Phòng Giáo dục & Đào tạo
___________________
Đề thi học sinh giỏi năm học 2009 2010
Môn toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
__________________________________
Đề thi gồm 01 trang
Họ và tên thí sinh:..................................................................... Chữ ký giám thị 1..............................................................................
Số báo danh:................................................................................... Chữ ký giám thị 2...............................................................................
Bài 1 (4 điểm):
Cho biểu thức
( )
5 2
3 2
4 3 7 12
x
x x
A
x x x x

+ +
=
+
với x

0; x

9; x

16

ữ

và x > 0; y > 0. Chứng minh rằng:
x z z y x y
+ + + = +
Bài 4 (5 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao
cho AD = 3AB. F là giao điểm của DC với đờng tròn tâm O (B và F cùng nằm trên nửa
mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AC). Đờng thẳng Dy vuông góc với DC tại D, cắt tiếp
tuyến Ax của đờng tròn tâm O tại E. H là giao điểm của AF với BC, M là giao điểm của
DH với AC.
a) Chứng minh tứ giác AEDH là hình bình hành.
b) Chứng minh tam giác BED là tam giác cân.
c) Gọi N là giao điểm của DM với BF. Chứng minh BN.MF = NF.BM
Bài 5 (3 điểm):
Cho
ABC

,
2BAC

=
( )
0 0
0 90

< <
; AD là tia phân giác của
BAC


0; x

9; x

16 ta có:
( )
( ) ( )
5 2
3 2
4 3
4 3
x
x x
A
x x
x x

+ +
= 0,5 đ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 4 5 2
4 3
x x x x x
x x
+ +


9; x

16 thì A có giá trị là số nguyên khi và
chỉ khi
4 x

là ớc của 3
0,5 đ
Do đó
4 x

nhận các giá trị -3; -1; 1; 3
0,5 đ
Khi đó x nhận các giá trị 49; 25; 9; 1 0,75 đ
Vì x

9 nên a nhân các giá trị 1; 25; 49. 0,25 đ
Bài 2 (4,5 điểm) Cho hệ phơng trình ( x, y là ẩn, a là tham số):

2
2 1
x ay
ax y
+ =


=

a) Giải hệ phơng trình theo tham số a.


2
2
4
a 2
2 1
a 2
a
x
a
y
+

=


+



=

+

0,5 đ
(1)
(2)
b) Tìm số nguyên a lớn nhất để hệ phơng trình có nghiệm (x
0
, y

>

(3) hoặc
4 0
2 1 0
a
a
+ >


<

(4)
0,5 đ
Giải (3) ta đợc
4
1
2
a
a
<



>


0,5 đ
Giải (4) ta đợc -4 < a <
1

1 1 1
z x y

= +
ữ

và x > 0; y > 0 => z < 0 và xy + yz + xz = 0
0,5 đ
=> z
2
= z
2
+ xy + yz + xz = z(x + z) + y(x + z) = (x + z)(y + z) (1)
0,5 đ
=> (x + z)(y + z) > 0 0,25 đ
Từ
1 1 1
z x y

= +
ữ

=>
1 1 1
0
y z
x z y yz

+
= + = >

( ) ( )
2 2
x z y z x y
+ + + = +
0,25 đ
=>
x z y z x y
+ + + = +
0,25 đ

D
N
M
B
C
A
y
x
E
A
N
I
B
H
M
O
C
F
D
Bài 4 (5 điểm):

90DIE
=
=> EI

BD (0,25 đ)

BED

có EI vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến nên
BED

cân (0,25 đ)
c) Chứng minh BN.MF = NF.BM
Chứng minh
DB DH
DBH DMA
DM DA
=
:
DA DH
DM DB
=
(0,5 đ)

ADH

và
MDB

có

=
=> MN là tia phân giác của góc BMF (0,25 đ)

BMF

có MN là đờng phân giác =>
. .
BN BM
BN MF NF BM
NF MF
= =
(0,25 đ)
Bài 5 (3 điểm):
a)
1
. .sin
2
ABD
S AB AD

=
Kẻ BM vuông góc với AD tại M
AD là phân giác của
BAC

=>
BAD

=
DAC



Kẻ CN vuông góc với AD tại N
Có đợc BM = AB.sin

; CN= AC.sin

=> BM + CN = (AB + AC).sin

0,5 đ
Có đợc BM + CN

BC 0,5 đ
=> (AB + AC).sin


BC =>
sin
BC
AB AC


+
0,25 đ
Mà
2 .AB AC AB AC
+

0,25 đ
=>