương l lên mặt phẳng (P) song song hoặc trùng nhau.
(h) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì hình chiếu a
′
của a trên (P) song song với a.

Vấn đề 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

1. Phương pháp chung là cần tìm đường thẳng ∆ ⊂ (P) và ∆ cắt a, giao điểm đó chính là giao điểm của a và (P).
2. Cách tìm đường thẳng ∆: Chọn mặt phẳng (Q) sao cho a ⊂ (Q), (Q) ∩ (P) = ∆ ⇒ ∆ ∩ a = a ∩ (P). Thường ta chọn mặt phẳng
(Q) sao cho dễ xác định giao tuyến với mặt phẳng (P).
Bài 10.2 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC ta lần lượt lấy các điểm
A
′
, B
′
,C
′
không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Gọi M là một điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và nằm trong tam giác ABC. Tìm
điểm chung (giao điểm) của :
1. Đường thẳng B
′
C
′
với mặt phẳng (OAM). 2. Đường thẳng OM với mặt phẳng (A
′
B
′
C
′
).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 192
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 3 : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy

Muốn tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) ta tìm các đoạn giao tuyến của (α) giao với các mặt (bên và đáy) của hình
chóp.
Chú ý : Mặt phẳng (α) cắt mỗi mặt bên tại không quá hai điểm trong của các cạnh của mặt bên đó.
Bài 10.5 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD. Điểm C
′
nằm trên cạnh SC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABC
′
).
Bài 10.6 : Cho bốn điểm A, B,C,D không đồng phẳng.
1. Điểm D thuộc những mặt phẳng nào ?
2. Chứng minh AC và BD chéo nhau.
3. Gọi Bx là đường thẳng đi qua B và song song với AD và M ∈ AD. Gọi J là trung điểm đoạn BM. Nếu điểm M di động trên
đường thẳng AD, điểm B di động trên đường thẳng Bx, chứng minh rằng khi đó đường thẳng CJ luôn luôn nằm trong mặt phẳng
cố định.
Bài 10.7 : Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Trên a ta lấy hai điểm phân biệt A, B và trên b lấy hai điểm phân biệt C, D.
1. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.
2. Gọi M là một điểm trên đoạn AC, N là điểm trên đoạn BD. Khi đó đường thẳng MN có thể song song với AB hoặc CD được
không ?
3. Gọi O là điểm trên đoạn MN. Chứng minh rằng AO cắt CN và BO cắt DM.
Bài 10.8 : Cho mặt phẳng (α) xác định bởi đường thẳng a và điểm A không thuộc a. Gọi a
′
là đường thẳng đi qua A và song song với
a. Lấy một điểm M trên a và một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (α).
1. Chứng minh rằng điểm M thuộc mặt phẳng (α).
2. Tìm điểm chung của các cặp mặt phẳng (ABM) và (α), (ABM) và (a
′
, B), (ABM) và (a, B).
3. Tìm điểm chung của ba mặt phẳng (α), (a
′
, B), (ABM).

Bài 10.17 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm lần lượt lấy trên AC, AD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của:
1. MN và mặt phẳng (ABG). 2. AG và mặt phẳng (BMN).
Bài 10.18 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi I, K là hai điểm cố định trên S A và SC với S I = 2IA và S K =
1
3
KC. Một mặt phẳng (α)
quay quanh IK cắt S B tại M và S D tại N. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
1. Chứng minh rằng ba đường thẳng IK, MN, S O đồng quy.
2. Gọi {E} = AD ∩ BC và {F} = IN ∩ MK. Chứng minh rằng ba điểm S , E, F thẳng hàng.
3. Gọi {P} = IN ∩ AD và {Q} = MK ∩ BC. Chứng minh rằng khi (α) thay đổi đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố đinh.
Bài 10.19 : Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh S B.
1. Tìm giao điểm E, F của IK và DK với mặt phẳng (S AC).
2. Gọi {O} = AD ∩ BC, {M} = SC ∩ OK. Chứng minh rằng bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.
Bài 10.20 : Cho tứ diện ABCD. Trên đoạn CA, CB, BD cho lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB , NP
không song song với CD. Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm M, N, P nói trên. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và tứ diện
ABCD.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 194
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 10.21 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD,CD, S O. Tìm thiết
diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 10.22 : Cho hình chóp S .ABCD. Trong tam giác S BC lấy một điểm M và trong tam giác SCD lấy một điểm N.
1. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC).
2. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN).
3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Bài 10.23 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD). Chứng minh rằng IA = 2IM.
2. Tìm giao điểm F của đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM). Chứng minh rằng F là trung điểm của cạnh S D và tứ giác ABMF
là một hình thang.

′
.
Bài 10.28 : Cho h
ình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 195
www.VNMATH.com www.VNMATH.com