GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 1 -
MT S PHNG PHP TèM GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
I. MT VI NH NGHA. NH Lí:
1. nh ngha: Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn tp D.
x D
0 0
x D
0 0
f(x) M, x D
1) M= max f(x)
x D : f(x )=M
f(x) m, x D
2) m= min f(x)
x D : f(x )=m















+ B4: Kiểm tra lại các kết quả nh:
- Dấu đẳng thức có xảy ra không
- Xảy ra tại giá trị nào của biến.
+ B5: Kết luận
3/ Cỏc phng phỏp thng dựng tỡm giỏ tr LN& NN.
1. Phng phỏp lợng giác(S dng cỏc phộp bin i v ỏnh giỏ thớch hp)
+ Dùng công thức hạ bậc, sin2x,
+ Có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình lợng giác : Asinx + Bcosx = C
là A
2
+ B
2

C
2
2. Phng phỏp sử dụng các bất đẳng thức Cô-si, Bunhiacopxki,
1)Bất đẳng thức Cô sy:
n
n
n
aaaa
n
aaaa321
321


Với

3sin 2
2
x
y  
;
HD: Hàm số xác định với mọi
x 
.
Ta có
1 sin 1
2
x
  
nên
 
5 3. 1 2 3sin 2 3.1 2 1
2
x
y         
 
 
1 sin 1 4
2
1 sin 1 4
2
x
y x k k
x
y x k k
 

a b a b
a b
 
 
ta có
2
cos cos 2cos .cos 3 cos
3 6 6 6
y x x x x
   
     
      
     
     
Suy ra
3 cos 3
6
y x

 
    
 
 
7
3 cos 1 2 , ;
6 6
3 cos 1 2 ,
6 6
y x x k k
y x x k k

;
e)
2
3sin 2 2sin 1y x x  
f)
6 6
1
sin cos 5
y
x x

 
g)
cot cosy x x 
trên đoạn
5
;
4 6
 
 
 
 
HD: Vì các hàm số
cos , coty x y x 
nghịch biến trên đoạn
5
;
4 6
 
 

0;
4
x

 

 
 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Sưu tầm & Biên soạn: Lộc Phú Đa Việt Trì - Phú Thọ 10/12/2011 Tr: - 3 -
i)
sin 3cosy x x 
trên đoạn
2
;
3
x


 

 
 
j)
2sin 5cosy x x 
trên đoạn
;
4 3
x



. (với a, b, c là các hằng số dương)
Bài 3 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
4sincos2
3sin2cos



xx
xx
y
HD: Hàm số xác định với mọi x
 
     
         
 
 
 
      
       
         
  
  
0 0
0
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0
0

A
sin
1
1













2
B
sin
1
1









B
sin
2
A
sin
1
+
2
C
sin
2
B
sin
1
+
2
A
sin
2
C
sin
1
+
2
C
sin
2
B
sin
2













+
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
1
=
3
3
2
C
sin
2











= 27.

min f = 27 khi tam giác ABC đều.
Bài 5 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
1/
4sincos2
3sin2cos



xx
xx
y
2/
xxxxy sin.coscos.sin
33

3/
xxy
44

33

10/
xxy
44
sincos
11/
xxy
22
cos2sin4
12/
os 2 os 2y Sinx C x SinxC x
;
13/
os 2 osy Sinx C x SinxC x
14/
2 2y Sinx Sinx
15/

2
f(x)=2sin x 4sinxcosx+ 5.
(Hc vin Cụng ngh BCVT Nm 1999)
Bi 6.Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC nu:








Trong mọi tam giác ABC những tam giác nào làm cho biểu thức sau:3 3 3
3 3 3
sinA sinB sinC
Q=
A B C
cos cos cos
2 2 2
đạt giá trị lớn nhất ?
Bỏch khoa H Ni Khi A Nm, 2000)
Bi 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của


1
y 2 1 sin 2x.cos 4x cos 4x cos8x
2
(H Dc -2001)
Bi 6.Chng minh vi mi tam giỏc ta luụn cú: cosA +cosB +cosC >1 ( H nng-1997)
Bi 11. 1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của


3sin x
y 1
2 cos x
(H GTVT -1997)
2/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của



A A B C A B C sin B C
A B C
 
          
          
    
C2.
 
 
          
    
        
 
    
2
2
2
2 2
5 5
cos2A 3 cos2B cos 2C 0 2cos A 1 2 3 cos(B C).cos(B C) 0
2 2
4cos A 4 3 cosA.cos(B C) 3 0
m µ 4 cos A 3 cosA.cos(B C) 3 4cos A 3 cosA 3 2 cosA 3 0
5
A ;B C
6 12
Bài 13 . A,B,C là 3 góc của tam giác ABC ; Tìm GTLN của
 
  M 3 cosA 2 cosB cosC
Bài 14. A,B,C là 3 góc của tam giác ABC thoả mãn

10 10
10 10
2 2 2 2
9 9
2 2
9 9 9 9 9
y sin x cos x sin x cos x 1 max y 1
¸p dông C«si cho 10 sè:
1 10 1 10
sin x 9 sin x; cos x 9 cos x
2 2
2 2
9 10 10 1 1
y (sin x cos x) ; y ; min y
2 2 2 2 2
C2. Dùng bất đẳng thức
; ??
2 2
n
n n
a b a b 
 

 
 
   
       
      
 
 


(H M-C -1999)
Bi 17. A,B,C l 3 gúc ca tam giỏc ABC tho món

0
0 A B C 90
; Chng minh:


2 cos 3C 4 cos 2C 1
2
cosC
(H M-C - 2000)
Bi 18. Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s


1 1
y ; với 0 x .
sin x cosx 2
(HV NgõnHng-1998)
Bi 19. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s


2
y x cos x ; với 0 x .
2
(H NN- H Ni-1999)
Bi 20. Cỏc gúc ca tam giỏc ABC tho món
cos (sin sin ) sin .cos( )C A B C A B
,Tớnh giỏ tr ca biu

Tọa độ đỉnh của parabol f(x)=ax bx c là I - ; - .
2a 4a
Kí hiệu : maxf(x) là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D.
minf(x) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D.
a) Trờng hợp 1R R
: D=R
b
* a<0, max f(x) f , không tồn tại min f(x).
2a 4a



























D
D
D
D
a 0 :
b b
Max f(x)=Max f - , f( ) , hoặc Max f - , f( )



4 2
4 2
3cos x 4sin x
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= .
3sin x 2cos x
(HSP H Ni Khi A - Nm 2001)
Li gii.


4 4 2 2
4 2
3(cos x-sin x)+4sin x 2 cos x
Viết lại y-1=
3sin x 2cos x
;

4 2
2
2
1
y-1=
3sin x 2cos x
1
Đặt sin x t, t [0; 1], hàm số trở thành y-1=
3t 2t 2

* Max f(t)=max{f(0); f(1)}=max{2; 3}=f(1)=3 min(y-1)= min y= +1= ,
3 3 3
có đợc khi và chỉ khi t=1 sin x=1.
8 4
Tóm lại, giá trị lớn nhất của hàm số bằng ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
5 3
Bi 24. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của





2 2
2x 4x
y sin cos 1
1 x 1 x
(H GTVT -1998)
Bi 25 :
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 8 -


2
2
Tìm a để phơng trình sau có nghiệm thuộc 0; :
2

sinx
y= với x [0; ].
2+cosx
(HSP Quy Nhn - Nm 1999)
HD:
Xét hàm số đã cho trong một chu kì: x [ ; ].
Tập giá trị của hàm số với x [ ; ] cũng là tập giá trị của hàm số với x (- ; + ).
sinx
Phơng trình y= sinx ycosx 2y
2+cosx
Phơng trình ẩn x trên có nghiệm


2 2 2
1 1
1 y (2y) y .
3 3
Mặt khác, với x (0; ) thì sinx 0 y 0.
1 2 1
Do đó 0 y , x [0; ]. Mặt khác, khi x=0 thìy=0 và khi x= thì y= nên
3
3 3
1
miny=0; maxy= .
3



2 2
1 1 1 2 1 t 2t 1 t 2t
y= 3 1 2 3 3 2 . 3 2 2 (Do BĐT Cauchy)
t 1 t t 1 t t 1 t t 1 t
1-t 2t
Đẳng thức xảy ra (1 t) 2t 1 t 2t (Do t (0; 1)) t= 2 1
t 1 t
Vậy miny=3+2 2.








C2:PP hm s (o hm)



1 2
1 2
y= ;0 t 1.Tính f '(t),f '(t) 0 t 1 2 0;1 ,t 1 2 0;1
t 1 t
;Lp btt ta cú kq
C3:Tt bc 2:
Bi 31 . Tìm giá trị nhỏ nhất của




1 1 1
M= .
A B C
sin sin sin
2 2 2
(ĐH QG HCM- 1998)
Bi 33 .


2sinB 2sinC 2sinA
Giả sử tam giácABC có ba góc đều nhọn.Cmr: sin A sin B sin C 2
(ĐH SP 2- 1998)











2 (1)
2
1 2
y= ;( 0 t 1)
t 1 t
t 1
y f(t) yt (1 y)t 1 0 có nghiệm trong khoảng(0;1)

.f(1) 0
S
0 1
2
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 10 -
Bi 34 . Cho x, y, z > 0; x + y + z =
2

. Tỡm Min ca biu thc
f(x, y, z) =
tgxtgy1
+
tgytgz1
+
tgxtgz1
.
Dng 5: Phng phỏp o hm:
C s ca phng phỏp ny: Ch yu l dựng o hm kho sỏt chiu bin thiờn ca hm s v da
vo iu y cựng vi cỏc giỏ tr c bit trờn tp xỏc nh ca hm s suy ra kt qu.
Bi 35 . .


4 2
4 2
3cos x 4sin x
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= .
3sin x 2cos x
(ĐHSP Hà Nội Khối A- Năm 2001)

2
2sin x m cosx 3 0 nghiệm đúng với x 0;
2
(H GTVT -1998)
Bi 38 . Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s :
1 sin 1 cosy x x
(CKA2004)
Bi 39 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 4
1 2
;
cos 1 cos 2
k
y x
x x






(HSP HaiPhong-2001)
C2:PP hm s (o hm)



1 2
1 2
y= ;0 t 1.Tính f '(t),f '(t) 0 t 1 2 0;1 ,t 1 2 0;1
t 1 t

Tìm gtln của M ; với A,B,C là các góc của tam giác A BC
cos A cos B cos C
(H TLi- 1998)
Bi 42 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = 2sin
8
x + cos
4
2x
(ĐH Tài chính Kế toán Hà Nội - Năm 2000)
Bi 43. Cho tam giỏc ABC cú
90A

v tho món ng thc
sin 2sin .sin .tan
2
A
A B C
.
Tớnh giỏ tr nh nht ca biu thc :
1 sin
2
.
sin
A
M
B


(DB-2004)


Dấu đẳng thức xảy ra khi cosx=1 khi x= 0 .Vậy max y =
3
Tìm min y:
5 4
sin 3 cos sin 3 cosy x x x x











2 (1)
2
1 2
y= ;( 0 t 1)
t 1 t
t 1
y f(t) yt (1 y)t 1 0 có nghiệm trong khoảng(0;1)

.f(1) 0
S
0 1
2
GI TR LN NHT V NH NHT
CA MT HM S HOC MT BIU THC LNG GIC.
Su tm & Biờn son: Lc Phỳ a Vit Trỡ - Phỳ Th 10/12/2011 Tr: - 12 -




4
2
4 2
2
3
sin 3 cos 3, ;
3 1 cos sin 0 3 1 cos 1 cos 0
1 cos 3 (1 cos ) 1 cos 0
1 1 4 32
: (1 cos ) 1 cos 1 cos (2 2cos ) 1 cos 1 cos . 3
2 2 3 27
x x x R
x x x x
x x x
Theo BDTCosi x x x x x x





2
. Vì hàm số y = cosx là hàm số nghịch
biển trên (0,

2
) nên bài toán trở thàmh tìm GTLN&NN của (x
2
+y
2
+x
2
)
* x
2
+y
2
+z
2
=
2
2 2 2 2 2 2
1 1 3
(1 1 1 )
3 3 4
x y z x y z
;
* Không mất tính tổng quát ta giả sử z = max{x,y,z} thì

với

1
;1
2
z
.
đồ thị hàm số f(z) là parbol quay bề lõm lên trên ,nên ta có 1 5
( ) max , 1
2 4
Maxf z f f
Suy ra

3 5
max cos ; min cos
4 4
S S
Bi 46 . Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s:

2/ Tìm giá trị lớn nhất của
x
xx
y
4
22
cos
)sin41(sin3

3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
cos
1
cos









coscoscos 
7/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
 









2
;0
cos.sin
cossin
2
3

x
xx
xx
y
8/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè
xx
xxy
44
44
sin
1

2
2
2
2
cos
cos1
sin
sin1
10/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè
2
0
)cos1(4
cos).cos1(
2




 xvoi
x
xx
y
11/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
2 sin 2
2 cos



x

15/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
sin cosy x x 
;(ĐH YKhoa TB-1997)
16/ Cho hàm số:
2 cos 1
; ( )
cos sin 2
k x k
y k R
x x
 
 
 
a)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số khi k = 1 ;
b)tìm k để giá trị lớn nh ất của
k
y
đạt giá trị nhỏ nhất. (ĐH QG HN-1997)
17/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
1 2sin 1 2cosy x x   
;
Bài 49 .( Lớp 12) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè:
1/.
3
4
2
3
y Sinx Sin x 
trên đoạn a).
 

   
 
 
y 5cosx cos5x víi x ;
4 4
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
Sưu tầm & Biên soạn: Lộc Phú Đa Việt Trì - Phú Thọ 10/12/2011 Tr: - 14 -
10/ Cho
 
 
   
  
2
2
2
f(x) cos 2x 2 cosx sinx - 3sin2x m
t×m max ; min cña f(x), tõ ®ãt×m m®Ó f(x) 36, x R
Bài 50. 1/ Cho tam giác ABC, tính giá trị lớn nhất của tổng S = sinA + sinB + sinC .
2/ Tính các góc của tam giác ABC biết rằng : sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 9/4 .
Bài 51. Cho tam giác ABC với A>B>C. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 
  
 