THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
[email protected] Page 1 BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 1: Tìm GTNN- GTLN
Cách 1: Ta có thể dùng BĐT trị tuyệt đối |A|. Khi sử dụng trị tuyệt đối thì ta
tìm |A|= B => - B ≤|A|≤B, lúc này GTNN= -B và GTLN= B.
Cách 2: Ta dùng phương pháp “ tìm tập giá trị của hàm số ”
Cách 3: Ta dùng “kĩ thuật chọn điểm rơi”
Cách 4: Ta dùng “ Đạo hàm”
Dạng 2: C/m BĐT có kèm điều kiện:
Khi gặp các bài cm BĐT có kèm điều kiện nhưng giả thiết không quá đơn giản
( giả thiết đơn giản như: abc=1,a+b+c=1…)
Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng bậc cho các bài có bậc không bằng
nhau. Nhân hai vế của giả thiết vào hai vế của bdt cần chứng minh hay thế
ẩn, hằng số này bằng ẩn khác có số bậc khác nhau sao cho cuối cùng các ẩn
có bậc bằng nhau. Hoặc sử dụng “kĩ thuật chọn điểm rơi” để cân bằng bậc.
Rùi dễ dàng cm hơn, với cách này cần chú ý khi khi nhân điều kiện vào có
đồng bậc hay không????
Cách 2: Ta sử dụng hệ gồm một phương trình là giả thiết( giả thiết rắc rối) và
cùng một phương trình là một bất đẳng thức quen thuộc sao cho hai p/trình co
nét tương đồng. Sau đó ta cộng hai p.trình thành một p.trình. Và suy ra một
giả thiết mới (Sáng tạo giả thiết) để dễ chứng minh hơn. Đối với cách này rất
khó, khó ở chỗ suy nghĩ ra phương trình để sử dụng làm hệ.
Cách 3: Đặt ẩn phụ, một số cách đặt ẩn phụ thường gặp là: Đặt a+b=t hay
ab=u, 1/a=v rùi suy ra bdt mới cần cm và giả thiết mới cần tương ứng. Đối
với một số bài đối xứng thì ta có thể chia cho 

cho bdt cần cm hoặc giả
thiết, với n là số mũ cao nhất. Sau khi chia xong thì biến đổi tiếp.














y
x
y
x
y
x

Đặt t= x/y thì bdt  M=
1
644
2
2


t
tt


221
)6(4
yxy
xyx


(B08)
HD : Ta thấy dưới mẫu chưa đồng bậc vì có số 1, nên ta sử dụng giả thiết
22
yx 
=1 thế vào số 1 để có 1 bdt đồng bậc rùi làm bình thường
4. Cmr:  thoả mãn x(x+y+z)=3yz ta có:
333
)(5))()((3)()( xzxzzyyxzyyx 
(A09)
HD : Các bạn chiệu khó động não thữ bài này nha.^^ THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
[email protected] Page 3

KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Mình xin mạng phép copy phần này của tác giả vì phần này tác giả
không phải mình.

I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1. Cho


Dấu “=” xảy ra
1
1
2
Min 4 khi
11
2
2
a
ab
P x y
ab
b






     








Bài toán 2. Cho

     
      

Dấu “=” xảy ra
2 2 2
1 2 ( ) 1 0
(voâ nghieäm)
11
a b ab a b
a b a b

     



   


. Vậy không tồn tại
Min ? ?P
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
[email protected] Page 4 Lời giải 2. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1


   
   

Dấu “=” xảy ra
22
13
1
2
1
a b ab
a b a b
ab

  

    




.
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức
1 1 4
a b a b


.
Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
1 1 1





a b a c b c    



ab
a c b d
cd


   




THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
[email protected] Page 5



11
0ab
ab
   

b) Một số bất đẳng thức cơ bản


1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
ni
n
a a a n a i n
a a a

         




2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,
i
nn
n
a i n
a a a a a a
      
  

 Cho
2n
số dương (
,2n Z n
):
1 2 1 2

Dấu “=’ xảy ra
12
12
(quy öôùc neáu 0 0)
n
ii
n
a
aa
ba
b b b
      


Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Cho hai dãy số
1 2 1 2
, , , vaø , , , vôùi 0 1,
n n i
a a a b b b b i n  
ta luôn có:
22
22
12
12
1 2 1 2
()
nn
nn
a a a a

1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
Max
( , , , ) : ( , , , )
nn
D
nn
f x x x M x x x D
fM
x x x D f x x x M
  




  



THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
[email protected] Page 6


1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
Min


, tìm GTNN của biểu thức
22
11
4P ab
ab
ab
  

.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 2
2 ( )
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b a b ab a b

         

   

.
Mặt khác
11
4 2 .4 2 2
22

a b ab
a b a b
ab




    





. Thay
1
2
ab
vào ta được
7P 

7MinP
khi
1
2
ab
.
Nguyên nhân sai lầm:

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
[email protected] Page 7


không kết luận được
4 2 2MinP 

Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
1
2
ab
nên đã tách các số
hạng và
7MinP 
khi
1
2
ab
là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như
2
(1 )x x x  
, dấu bằng xảy ra khi
1x 
2
( 1) 1??Min x x

   

.
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với
,ab
, ta dự đoán
MinP

2
11
16 2
1
a b ab
a b a b
ab




    





.
Bài 2. Cho
,0
1
ab
ab





, tìm GTNN của biểu thức
3 3 2 2


     









THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
[email protected] Page 8

59
3
MinS 

Nguyên nhân sai lầm:
3 3 2
3
59
()
3
1
a b a b
MinS a b vn
ab



   
, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp
dụng bất đẳng thức cho 5 số:
3 3 2 2 2 2 3 3
3
1 1 1 1 1 25 25
20
2 2 2 2 ( ) ( ) ( )
()
4
S
a b a b ab a b ab a b ab a b a b
ab
       
    


Dấu bằng xảy ra khi
1
2
ab
.
Bài 3. Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z



[email protected] Page 9

3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
3 3 2 3 3 2 3 3 2 9
3 2 3 .2 3 2
P
x y z x y z x y z
xyz x yz xy z
     
            
     
     
Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi.
2
2
10
()
2
9
1 1 1
4
x y z
y x z
MaxP vn
z x y
x y z




    

    

, tương tự và ta có:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
1
16
P
x y z x y z x y z

     
         

     
     

, vậy
1MaxP 
khi
4
3
x y z  
.
Cách 2: Ta có
4
2
4
11
2 4 . . .

x y z  
, suy ra:
1MaxP 
khi
1
4
x y z  
.
Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:
Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z




  


. Tìm GTLN của
111
P
x y z x y z x y z
        
  
     
.

  

. Chứng minh rằng:
3 3 3 3
2 2 2 3 3a b b c c a     
.
Sai lầm thương gặp:
Ta có:
3
1 1 ( 2 ) 2 2
1.1( 2 )
33
a b a b
ab
    
  
, tương tự ta có:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 5
3 3 3
a b b c c a
a b b c c a
     
        
,
mà
3
5 3 3 ñeà ra sai ? ?


2 ,3,3ab
ta có:
3
3
3 3 3
1 1 3 3 ( 2 ) 6 2
2 3.3( 2 ) .
3
9 9 3 9
a b a b
a b a b
    
    
, tương tự ta có:
3
3 3 3
6 2 6 2 6 2
33
3 9 3 9 3 9
a b b c c a
P
     
   
, dấu bằng xảy ra khi
1abc  

Bài 5. Cho
, , 0
1
x y z

12
yy
zz
xx










, suy ra:
THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận
[email protected] Page 11

(1 )(1 )(1 ) 8 8y z x xyz    
. Vậy
3
2
P 
, dấu “=” xảy ra khi
1x y z  

Sai lầm 2: ta có:
2
2
2



,
mặt khác
3
3 3 0x y z xyz P     

Nguyên nhân sai lầm:
Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
11
0ab
ab
   

Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra
2 2 2
1 , 1 , 1 ( )
1 1 1
1
x y z
x y z
y z x vn
y z x
xyz




      


Ta có:
2
2
2
1
14
1 1 3 3 3 3
( ) ( ) ( )
1 4 4 4 4 4 2
1
14
xy
x
y
yz
y P x y z x y z x y z
z
zx
z
x









              