Chuyờn M_LOGARITH

Luy
n thi i hc 2012

Giỏo viờn:
Lấ B B
O

T
Toỏn THPT Phong in

Trang1
Dng

toỏn:
CH
NG MINH BT NG THC M_ LOGARITHBi tp 1: Chng minh rng:(
)
2
1) 1 0
2
x
x
e x x

x x
f x e x f x e f x x= - - = - ị = =
.
Lp bng bin thiờn suy ra:
(
)
/ / / / / /
( ) (0) 0 ( ) (0) 0 0f x f f x f x = ị = "

(
)
( ) (0) 0 0f x f xị = "
(.p.c.m)

2) TX:
D R=
.
Ta cú:
(
)
(
)
(
)
/ / 2 2
2 2
1
( ) 5 ln 5 1 5 1 5 1 ln 5
1 1
x x x

+ +
ợ

Vy hm s
( )y f x=
ng bin trờn R (.p.c.m)

Bi tp
2:
Chng minh cỏc bt ng thc sau:

(
)
(
)
(
)
(
)
log log log
3
1) ln ln 2 ln , 1 2) 3 , 1
2
2 1 1
3) ln , 0 4) 2 2 0
2 2 2
b c a
c a b
b a
a b

ỗ ữ
ố ứ

D
u = xóy ra
a b
=
.
2) Ta cú:
log log log log log log log log
2 . 2
b b b a b a b a
c a c b a b a b
a c a c c c c c c= ị + = +

Tng t
:
log log
2
b a
c c
a b a+
,
log log
2
c a
a b
b c b+

Cng ba BT trờn li vi nhau ta cú:

O

T
Toỏn THPT Phong in

Trang2
Do ú:
(
)
(
)
2 1
2 1
2
2 2 1 1
x t
y t
x y x x t t
-
-
= =
+ + - +

Bi toỏn tr
thnh chng minh:
(
)
1
ln 2 1
1

)
2
/
2 2
1
1 4
( ) 0 1 ( ) (1) 0 1
1 1
t
f t t f t f t
t
t t t
-
= - = " ị = "
+ +

hay
(
)
1
ln 2 1
1
t
t t
t
-
> " >
+
(.p.c.m)


ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
+ +
Ê

Xột hm s
(
)
(
)
ln 4 1
( ) 0
t
f t t
t
+
= >
.
Ta cú:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/

a b f a f b
a b
+ +
> Ê Ê
(.p.c.m)

Bi t
p
3
:
Ch
ng minh cỏc bt ng thc sau:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

> " > ạ + < + " > >
ỗ ữ ỗ ữ
+
ố ứ ố ứ
+
ổ ử
" >
ỗ ữ
ố ứ

Bi
gii:

1)
Xột hm s
(
)
(
)
2
1
( ) ln 1 1 ln 0
f x x x x
x
= + + - - " >

Ta cú:
(
)
2

Mt khỏc:
2
1 1 1
lim ln 0 ( ) 0 0.
x
x
f x x
x x
đ+Ơ
ổ ử
+ +
- = ị < " >
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ

2)
Xột hai hm s
(
)
( ) ln 1f x x x= + -
v
(
)
( ) ln 1
1
x
g x x
x
= + -

+ - + -
ổ ử ổ ử
ị = + ị = +
ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
+ + + +
ố ứ ố ứ
ở ỷ


t
(
)
(
)
(
)
2
/
2
( ) ln ( ) 0
b a
x a b a
g x g x
x b x a
x a x b
-
+ -
ổ ử
= + ị = - <

)
( ) (0) 0
b
a
f x f x
b
ổ ử
ị > = " >
ỗ ữ
ố ứ
(.p.c.m)

4)
Ta cú:
(
)
(
)
3 3
2 3 2 3 2 1 2 1
2 2
y x
x y
y x
x x y y xy xy
ộ ự ộ ự
ổ ử ổ ử
+ < + + < +
ờ ỳ ờ ỳ
ỗ ữ ỗ ữ

a =
.

t
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
2
ln 1 1 ln 1
1
( ) ln 1 ( ) 0 0
t t t t
t
a a a a
f t a f t t
t t
+ - + +
= + ị = < " >

V
y
( )f t

ổ ử
- + > - + + + + >
ỗ ữ
ố ứ

Kho sỏt hm s
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ln 1 ln 1 1 ln 2 1f x x x x x x x= - + + + + "
ta cú iu phi chng
minh.
Bi tp
4:
Chng minh vi
, , 0a b c >
ta cú:
(
)
( )
1
3
. .
a b c
a b c


Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO

T
ổ Toán THPT Phong Điền

Trang4
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
lg lg 0 lg lg lg lg (1)
lg lg 0 lg lg lg lg (2)
lg lg 0 lg lg lg lg (3)
lg lg lg lg lg lg (4)
a b a b a a b b a b b a
b c b c b b c c b c c b
c a c a c c a a c a a c
a a b b c c a a b b c c

b a³ >

thì v
ới mọi
0
c ³
ta có
(
)
log log
a a c
b b c
+
³ +
và d
ấu đẳng
thức xãy ra khi
0
c =
ho
ặc
.
a b=

c) Không dùng bảng số và máy tính, chứng tỏ rằng
3 2
3
log 29 2 log 7.
2
< +

a c a+ ³
. Dấu “=” xãy ra
0.
cÛ =

Do đó:
(
)
1 1
log log
b b
a c a
£
+
hay
log log
a a c
b b
+
³
(đ.p.c.m)

b) Ta có:
(
)
(
)
log log log 1 log 1 log log
a a c a a c a a c
b b c

+ +
³ ³
+ +

Rõ ràng d
ấu đẳng thức xãy ra khi chỉ khi
0c =
hoặc
.a b=

c) Ta có
3 2 3 2 3 2 9 8
3 3 1 1
log 29 2 log 7 log 29 log 28 log 29 log 28 log 29 log 28
2 2 2 3
< + Û < Û < Û <

Áp dụng BĐT ở câu b) với
8, 28, 1a b c= = =
ta suy ra đ.
p.c.m.
d) Ta có:(
)
(
)
(
)

x x x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x
x x
- + - +
- +
- + + +
- + = - +
é ù
Û - + = - + + +
ë û
é
- + = - +
Û
ê
+ =
ê
ë
Û + = Û =
www.VNMATH.com
Chuyờn M_LOGARITH

Luy

a b b c c a
a b c
+ + +
+ + <

Bi gii:

Ta cú,
theo bi t
p 5
, ta cú:(
)
(
)
(
)
log log log log (1)
a a c a b a b c
a b a b c a a c
+ + + +
+ > + + ị < +

Tng t
, ta cú:

(
)

ne
- <

Bi gi
i:

BT cn chng minh
(
)
2
1
2 1
n
n x x
e
- <
. Ta cú:
Theo BT Cauchy:

(
)
(
)
(
)
2 1
2 1
2
2
2 2 2

2 1
hay 2 1 ln2 ln 2 1 1
2 1
n
n
n n n
n e
+
ổ ử
ộ ự
< + - + < -
ỗ ữ
ở ỷ
+
ố ứ

hay
(
)
1
ln 2 1 ln 2
2 1
n n
n
+ - >
+
.
Xột hm s
(
)

=
+ -

m
2 1c n< +
nờn
1 1
2 1c n
>
+
suy ra .p.c.m

Bi tp
8:
Chng minh vi
0, 1x a> >
ta cú:
(
)
(
)
2
ln ln
1 ln
2! !
n
x
x a x a
a x a
n

LÊ BÁ B
ẢO

T
ổ Toán THPT Phong Điền

Trang6
Ch
ứng minh bằng quy nạp
(
)
2
( ) 1 0 (*)
2! !
n
t
n
t t
f t e t t
n
= - - - - - " >

V
ới
(
)
/
1 1
1: ( ) 1 ( ) 1 0 0
t t

ức là
(
)
1
( ) 0 0
k
f t t
+
> " >
.
Thật vậy, ta có:
(
)
2 1
1
( ) 1
2! ! 1 !
k k
t
k
t t t
f t e t
k k
+
+
= - - - - - -
+

(
)

+¥ Þ > =
(đ.p.c.m)

Bài
tập
9:
Chứng minh rằng với
0 a b< <
ta có:
ln
b a b b a
b a a
- -
< <

Bài giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với
1 ln ln 1b a
b b a a
-
< <
-
(*)

Xét hàm s
ố
[
]
( ) ln , ;f x x x a b= Î

Mà
0 a c b< < <
nên
1 1 1
b c a
< <
.

Từ đây, BĐT (*) được chứng minh.
www.VNMATH.com