HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH , NĂM HỌC
2011-2012
Lê Quang Dũng
Trường THPT số 2 Phù Cát , Bình Định
Bài 1 a) Giải phương trình :
Giải : Đk
Biến đổi phương trình về dạng



3 3
( 3)(2 1) 0
2 1 4 1
x x
x x
x x
− −
+ − − + =
− + − +

1 1
( 3) (2 1) 0
2 1 4 1
x x
x x
 
− − − + =
 ÷
− + − +
 


− + − +
,
( ) ( )
( )
2 2
1 1
'( ) 0, 2, 4
2 2 2 1 2 4 4 1
g x x
x x x x
= − − < ∀ ∈
− − + − − +
1
( ) (2) 1 2 2 5
2 1
VT g x g
= ≤ = − = − <
+

Khi đó (*) vô nghiệm
Phương trình đã cho có nghiệm x=3
Bài 1b) Giải hệ phương trình :
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0 (1)
1 3 2 2 0 (2)
x y y x
x x y y

− + − − =

mà :
 Hàm số f(t) nghịch biến trên [-2,0]
,x-1 =>
Nên (1) x-1= y-2  y=x+1
Thay vào phương trình (2) ta được :
2 2 2
1 3 2( 1) ( 1) 2 0x x x x
+ − − + − + + =

2 2
2 1 2 0x x
− − + =


(
)
(
)
2 2
1 3 1 1 0x x
− + − − =

2
1 1x
− =

 x=0
Hệ đã cho có nghiệm : x=0,y=1
Bài 2 : Xét tất cả các tam thức bậc hai f(x) =ax
2

2
+4ac
a,b,c thuộc Z
a c b Chọn
2 1 8<b
2
<9 không
3 1 12<b
2
<16 không
3 2 24<b
2
<25 không
4 1 16<b
2
<25 không
4 2 32<b
2
<36 không
4 3 48<b
2
<49 Không
5 1 20<b
2
<36 Nhận
Với a=5 , c=1 , b=-5 , f(x)=5x
2
-5x+1=0 có 2 nghiệm phân biệt
( )
5 5

bc bc
A
l bc
b c
bc
= ≤ =
+2 cos 2 cos
2 2
cos
2
2
b
B B
ac ac
B
l ac
a c
ac
= ≤ =
+
,

2 cos 2 cos
2 2
cos
2
2

1 3 3
(2cos 1)
2 2 2 2
A B+
≤ − − + ≤

2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos 3 1 9
os os os (cos cos cos )
2 2 2 2 2 2 2 2 4
A B C A B C
c c c A B C
+ + +
=> + + = + + = + + + ≤
Nên
3
2
a b c
l l l ab bc ca
+ + ≤ + +
Dầu bằng xảy ra

a=b=c

ABC đều
Bài 4 : Cho dãy số (u
n
) xác định bởi

( )

+
∑
, tính
Giải :
Ta có :
( )
2
1
3 ( 3 2) 2 6 5 2 3 3 2
k k k
u u u
+
− = − + − + −
1
3 ( 3 2)( 3)( 2)
k k k
u u u
+
− = − − +
1
1 1 1 1
3 ( 3 2)( 3)( 2) ( 3) ( 2)
k k k k k
u u u u u
+
= = −
− − − + − +
1
1 1 1
2 ( 3) ( 3)

=
2
( 3 2)( 3) 0
n
u
− − >
Dấu bằng không xảy ra vì u
1
>

1n n
u u
+
>
 Dãy u
n
là dãy tăng
Mặt khác dãy u
n
không bị chặn trên ,
Thật vậy : Giả sử u
n
không bị chặn trên => u
n
có giới hạn là a
Khi đó :
( )
2
( 3 2) 2 6 5 3 3 3 2a a a
= − + − + −

I(x,0) ,H(0,y)
Ta có H là trực tâm nên
BH AC
⊥
,
CH AB
⊥
,
Ta có ,
( , ), ( , )BH b y AC c a
= − = −
uuur uuur
=> y=
bc
a
−
hay H(0,
bc
a
−
)
, áp dụng BT : 19 sbt hh10nc trang8 ( xeva , menelauyt)
Ta có :
. . 1, . . 1
DB EC FA IB EC FA
DC EA FB IC EA FB
= − =
=>
DB IB
DC IC