Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa Bài giảng số 1: Những kiến thức cơ bản về hàm số mũ – lôgarit

A. HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:

◙ Hàm số lũy thừa:
Tính chất của lũy thừa:
▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa
a

:
+
:




a

xác định  a 

.
+
:

.



.
n
m m n
a a
 ; 


. .
m
m m
a b a b


m
m
m
a a
b
b
 








(k 

)
▪ Đạo hàm


/
1
. ( 0, )
x x x
 
 

  

;


/
1 /
. . ( 0, )
u u u u
 
 

  

u
u n n u
n u

   

Hàm số mũ:
▪ Hàm số mũ y = a
x
(a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là

;

Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

Tập giá trị là
*



a

0 , a
1
= a.
▪ Khi a > 1:
lim
x
x
a

 
;
lim 0
x
x
a


.
▪ Khi 0 < a < 1:
lim 0
x
x
a


;
lim
x

0; 1, 0.
a a x
  

Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu các điều kiện
để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit phải dương).
▪ Cho 0 < a

1 , x > 0: log
a
x = y  a
y
= x.
▪ Với 0 < a

1 ta có:
log
a
n
a n

( n > 0 ) ; log
m
a
a m

(

m


x
= log
a
x
1


log
a
x
2
( x
1
; x
2
> 0 ).
▪ log
a
x


= .log
a
x (x > 0) và
1
log .log
a
a
x x



.
▪ Hàm số y = log
a
x xác định và liên tục trên (0 ;+ ∞ ).
▪ Đạo hàm
 
/
1
log
.ln
a
x
x a

▪ Khi a > 1 hàm số y = log
a
x đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ).
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log
a
x nghịch biến trên ( 0; + ∞ ).
▪ Nếu a > 1:
lim log ; lim log
a a
x x
x x
 
   

▪ Nếu 0 < a < 1:


 Giới hạn đặc biệt
 
x
1
x
0
1
lim 1+x lim 1+ = e
x
x x 
 
 
 




x 0
ln 1
lim 1
x
x




x
x 0
e -1


n
n
n-1
u'
u '=
n u

5.
 
x x
'
a = a .lna
6.
 
u u
'
a = a .lna.u'

7.
 
x x
'
e = e
8.
 
u u
'
e = e .u'


B. CÁC VÍ DỤ MẪU
● Loại tính toán:
Ví dụ 1: Tính
25
log 15
theo a khi biết
3
log 15
a

.
 Hướng dẫn học sinh phân tích:

   
2
25 5 5 5
5
1 1
log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1
2 2
    3 3 3 3 3
log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5
a
     

 Mà
3







 

 Đưa về cùng một cơ số (ở bài này là 2) sau đó dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ để so sánh.

2,5
2,5
1
2
2

 







 
mà
2,5 12
  
nên
2,5

 Cách 2:  Phân tích cho học sinh thấy rằng
4 2 3. 4 2 3 4 2
   

Có thể tính
4 2 3 va 4 2 3
  bằng cách xem chúng là hai nghiệm của hệ

2
2
x y
xy

 








3 1
3 1
x
y


 






log
log
log log .log
log .log
log
c
c
b
c c c
c c
a
c
a b a
a b
b




Nên
log log
c c
b a
a b

.

hiểu và sử dụng sai như ví dụ sau đây:
Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số
x
y x



.
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

 Sau khi yêu cầu học sinh phân tích đề: Hàm số cần tìm đạo hàm có dạng (u.v)
/
= u
/
v + uv
/
với
x
u


;
v x



A a b
 
   
khi





1 1
2 3 2 3
a v b
 
   µ

2. Biết
27 8 2
log 5 , log 7 , log 3
a b c
  
. Tính
6
log 35
theo a, b, c.
3. Tính
2 3 4 2000
1 1 1 1

log log log log
A






 
d.
1
2
log
y x


6. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
a)
3
3 2
x
y
 








 



 

.
7. Chứng minh rằng


3
3 3 3 3
2 4 2 2 4 2 2 2
a a b b b a a b    
8. Chứng minh
1
log
1 1 1 1
log log log log
abcd
a b c d
x
x x x x

  
với a, b, c, d, x, abcd dương khác 1.
9. Không dùng máy tính hãy chứng minh đẳng thức
3 3
7 5 2 7 5 2 2
   
.
10. Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau:
a.

log 5 log 6
va
Bài 1: Tính các giới hạn sau

x
x +
x
a. lim
1+ x
 
 
 
 

x +
x+1
x
1
b. lim 1+
x
 
 
 
 

2 1
1
c. lim
2
x

 

x
2x+1
f. lim
x -1
x
 
 
 x e
lnx-1
g. lim
x-e


2x
0
lim
e -1
h.
3x
x

x
x 1
e -e
i. lim

2
y = x + x +1
b.
4
1
1
x
y
x



c.
2
5
2
x +x-2
y =
x +1

d.
 
3
y = sin 2x +1
e.
3
2
y = cot 1+x
f.
3


2 x
y = x -2x +2 .e
b.


2 -x
y = x +2x
e
c. y = e
-2x
.sinx
d.
2
2x+x
y = e e.
1
x- x
3
y = x.e f.
2x x
2x x
+
y =
-
e e
e e

g. y = 2
x


3
1
2
y = log x -cosx
f. y = log
3
(cosx)
g.


ln 2x+1
y
2x+1
 h.


ln 2x +1
y
x +1

i.


2
y=ln x+ 1+x

Bài 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra
a. Cho
2

+ 4y = 0
g. Cho y = e
sinx
. CMR y'cosx - ysinx - y'' = 0
h. Cho y = e
2x
.sin5x. CMR y'' - 4y' + 29y = 0
i. Cho
2 x
1
y = x .
2
e
. CMR y'' - 2y' + y = e
x

k. Cho y = e
4x
+ 2e
-x
. CMR y''' - 13y' -12y = 0
l. Cho y = (x
2
+ 1)(e
x
+ 2010). CMR


x 2
2

1
y
1+ x +lnx

. CMR xy' =
y ylnx-1
 
 

p. Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR y + xy' + x
2
y'' = 0
Khóa học: Phương trình mũ và logarit ôn thi Đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Địa chỉ: số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà nội.
Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa

q. Cho


1+lnx
y
x 1-lnx

. CMR 2x
2
y' = xy' + lny'
Bài 6. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số đã chỉ ra

ln
y x

2
3
y xy x y
 
  

g. Cho hàm số
 
2
-x
y = e x +1

2 1 0
y y y y
  
  
 

h. Cho hàm số


x 2
y = ln e x +1
 
 

a. Giải phương trình

g x sin 2x sin x
2
 
a. Tính


f x

,


g x

.
b. Chứng minh rằng:




0
f x g x
 
 
.
l. Cho hàm số
 
y=f x =tg3x.tg2x.tgx

Chứng minh rằng:
