Chuyờn

PHNG TRèNH NG TRềN
OXY

Luy
n thi I HC

2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn Trng THPT Phong in

M
0
D
R
I

Chuyờn
:PHNG TR
èNH NG TRềNI- Lí THUY
T
:

Ph

ng tr
ỡnh t
ng
qu
ỏt:
2 2
2 2 0x y ax by c+ - - + =
(*)
cú tõm
( ; )I a b
, bỏn kớnh
2 2
R a b c= + -

Lu ý:


i
u
ki
n


(*) l ph

ng trỡnh c
a
m

0
R >
.Kt lun:
Ph

ng trỡnh
ng
trũn
(
)
C
cú tõm
( ; )I a b
, bỏn kớnh
0R >
:
(
)
(
)
2 2
2
x a y b R- + - =Nh
n xột

nh

, , a b c
.
2. Tip tuyn ca n
g trũn:
2 2
2 2 0x y ax by c+ - - + =a.
Ti
p tuyn ca
(
)
C
ti
0 0 0
( ; )M x y
(
0
M
:
ti
p im
)

Ti
p
tuy

0 0 0 0
: ( ) ( )( ) 0 a x x x b y y y

b.
iu kin tip xỳc:ng thng
: 0ax by cD + + =
l tip tuyn ca
(
)
(
)
;
C d I R D =

Lu ý:


ti
n
trong vi
c
tỡm ph

ng trỡnh ti
p
tuy
n

sút
tr


ng
h
p
ti
p
tuy
n

th
ng ng

x C=
(
khụng cú h
s gúc
)
.
Nhc: * Đờng thẳng có hệ số góc .
* Đờng thẳng (vuông góc ) không có hệ số góc.
y kx m k
x C Ox




Luy
n thi I HC

2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn Trng THPT Phong in

0
áp dụng đk tiếp xúc, giải đợc k.
* Nếu kết quả 2 hệ số góc k (tơng ứng 2 t.tuyến), bài toán giải quyết xong.
* Nếu giải đợc 1 h.g.góc k, thì xét
đờng thẳng (đây là tiếp tuyến thứ hai)x x .

* Phơng pháp 2:


2 2
0 0
( ; ) 0 ( ; )
0
Gọi là 1 v.t pháp của đ.thẳng đi qua Mn a b a b x y


0 0
( ) ( 0 ) a x x b y y

, .

, bỏn kớnh
2
R
.
Tr
ng hp

Kt lun

S tip tuyn chungR
2
R
1
I
2
I
1

1 2 1 2
+ <
R R I I

(
)
1
C
kh


ti
p xỳc ngoi
v
i

(
)
2
C3
I
1
I
2
R
1
R
2

1 2 1 2 1 2
R R I I R R+ > > -

(
)
1
C
c


(
)
1
C

ti
p xỳc trong
v
i

(
)
2
C

1

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn

PHNG TRèNH NG TRềN
OXY

Luy
n thi I HC

2011
Giỏo viờn:

(
l
ng
v
o nhau)
0

V
N
1:
Nhn dng 1 phng trỡnh bc hai l phng trỡnh ng trũn.
Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn.Phng
phỏp:
Cỏch 1:

a ph

ng trỡnh v

d
ng

2 2
2 2 0x y ax by c+ - - + =
(1)
Ki
m

d
ng
:
- + - =
2 2
( ) ( )x a y b m
v k
t
lu
n
.
LUYN TP:

Bi tp 1:
Trong cỏc ph

ng trỡnh sau, ph

ng trỡnh no bi
u
di
n

ng
trũn. Tỡm tõm v
bỏn hớnh n

u
cú:


ỏ tr

n
o c
a

m
thỡ pt(1) l ph

ng tr
ỡnh c
a


ng
tr
ũn?

b. N
u
(1) l ph

ng trỡnh
ng
trũn, hóy tỡm to



tõm v tớnh bỏn kớnh
ng



tích tâm


ng tròn.

Bi tp
4: Cho ph

ng trỡnh:
2 2
1) 2(sin 1) 2 02(cosx y x ya a
.

;1
0
a. Với giá trị nào của thì phơng trình
trên là p.trình của một đờng tròn.
b. Tìm giá trị để đờng tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn nhất.
c. Tìm quỹ tích tâm đờng tròn, khi thay đổi trên đoạn 0
a
a
a
0
80 .


m



( )
m
C
l

ng tròn tâm
(1; 3).I -
Vi

t ph

ng trình

ng tròn.
c. Tìm
m



( )
m
C
l

ng tròn có bán kính
5 2.R =

LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán Trường THPT Phong Điền

VẤN ĐỀ 2:

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Phương
pháp:
Cách 1: Tìm tâm
( ; )
I a b
, b
án kính
> 0R
. Suy ra
(
)
(
)
- + - =
2 2
2
( ) :C x a y b RCách 2: G
ọi
ph

ươ
ng tr
ình v
ới

ẩn
s
ố

, ,
a b c
.- Gi
ải
h
ệ
ph
ươ
ng trình tìm
, , a b c
.
LUY
ỆN TẬP:

Bài tập 1:

L
ập

đư
ờng
k
ính là AB v
ới

(1;1), (7;5)
A B

Bài tập
2: Vi
ết
ph
ươ
ng trình
đường
tròn
đ
i qua ba
đ
i
ểm
v
ới

(1;4), ( 7;4), (2; 5)A B C- -
.
Bài tập
3
: Cho 3

ng trình
đường
tròn ngo
ại
ti
ếp
tam giác ABC v
ới

(1;5), (4; 1),A B -

( 4; 5)
C - -

Bài tập
5: L
ập
ph
ươ
ng trình
đường
tròn (C), có tâm
(2;3)I
trong các tr
ường
h
ợp
sau:
a. (C) có bkính là 5 b. (C) qua
đ

6
: L
ập
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn (C)
đ
i qua hai
đ
i
ểm

( 1;2), ( 2;3)
A B- -
v
à có tâm
ở

tr
ên
đường
th
ẳng

: 3 10 0x yD - + =

ph
ươ
ng trình c
ủa

đường
tròn (C)
đ
i qua 2
đ
i
ểm

(1;2), (3;4)
A B
v
à ti
ếp
xúc v
ới

đường
th
ẳng

: 3 3 0x yD + - =
.
G
ợi ý:


I dÎ
(
tọa độ 1 ẩn
).
Do
Δ
ti
ếp xúc với (C) nên
(
)
;Δd I IA= Þ

gi
ải ra I.

Bài tập
8: L
ập
ph
ươ
ng trình
đường
tròn (C)
đ
i
đ
i
ểm

(4;2)M

( ; )I a b
là tâm của (C). Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên
a b R= =
.
TH 1:
( ; ), a b I a a R a= Þ =Phương trình (C):
(
)
(
)
2 2
2
x a y a a- + - =

Do
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2
(4;2) 4 2 12 20 0
10
=

.

TH 2:
( ; ),
a b I a a R a= - Þ - =Phương tr
ình (C):
(
)
(
)
2 2
2
x a y a a
- + + =

Do
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
(4;2) 4 2 4 20 0 v« nghiÖm
Î Û - + + = Û - + =M C a a a a a


ợi ý:

Cách 1:
G
ọi
( ;1 2 )
I a a d- Î
là tâm c
ủa đường tròn (C).

Do
1 2
, D D
là các ti
ếp tuyến của (C) nên suy ra:
(
)
(
)
1 2
; ;D = D Þd I d I
giải ra I.

Cách 2:

Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
1
D
và
2

- - =
ë
ë
x y x y
T x y
x y x y
T x yBước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của
d
và
1 2
, . T T

Bài tập
10
: L
ập
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờn
g
tròn
đ
i qua hai
đ

của AB.Bước 2: Gọi
I dÎ
(tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết
5
IA = Þ
gi
ải ra I.

Bài
tập
11: L
ập
ph
ươ
ng trình
đường
tròn (C) có tâm
( 1;1)
I
, bi
ết

đường
th
ẳng

: 3 4 3 0

)
2
2
;Δ
4
AB
R d I= é ù +
ë û

Bài tập 1
2: (
ĐH A
-2007) Cho tam giác ABC có
(0;2), ( 2; 2)A B - -
và
(4; 2)C -
. G
ọi
H là
ch
ân
đư
ờng
cao k
ẻ
t
ừ
B
; M, N l
ần

Bước 2: Lập phương trình đường trung trực
d
của MN.

D
ễ thấy tâm I của (C) thuộc
d
.

Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và
d
. Suy ra
IM R=
.
Bài tập 1
3
:
Vi
ết phươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr
òn
đ
i qua
đ
i
ểm

ờng
tr
òn
đ
i qua
đ
i
ểm

(2;3)
M
v
à ti
ếp
x
úc
đ
ồng
th
ời
v
ớ
i hai
đường
th
ẳng

1 2
: 3 4 1 0, : 4 3 7 0. x y x y       


Bài t
ập 1
5:
Viết phươ
ng trình
đường
tròn
đ
i qua g
ốc
to
ạ

độ
, bán kính
5R 
và ti
ếp
xúc v
ớ
i
đường

th
ẳng

: 5 0 2x y   
.
Gợi ý:


ẳng

: 3 0 d x y  
và
đường
tròn
2 2
( ) : 7 0.
C x y x y   

Ch
ứn
g minh r
ằ
ng

d
c
ắt

( )C
. Hãy vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình
đư
ờng
tr

 
    
 
 

 
 
       
 
 

Thay (1) vào (2)
:
2
1 2 (1; 2)
7 6 0
6 3 (0; 3)x y A
x x
x y B
= Þ = - -
é
- + = Û
ê
= Þ = - -
ë

Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm

Bi tp 17
: Cho
ng
th
ng

: 3 0 d x y
v
ng
trũn
2 2
( ) : 7 0. C x y x y

Ch
n
g minh r
ng

d
c
t

( )C
t
i
hai

i
m
phõn bi


( ')C
. Theo gi thit:
3
IA IB
IA
=
ỡ
ớ
=
ợ
.
Bi t
p 1
8: Vi
t
ph

ng trỡnh
ng
trũn (C)

i qua hai

i
m

(1; 1), (3;1) P Q
v ti
p

gi
i ra I.

TH 2:
(C) v (C) ti
p xỳc trong, tc l
1 2
1OI R R OI IA= - = - ị
gii ra I.

Bi tp 19
: Vi
t
ph

ng trỡnh
ng
trũn cú bỏn kớnh
2R
,

i qua
(2;0)M
v ti
p
xỳc v
i

ng
tr


ng
tr
ũn cú bỏn kớnh
2R
, v ti
p
x
ỳc v
i


ng
tr
ũn
2 2
( '): 1 0
và đờng thẳng C x y y
.
Gi ý:Gi
( ; )I a b
l tõm ca
( )C
.
Ta cú, (C) ti
p xỳc vi Ox nờn
2

t
ph

ng trỡnh
ng
trũn ti
p
xỳc v
i

ng
th
ng

: 2 0 d y
t
i


i
m

(4;2)M
v ti
p
xỳc v

i
ng
trũn

Bi tp 22
: Cho
ng
trũn
2 2
( '): 8 C x y
. Vi
t
ph

ng trỡnh
ng
trũn
( )C
ti
p
xỳc
v
i


ng
th
ng

: 3 0 x
v

ng
tr

Lập phương trình đường thẳng
'I M
.
Tâm
'I I MÎ
(t
ọa độ 1 ẩn).

Ta có:
(
)
' ' ' , 3 'II IM I M II d I x I M= + Û = - +
. Từ đây, giải ra I.

Bài tập 23
:
(
Đ
ề dự bị 2003
) Cho
đư
ờng
th
ẳng

: 7 10 0
d x y- + =
. Vi
ết
ph

ểm

(4;2)A
.
G
ợi ý:

Tâm
ΔI Î
(tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết
(
)
,IA d I d=
. Từ đây, giải ra I.

V
ẤN ĐỀ 3:

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH
TI
ẾP
TUY
ẾN
C
ỦA

ĐƯỜNG TRÒN

Bài tập 1
: Cho


(5; 3)M -
b. Bi
ết
ti
ếp
tuy
ến
song song
: 5 12 2 0x yD - + =c. Bi
ết
ti
ếp
tuy
ến
vu
ông góc
: 3 4 2 0
x yD + + =

d. Bi
ết
ti
ếp
tuy
ến



: 0
x yD + =
.

Bài t
ập 3
:

Vi
ết phươ
ng tr
ình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa
(C):
2 2
4 2 0x y x y+ - - =
xu
ất
ph
át t
ừ

(3; 2)
A -
.

2 2
2 2
2 3 2
; 5 3 5
a b a b
d I R b a a b
a b
+ - +
Û D = Û = Û - = +
+

(
)
2 2 2 2 2 2
2 2
9 6 5 2 3 2 0
1 1
2 2
b
b a
a
b ab a a b b ab a
b
b a
a
é
= Û =
ê
Û - + = + Û - - = Û
ê

1
: 2 1 0x yD + + =
,
2
: 2 8 0x yD - - =
.

Cách
2:
Xác đ ịnh tọa độ các tiếp điểm.

G
ọi
(
)
0 0 0
;M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C).

Suy ra:
2 2
0 0 0 0
0
0 0
0 0
4 2 0
( )
. 0
x y x y
M C


Tổ Toán Trường THPT Phong Điền

Bài tập 4
: Cho
đường
tròn (C):
2 2
6 2 6 0x y x y+ - + + =
và
đ
i
ểm

(1;3)A
.
a. Ch
ứng
t
ỏ
A n
ằm
ngoài
đường
tròn (C).
b. L
ập
ph
ươ
ng tr

a. Ch
ứng
t
ỏ
qua M ta v
ẽ

được
hai ti
ếp
tuy
ến

1
D
và
2
D
v
ới
(C). Hãy
viết phươ
ng trình
c
ủa

1
D
và
2

(C), hãy
viết phươ
ng trình
1 2
M M
.

Gợi ý:
(C) có tâm
( 1;2)
I -
và
3R =
.
a. Ta có
(3; 3) 3 2 3IM IM R- Þ = > =

nên M nằm ngoài (C).

Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C).

Cách 1:
Gọi
(
)
(
)
2 2
; 0n a b a b= + >


M
ặt khác do
D
qua
(2; 1)M -
nên:
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
2 1 1 1 2 2 9 0x y x y+ + + - - - = Û - =
(1)
Do
(
)
(
)
(
)
2 2
0 0 0 0 0
; ( ) 1 2 9 (2)M x y C x yÎ Û + + - =

Từ (1) và (2), giải hệ:
(

Suy ra hai ti
ếp điểm
1 2
( 1; 1), ( 2; 2)M M- - - -

TH 1:
Tiếp tuyến
1
D
qua
(2; 1)M -
và
1
( 1; 1)
M - -
có phương trình:
1y = -
.
TH 2:
Tiếp tuyến
2
D
qua
(2; 1)M -
và
2
( 2; 2)M - -
có phương trình:

2 1

ần xác định tọa độ

1 2
, M M
)

G
ọi
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
; , ;
M x y M x y
.

Tiếp tuyến của (C) tại
1
M
:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1

)
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2 9x x y y+ + + - - =
.

M
ặt khác do
D
qua
(2; 1)
M -
nên:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 1 1 1 2 2 9 0x y x y+ + + - - - = Û - =
(4)

T
ừ (

a)
2 2
1
( ) : 6 5 0C x y x+ - + =

và
2 2
2
( ) : 12 6 44 0C x y x y+ - - + =
.

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn

PHNG TRèNH NG TRềN
OXY

Luy
n thi I HC

2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn Trng THPT Phong in

b)
2 2
1


6b)
2 2
1
( ) : 2 3 0C x y x+ - - =
v

2 2
2
( ) : 8 8 28 0C x y x y+ - - + =

Ta cú
(
)
1
C
cú
(
)
1
1
1;0
2
I
R
ỡ
ù
ớ
=
ù

. Vy
(
)
1
C
v
(
)
1
C
ngoi nhau nờn tn ti 4 tip
tuyn chung cn tỡ
m.
Gi
(
)
2 2
: 0 0ax by c a bD + + = + >
l tip tuyn chung ca
(
)
1
C
v
(
)
2
C
.


ù
ỡ
+ = +
ỡ
D =
+
ù ù ù

ớ ớ ớ
D =
+ +
ù
+ + = +
ù ù
ợ
ợ
=
ù
+
ợ
(1)
(2)

T
(1) v (2) suy ra:
(
)
3 4 0
4 4
4 4

2 2
14
4 16 4 10
2
3
3 9 3 3
2
c b
b
c b b b c b
c b
ộ
=
ờ
- = + - =
ờ
= -
ở* Vi
14 4
,
3 3
c b a b= = -
ti
p tuyn
1
4 14
: 0 4 3 14 0

(
)
(
)
(
)
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
5 4
2 3 4 4 3 4 4
2
0 2
9 24 16 16 16 7 24 0
24 74
7 7
a b
a a b a b a b a b a b
a c b
a ab b a b a a b
a b c b
- -
+ = + + = + + = +
= ị = -
ộ
ờ
+ + = + - =
ờ
= ị = -
ở


Luy
n thi I HC

2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn Trng THPT Phong in

Kt lun: Vy tn ti 4 tip tuyn tha món yờu cu bi toỏn:

1
: 4 3 14 0
x yD - + + =
,
2
: 4 3 6 0
x yD - + - =
,
3
: 2 0
yD - =
,
4
: 24 7 74 0
x yD + - =

Bi tp 7
:

p
v
i


ng
th
ng

: 2 1 0
2
một góc mà cos =
5
x y
a a
.
Gi ý:
(C) cú tõm
(0;0)O
v
5R =
.
Gi
(
)
(
)
2 2
; 0
d

2 2
.
2
2
cos 2 2
.
5
5
d
d
n n
a b
a b a b
n n
a b
a
D
D
+
= = + = +
+
(
)
2 2 2 2
0
4 4 4 (4 3 ) 0
3

d
ti
p xỳc vi (C) nờn:
(
)
5
; 5
5
1
m
m
d O d R
m
=
ộ
= =
ờ
= -
ởV
y trng hp ny cú 2 tip tuyn:
1 2
: 5 0, : 5 0d y d y+ = - =
.

TH 2:
(
)

n
=
ộ
= =
ờ
= -
ởV
y trng hp ny cú 2 tip tuyn:
3 4
: 4 3 25 0, : 4 3 25 0d x y d x y+ + = + - =
.

MT S THI I HC1)
(
H A
-
2002) Cho tam giỏc ABC vuụng t
i
A, ph

ng tr
ỡnh

ng


(
)
(
)
(
)
(1;0). ( ;0) 3 3
; 3 3 .
1
2 1 3( 1)
3
;
1
3 3
3
ầ = = = ị = -
-
ỡ
= + +
ù
ổ ử
+ -
ù
ỗ ữ
ớ
ố ứ
ù
= + +
ù

Cỏch 1:
1 , 3 1 , 2 1= - = - = -AB a AC a BC aTa có:

(
)
(
)
2

2
1 3
. 1 .
2 2
1
3 1
2
2.
3 1 3 1 3 1
1 2 3 2
= = -
-
-
= = = =
+ +
- + - +
- = +
ABC
S AB AC a
a
a

ố ứ
a G

Cỏch 2:
2 2.= ị =
I
r y
Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ABC. Vì

(
)
(
)
0
1
tan30 . 1 1 2 3
3
-
= - = ị =
I
x
y x xPhơng trình BI:

TH 1:
(
)
1 2 3. ; 2
= + =
I
x d I ACNếu A và O khác phía đối với B thì Từ

a x G

2)
(
H B
-2002) Cho hỡnh ch

nh
t
ABCD cú tõm
1
;0
2
I
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
, ph

ng trỡnh
ng
th
ng
AB l:
2 2 0x y- + =
v AB= 2AD. Tỡm to



cỏc

2
2 0
( 2;0), (2;2) 0)
1 5
2 2
(3;0), ( 1; 2).
+ =
ỡ
ù
- <
ớ
ổ ử ổ ử
- + =
ỗ ữ ỗ ữ
ù
ố ứ ố ứ
ợ
ị - -
A
y
A B x
x y
C D
. Giải hệ đợc (vì Lu
ý:

y

d b 2002
) Cho hai
ng
trũn:
(
)
(
)
2 2 2 2
1 2
: 10 0, : 4 2 20 0C x y x C x y x y+ - = + + - - =

a. Vi
t
ph

ng trỡnh
ng
trũn

i qua giao

i
m
c
a


ng
tr
ũn
(
)
(
)
1 2
, C C
.

4) (
d b 2002
)
Cho hai
ng
trũn:
(
)
(
)
2 2 2 2
1 2
: 4 5 0, : 6 8 16 0C x y y C x y x y+ - - = + - + + =

Vi
t
ph

ng tr


: 1 0d x y- + =
v
ng
trũn
(
)
2 2
: 2 4 0C x y x y+ + - =
. Tỡm to





i
m
M thu
c

d
m qua
ú
ta k


c
hai
ng
th

i
m
c
nh

BC v
2
;0
3
G
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
l tr
ng
tõm tam giỏc ABC. Tỡm to



cỏc
nh
A, B, C.
7) (
d b 2003
) Cho
ng
th
ng

: 7 10 0d x y- + =

t
i


i
m

(4;2)
A
.

8) (
H D
-
2003) Cho

ng
th
ng

: 1 0d x y- - =
v

ng
tr
ũn
(
)
(
)

th
ng

d
. T
ỡm to



giao

i
m
c
a

(
)
/
C
v
(
)
C
.

G
i ý:

(

- - = =
ỡ ỡ
ị
ớ ớ
+ - = =
ợ ợ
= - =
ỡ
ị
ớ
= - =
ợ
J H I
J H I
d
x y x
H
x y y
J I d
x x x
J
y y y
giao điểm H của và là nghiệm của hệ phơng trình:

Gọi là điểm đối xứng với qua Khi đó:

Vì (C') đối xứng v (3;0) 2.=d J Rới (C) qua nên (C') có tâm là và bán kính

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

1 2 4
1
1, 0
3, 2
2 8 6 0
3 4
3 4
ỡ
- - =
ỡ
- + - =
= -
= =
ỡ
ộ
ù ù

ớ ớ ớ
ờ
= =
- + =
- + =
ở
- + = ù
ợ
ù
ợ
ợ
x y
x y

tõm c
a

ng
tr
ũn ngo
i
ti
p
c
a
tam gi
ỏc OAB.
G
i ý:

( 3;3) 3 0.
(0;2) 1.
( 3;1)
+ =
= -



x y
y
+ Đờng thẳng qua O, vuông góc với BA có phơng trình 3
Đờng thẳng qua B, vuông góc với OA có phơng trình
Đờng thẳng qua A, vuông góc với BO có phơng trình
(

H A
-
2005) Cho hai

ng
th
ng

1 2
: 0, : 2 1 0d x y d x y- = + - =
. T
ỡm to




c
ỏc

nh

c
a
hỡnh vuụng ABCD bi
t
r
ng

nh
A thu

ẻ -
ẻ - - = = -
= =
ỡ
ớ
= =
ợ
ẻ
A t t
C t t
t t t A C
IB IA
I
ID IA
B O
1
2
Vì A d
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B, D Ox nên
Vì C d nên Vậy
Trung điểm AC là Vì I là tâm của hình vuông nên:
Mặt khác:
1 1
( ;0) 0, 2
( ;0) 0, 2
1 1
(0;0) (2;0) (2;0) (0;0).
(1;1), (0;0), (1; 1), (2;0)
(1;
ỡ

Chun
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
OXY

Luy
ện thi ĐẠI HỌC

2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền

11) (
ĐH B
-
2005) Cho hai
đ
i
ểm

(2;0), (6;4)
A B
. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình

đ
i
ểm
B b
ằng
5.
Gợi ý:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2 2
( ; )
.
1
5 6 2 4 25 8 7 0
7
* 2, 1 : 2 1 1
* 2, 7
Þ =
=

tròn
(
)
2 2
: 12 4 36 0C x y x y+ - - + =
. Vi
ết
ph
ươ
ng trình
đường
tròn
(
)
1
C
ti
ếp
xúc hai tr
ục
to
ạ

độ
Ox, Oy
đồng
th
ời
ti
ếp

y x
= ±
vàvì (C) có tâm
(
)
I 6,2
,R = 2

nên tâm
1
( ; )
I x x±
với x > 0.
TH 1: Tâm
1
I Ỵ
đường thẳng y = x
Þ
(
)
,I x x
, bán kính
1
R x=(
)
1
C

=
ë
.Ứng với
1 2
2 hay 18
R R= =

Có 2 đường tròn là:
(
)
(
)
2 2
2 2 4x y- + - =
;
(
)
(
)
2 2
18 18 18x y- + - =

TH 2: Tâm
1
I
Ỵ
đường thẳng
(
)
,

2 2 4; 18 18 18; 6 6 36x y x y x y- + - = - + - = - + + = www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chun
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
OXY

Luy
ện thi ĐẠI HỌC

2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Tốn Trường THPT Phong Điền

13) (
Đ
ề dự bị 200
5
)
Cho hai
đường
tròn

)
2
C
. Ch
ứng
minh r
ằng
n
ếu
K thu
ộc

d
thì kho
ảng
cách t
ừ
K
đến
t
âm c
ủa

(
)
1
C
nh
ỏ
h

1
R 3=

Đường tròn
(
)
2
C
có tâm
(
)
I 1,1
, bán kính
2
R 5=

Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn
(
)
1
C
,
(
)
2
C
là
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
1 1 1 8 2 14 65
k k k k k k
IK x y x x x x= - + - = - + - - = + +

Ta xét
(
)
(
)
2 2 2 2
2 14 65 2 14 49 16 0
k k k k
IK OK x x x x
- = + + - + + = >

Vậy
2 2
(đpcm)IK OK IK OK> Û >

(
Đề dự bị 2005


(
)
(
)
2 2
M M
IM x 2 y 3 10= - + - =

(
)
(
)
(
)
2 2
2
M M M M
M M
M M
x 2 2x 3 3 10 5x 4x 96 0
x 4 y 5 M 4, 5
24 63 24 63
x y M ,
5 5 5 5
Û - + + - = Û - - =
= - Þ = - Þ - -
é
ê
Û

2 2
x a y b 10- + - =

(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
A C 0 a 5 b 10 a b 10b 15 0Ỵ Û - + - = Û + - + =
(1)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn

PHNG TRèNH NG TRềN
OXY

Luy
n thi I HC

2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn Trng THPT Phong in

(


Vy ta cú 2 ng trũn tha ycbt l

(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
x 1 y 2 10
x 3 y 6 10
+ + - =
- + - =

14) (
H D
-
2006) Cho

ng
t
rũn
(
)
2 2
: 2 2 1 0C x y x y+ - - + =

, ti
p
xỳc ngoi v
i

ng
trũn
(
)
C
.
Gi ý:

(
)
(
)
2
2
1
(1;1) 1.
( ; 3).
1
2 1 2 9
2
(1;4), ( 2;1
I R
M d M x x
x
MI R R x x

m

( 1;1)A -
. Vi
t
ph

ng
trỡnh
ng
trũn
(
)
C


i qua A, g
c
to



O v ti
p
xỳc v
i

ng
th
ng

(1 ) 1 2
2
2 2 1 1.
2 2
0
2 2 0 .
1
Vậy có hai đờng tròn thỏa y.c.b.t là (C ) : 2 0, (C ) : 2 0,
- + - = =
- - - + -
- + = = =
=
ộ
- =
ờ
=
ở
+ - = + + =
d x y R d I d
a a
a a
a
a a
a
x y y x y x

16)
(
H B
-2006) Cho

n
k

t


M

n

(
)
C
. Vi
t
ph

ng trỡnh
ng
th
ng

1 2
TT
.
Gi ý:

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn

ớ ớ
^ =
ù ù
ợ ợ


0
Đờng tròn (C) có tâm I(1;3) và bán kính
nên M nằm ngoài (C).
Nếu T x là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì:

Ta có:
( ) ( )
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
0 0
2 2
0 0 0 0
1 2
3; 1 , 1; 3 .
2 6 6 0
2 3 0
2 4 0
x y IT x y
x y x y
x y
x y x y
T T
= + - = - -

chõn

ng

cao k

t

B; M, N l
n
l
t
l trung

i
m
c
a
AB v BC. Vi
t
ph

ng trỡnh
ng
trũn qua cỏc

i
m
H, M, N.


ẻ
ù
ợ ợ
ợ
+ + + + =


tọa độ của M, N, H vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:

Vậy phơng trình đờng tròn cần tìm là:
2 2
1
2
2 1
1
2 4 5
2
2 2 2
2
2 0.
a
a c
a b c b
a b c
c
x y x y
ỡ
= -
ù
- =

ng

:3 4 0d x y m- + =
. Tỡm
m


trờn
d
c
ú duy nh
t
m
t


i
m
P m t

P cú th

k


c
hai ti
p

tuyờn PA, PB (A, B l cỏc ti


2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn Trng THPT Phong in

(
)
19
; 6
41
m
d I d
m
=
ộ
=
ờ
= -
ở
Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với (C') tại P

19) (
d b 2007
)
Trong mt phng Oxy cho ng trũn (C)
:
2 2
1x y+ =

A(0,1); B(1,0)
A'( 1,0); B'(0, 1)
ộ
ờ
- -
ởSuy ra phng trỡnh AB
:
1y x= - +
hoc
1y x= - -
.
Cỏch 2:
Phng tr
ỡnh AB cú dng:
y x m
= - +

Pt honh giao im ca AB l
:
2 2 2 2
1 2 2 1 0 (2)( )x x m x mx m+ - + = - + - = (2) cú
/ 2
2
mD = -

Vy phng trỡnh AB :
1y x= - +
hoc
1y x= - -
.
Cỏch
3:
Phng tr
ỡnh AB cú dng:
y x m= - +

G
i H l trung im AB. Suy ra:
(
)
2
2 2 2
d ;
4
AB
OI O AB R AH R
= = - = -

T ú gii phng trỡnh
(
)
d ;
OI O AB=
.
20) (

ẻ d

Vy AI l mt ng chộo ca hỡnh vuụng ngoi tip ng trũn, cú bỏn kớnh
R = 2 , x = 2
v
6x =

l 2 tip tuyn ca (C
) nờn
-
Hoc l A l giao im cỏc ng (d) v

2x =
ị A(2, 1)
-
Hoc l A l giao im cỏc ng (d) v

6
x =
ị
A(6, 5)

- Khi A(2, 1) ị B(2, 5); C(6, 5); D(6, 1)
- Khi A(6, 5) ị B(6, 1); C(2, 1); D(2, 5)
R
H
O
B
A



Phng tr
ỡnh ng trũn (C):
2 2
2 4 2 0x y x y+ - + + =
cú tõm I(1, 2)
3R
=
ng trũn (C') tõm M ct ng trũn (C) ti A, B nờn AB
^
IM t
i trung im H ca on
AB. Ta cú
2
3
2
AB
BH
AH
===
.
Cú 2 v trớ cho AB i xng qua tõm I.

Gi A'B' l v trớ th 2 ca AB
.
G
i H' l trung im ca A'B'

MH
=-=-=3 13
' ' 5
2 2
MH MI H I= + = + =

Ta cú:
2 2 2 2
1
3 49 52
13
4 4 4
R MA AH MH= = + = + = =
43
4
172
4
169
4
3
'
MH
'
H

.

22) (
H
A
-2009)
Trong m
t phng Oxy cho ng trũn
(
)
2 2
: 4 4 6 0C x y x y+ + + + =
v

ng thng
: 2 3 0x my m+ - + =
. Gi I l tõm ng trũn (C), tỡm
m


c
t (C) ti hai
i
m phõn bit A, B sao cho
I AB
cú din tớch ln nht.

Gi ý:

ng trũn


(
)
(
)
2
2
2 3 4 2 3 4 6 0 (*)
- + + - - + + + =my m y my m y

v ch
rừ lỳc ú, phng trỡnh
(*)
cú 2 nghim phõn bit.

Hai giao im
(
)
2 3;- + -
A A
A my m y
v
(
)
2 3;- + -
B B
B my m y
, vi
A
y

)
2 1; 2 , 2 1; 2
A A B B
IA my m y IB my m y= - + - + = - + - +
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY

Luy
ện thi ĐẠI HỌC

2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán Trường THPT Phong Điền

Từ (**) suy ra:
(
)
(
)
(
)

Δ : 0, Δ : 7 0 x y x y- = - =
. Xác định tâm K và bán kính của đường tròn
(
)
1
C
,
biết đường tròn
(
)
1
C
tiếp xúc với
1 2
Δ , Δ
và tâm K thuộc đường tròn (C).

Gợi ý:

G
ọi tâm của
(
)
1
C
là
(
)
(
)

5 5 7
2 50
2
a b a b
a b a b
a b
a b a b
a b b a
a b
é
- = -
- -
= -
é
ê
Û = Û - = - Û Û
ê
ê
- = -
ë
=
ë

Thay vào (1), giải ra kết quả.

24) (
ĐH
D-2009
) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
(

:

2 2 2 2 2
2 . . 1 1 2
OM IM OI IM OI MIO x y= + - Û + = + -
0
cos cos1202 2
3x yÛ + = (2)

Giải hệ (1) và (2), đưa ra kết quả bài toán.

Cách
2:
Đ
ể ý rằng, với các giả thiết đã cho của bài toán, thấy được

0
30MOI =
.
Lúc đó, đi
ểm
M
là giao điểm của 2 đường thẳng
1
D
,
2

y x= -

Kết hợp với giả thiết
(
)
(
)
(
)
2
2
; : 1 1
M x y C x yÎ - + = (1)
, giải hệ và đưa ra kết quả.

25) (
ĐH
A
-2010)
Trong m
ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
1
: 3 0d x y+ =
và
2
: 3 0d x y- =
. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với
1
d
tại A, cắt

Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn Trng THPT Phong in

Do
(
)
1
: 3 0 ; 3ẻ + = ị -A d x y A a a
. M
t khỏc, (T) ct
2
d
ti hai im B, C nờn gi
(
)
(
)
; 3 , ; 3
B b b C c c
.
Ta cú:
(
)
; 3 3AC c a c a= - +

v
1
d



.

Lỳc ú:
(
)
2 ; 2 3C a a- -
.
T
(*) gii ra c ta A, chn honh dng.

XEM LI T!!!!

26) (
H
B
-2010
) Trong m
t phng ta Oxy, cho im
(
)
2; 3A
v elip
(
)
2 2
: 1
3 2
x y

1
2
2 2
1
( 1;0) (1;0).
3
3
2 3 2 3
1;
3 3
,
x y
F F AF
M AF
M MA MF
F MF MN
+
- =
ổ ử
ị = =
ỗ ữ
ố ứ
=
( )
suy ra:
Phơng trình (T):
2
2
2
.

)
/
; : . 0
C x y AC A C =


(1)
.

ý rng, BHCA l hỡnh bỡnh hnh nờn
IA IC=
(2)
T (1) v (2) suy ra, kt lun bi toỏn.

28) (
HDLHV
) Cho

i
m

(
)
8; 1
A -
v
ng
trũn
(
)



i
m
. T
ớnh


d
i MN.
29
) (
CMGTW3
-2004) Cho
ng
trũn
(
)
2 2
: 2 4 0
C x y x y+ + - =
v
ng
th
ng

: 1 0d x y- + =

a. Vi
t

LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán Trường THPT Phong Điền

b. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình
đ
u
ờng
th
ẳng
song song v
ới

d
và c
ắt

đư
ờng
tr
òn t
ại
hai
đ
i

ếp
x
úc v
ới

(
)
C

t
ại
hai
đ
i
ểm
A, Bvà góc ATB b
ằng

0
60
.
30) (
CĐCNHN 2004
)
Cho tam giác ABC, hai c
ạnh
AB, AC theo th
ứ
t
ự

ại
ti
ếp
tam giác ABC.
31) (
CĐCNHN 2005
) Cho tam gi
ác ABC, bi
ết
ph
ươ
ng tr
ình các c
ạnh
AB, BC,
CA l
ần
l
ư
ợt
l
à
2 5 0, 2 2 0, 2 9 0x y x y x y+ - = + + = - + =
. Tìm to
ạ

độ
tâm
đường
tròn n

i
ểm

(5;2)K
thu
ộc
mi
ền
trong c
ủa

(
)
C
. Vi
ết
ph
ươ
ng trình
đường
th
ẳng

d
qua
đ
i
ểm

K sao cho

ến
c
ủa

(
)
C

đ
i qua
đ
i
ểm

(4;0)M
.
b. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa

(
)


a. Vi
ết
ph
ươ
ng trình ti
ếp
tuy
ến
c
ủa

(
)
C

đ
i qua
đ
i
ểm

M
.
b. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình ti

ục
Ox m
ột
g
óc
0
45
.
35
) (
ĐHGTVT
) Cho
đường
tròn
(
)
2 2
: 2 4 4 0C x y x y+ - - - =
và
đ
i
ểm

(2;2)A
. Vi
ết
ph
ươ
ng
trình ti

.
Gợi ý:

Cách
1:
Vi
ết phương trình tiếp tuyến
1 2
,D D
của (C) qua A như trên.Xác đ
ịnh tọa độ M, N tương ứng là các tiếp điểm của
1 2
,D D
và (C).
Tính
AMN
S
.
Cách 2: Dùng
công th
ức phân đôi tọa độ, suy ra phương trình MN là:
4 0+ =x
.

Xét
(
)

3:
Dùng công th
ức
 
2
1
. .sin sin
2 2
AMN
R
S MA NA MAN MAN
D
= =

Với
 
2MAN MAI=
. Tính

MAI
:

sin
IM
MAI
IA
=

36) Cho hai
đường

ện thi ĐẠI HỌC

2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán Trường THPT Phong Điền

a. Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đối
c
ủa
hai
đường
tròn
b. Vi
ết
ph
ươ
ng tr
ình ti
ếp
tuy
ến
chung c
ủa

. Do M, N đối xứng nhau qua O nên
( ; 1)M t t- - -
.
Mặt khác,
(
)
(
)
2 2
2
1
( ) 1 1 3 9 2 0
2
t
M C t t t t
t
= -
é
Î Û - - + - - + = Û - - = Û
ê
=
ë

Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán(1;0), ( 1;0) M N -
và
( 2; 3), (2;3) M N- -


(
)
(
)
2 2
2
1
( ) 1 1 1 1 0
0
t
M C t t t t
t
= -
é
Î Û + + - + - = Û + = Û
ê
=
ë

Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán( 1;2), ( 1; 2)
M N- - -
và
(0;1), (0; 1)
M N -

39) (
Toán

ta tìm
được
phươ
ng trình
(
)
2 2
36 10 43
: 0
7 7 7
C x y x y+ + - - =
.
40) (
Toán h
ọc Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn
(
)
2 2
3
:
2
C x y+ =
và parabol
2
( ) :P y x=
. Tìm
trên (P) đi
ểm M sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C) và hai tiếp
tuyến này tạo với nhau một góc 60
0

)
1 2
2; 2 , 2; 2
M M -
.
Cách 2:
Tương tự cũng tính được

0
60 2 6.AMB OM OA= Û = =www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
ề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
OXY

Luy
ện thi ĐẠI HỌC

2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán Trường THPT Phong Điền

Suy ra
(

ị nhỏ nhất.

Gợi ý:Đường tròn (C) có tâm
(3;2)I
, bán kính
5R =
. Hai tiếp tuyến của (C) song song với
d là
1
Δ : 2 1 0 x y- + =
và
2
Δ : 2 9 0 x y- - =
.

Xác đ
ịnh các tiếp điểm
1 2
, M M
tương ứng
1
Δ
và
2
Δ
với (C). So sánh
(