LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2015
CHUYÊN ĐỀ 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
A- KIẾN THỨC NỀN TẢNG
I/ GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
1. LÝ THUYẾT
a/ Khái niệm: Góc giữa 2 đường thẳng a và b là góc giữa 2 đường thẳng a’; b’ lần lượt song
song với a;b. Ký hiệu
( )
;a bR
Sơ đồ :
( ) ( )
'/ /
; '; '
'/ /
a a
a b a b
b b

→ =


R R
b/ Nhận xét:
+) Góc giữa 2 đường thẳng là góc nhọn, có nghĩa là :
( )
( )
0 0
0 0 0
; ;0 90
; 180 ;90 180
a b

→ =


R R
Cách 2
- Lấy 1 điểm A bất kỳ thuộc a
- Từ A kẻ đường thẳng d//b:

( ) ( )
; ;a b a d
→ =
R R
d/ Các tính góc giữa 2 đường thẳng:
- Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông
- Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
+ −
= + − ⇒ =
2/ Bài tập minh họa:
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác
SAB,SAD,SAC đều vuông ở A. Biết SA =
3a
, AB = a, AD = 3a. Tính góc giữa các đường
thẳng sau:

/ / / /
/ /
a P b R P R d
a b d
a b

⊂ ⊂ ∩ =

⇒



• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+) Định nghĩa : Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) khi nó vuông góc với mọi
đường năm trong mặt phẳng (P): Dạng mệnh đề:
( )
( )
a P
d P
d a

∀ ⊂

⊥ ⇔

⊥


+) Hệ qủa 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) ta cần chứng minh
d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

90
+) Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Muốn chứng minh hai mặt phẳng (P) và (R)
vuông góc với nhau ta chỉ ra một đường thẳng d bất kỳ thuộc (P) và vuông góc với (R).
Viết dạng mệnh đề:
( )
( )
( ) ( )
d P
P R
d R

⊂

→ ⊥

⊥


+) Tính chất 1: Nếu (P) và (R) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến a; d là 1
đường thẳng nằm trong (P) nếu d vuông góc với a thì d vuông góc với (R).
Dạng mệnh đề:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
;
;
P R P R a
d R
d P a d


1/ BC
⊥
(SAB) 2/ CD
⊥
(SAD) 3/ AH
⊥
(SBC) 4/ AK
⊥
(SCD)
5/ SC
⊥
(AHK) 6/ OM
⊥
(SAB) 7/ON
⊥
(SAD) 8/ BC
⊥
(OPQ)
9/ BC
⊥
SB 10/ CD
⊥
SD 11/ AH
⊥
SC 12/ AK
⊥
SC
13/ (SBC)
⊥
(SAB) 14/ (SCD)

⊥
(P),NK
⊥
(P)
2/ Phương pháp xác định góc giữa 2 mặt phẳng:
Để xác định góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (
Q
) như sau:
+) Xác định giao tuyến d của (P) và (
Q
)
+) Xác định mặt phẳng trung gian (R) sao cho d
⊥
(R) (*)
+) Xác định các giao tuyến thành phần :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
; Q ;
Q
R P a
P a b
R b

∩ =

→ =


SA
⊥
(ABCD). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SD.
a. Chứng minh BC
⊥
(SAB),CD
⊥
(SAD)
b. Chứng minh (AEF)
⊥
(SAC)
c. Tìm tan góc
α
là góc tạo bởi cạnh SC và (ABCD)
Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a, BD =
2
3
a
. Trên đường thẳng
vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đường chéo lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh
rằng:
a/ Tam giác ASC vuông
*b/ (SAB)
⊥
(SAD)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA =
6a

∈


2. Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng
a. Cách xác định tổng quát từ 1 điểm tới một mặt phẳng:
Trường hợp 1) Để xác định khoảng cách từ
điểm M đến (P) ta làm như sau:
+) Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P)
theo giao tuyến d.
+) Kẻ MH
⊥
d ( H
∈
d) =>MH
⊥
(P) =>
MH = d(M;(P))
b. Cách chuyển điểm (Mục đích: tính toán điểm mới dễ dàng hơn trong việc tính toán hơn điểm
cũ )
Trường hợp 1) Nếu MN // (P) thì d(M;(P)) =
d(N;(P))
Ví dụ: Từ khoảng cách điểm M gặp khó khăn
ta chuyển về điểm N
Trường hợp 2:
Nếu đường thẳng AB cắt (P) theo giao
điểm I thì:
( )
( )
( )
( )

=
3/ CÁC BÀI TẬP CỦNG CỐ:
Bài 1. ( DHKD-2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp (ABC); AC = AD
= 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA = 2a.
a/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, mặt
phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi I,J là trung điểm của AB và AD. Tính khoảng
cách từ I đến mp (SJC).
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có SA = a, các cạnh còn lại bằng
3
2
a
. Chứng minh rằng SA
⊥

SC và tính d(S;(ABCD))
Bài 5. (DHKA,A1 2014). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
3
2
a
, hình chiếu vuông của S lên mp (ABCD) là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBD).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB)
⊥
(ABCD), SA =
SB, góc giữa SC và (ABCD) là
0

2a
; AB =2a, AD = DC =a. Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng
cách từ M đến mặt phẳng (SBC)
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a, G là
trọng tâm tam giác ABC, biết SG
⊥
(ABC), SB =
14
2
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
Bài 13. ( DHKD-2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
0
90ABC BAD∠ = ∠ =
, BA = BC = a, AD = 2a. SA
⊥
( ABCD) và SA =
2a
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của
A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính d(H;(SCD)).
B. Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau:
I/ Lý thuyết
1. Định nghĩa đoạn vuông góc chung.
MN là đoạn vuông góc chung của d và d’
'
; '
MN d
MN d
M d N d

Cách 3: Dựng 2 mặt phẳng :
+) mp (P) chứa d và // với d’. Dựng mặt
phẳng (R) chứa d’ và // với d.
Khi đó: d(d;d’) = d ((P);(R))
Cách 4: Phương pháp véc tơ : ( Dành cho
phần HHKGGT)
II/ Bài tập củng cố.
Câu 4. Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2014
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
Câu 5: Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa hai đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BC theo a
Câu 6 : Trích từ ngân hàng đề thi công ty phát triển giáo dục An Sơn
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và
BD.
II/Đáp án bài tập củng cố.
Câu 4. Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2014
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng bên SBC là tam
giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
Câu 5: Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa hai đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 60