MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN TỤC
Trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng
1. Một số bài phương trình hàm liên tục giải bằng cách xét một dãy số hội tụ
-Trong phần này các bài toán phương trình hàm được giải bằng cách sử dụng một định lý quen
thuộc của giải tích, thể hiện mối quan hệ giữa giới hạn hàm và giới hạn dãy.
Định lý 1.1: Cho hàm số
f
xác định trên khoảng
( ; )a b
;
0
( ; )x a b∈
tuỳ ý. Khi đó
a) Điều kiện cần và đủ để
0
lim ( )
x x
f x A
→
=
là với mọi dãy số
( )
n
a
hội tụ về
0
x
ta đều có
lim ( )
n
n

x x
f x f− =
,
x∀ ∈R
Giải: Xét hàm số
( ) ( )
2
x
g x f x= −

x∀ ∈R
. Ta có
g
cũng là hàm liên tục trên tập
R
và
( ( ) ) ( ( ) )
2 3 6 3
x x x x
g x g+ − + =

⇒

( ) ( )
3
x
g x g=
x∀ ∈R
Với mọi số thực
x

….
⇒
0
( ) ( )
n
g x g x=

n∀ ∈N
Cho
n → +∞
và lấy giới hạn, chú ý rằng
lim lim 0
3
n
n
n n
x
x
→+∞ →+∞
= =
ta được
( ) lim ( ) (0)
n
n
g x g x g
→+∞
= =
Suy ra
( )
2

R
và thoả mãn:
( ) ( )af x f bx cx d+ = +
,
x∀ ∈R
Bài toán 3: Xác định hàm số
:[0;1] [0;1]f →
liên tục trên đoạn
[0;1]
và thoả mãn:
1
2 ( ) ( ) ( )
2 2
x x
f x f f
+
= +
,
[0;1]x∀ ∈
(1)
Giải: Do hàm số
f
liên tục trên đoạn
[0;1]
nên nó đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn
này. Giả sử +
[0;1]
( ) max ( )
x
f a M f x

vào (1) ta được:
1
2 ( ) ( ) ( )
2 2
a a
f a f f
+
= +
Kết hợp với tính lớn nhất của
( )f a
suy ra:
1
( ) ( )
2 2
a a
f f M
+
= =
Làm hoàn toàn tương tự ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2
n
a a a
M f a f f f= = = = =
n∀ ∈N
Cho
n → +∞
và lấy giới hạn, chú ý rằng
lim 0
2

(với
onsc c t=
tuỳ ý) thoả mãn đề bài.
Bài toán 4: Xác định hàm số
:f →R R
liên tục trên tập
R
và thoả mãn:
2
1
( ) ( )
4
f x f x= +
,
x∀ ∈R
Giải: Thay
x
bởi
x−
ta được:
2
1
( ) ( ) ( )
4
f x f x f x− = + =
. Như vậy
f
là một hàm chẵn, do đó
ta chỉ cần chú ý đến những giá trị
0x ≥

+
=
, dẫn đến
( ) ( )
n
f x f x=

n∀ ∈N
(2)
Lại có, bằng phương pháp chứng minh qui nạp, ta thu được:
1
1
0
2
n n
x x
+
≤ ≤ ≤
. Như vậy (
n
x
) là
dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi
1
2
, do đó tồn tại
lim
n
n
x a

1
2
x >
. Hoàn toàn tương tự ta cũng xây dựng được dãy (
n
y
):
0 1
1
;
4
n n
y x y y
+
= = −
đơn
điệu giảm (
1
1
2
n n
y y
+
> >
) và
1
lim
2
n
n

Bài toán 5: Giả sử
c
là một số thực tuỳ ý thoả mãn
1
4
c ≤
. Xác định hàm số
:f →R R
liên tục
trên tập
R
và thoả mãn:
2
( ) ( )f x f x c= +
,
x∀ ∈R
2. Hàm liên tục cộng tính
- Ta chú ý rằng tập hữu tỷ
Q
là trù mật của trong tập số thực
R
, vì vậy khi giải các bài toán
xác định hàm số
f
liên tục trên tập
R
, bài toán sẽ coi như được giải xong nếu ta xác định được
tất cả các giá trị
( )f q
,



− = − ∀ ∈

R

(0) 0f+ =

( ) ( )f x f x x+ − = − ∀ ∈R
Tiếp tục lần lượt thay
y x=
và
y nx=
(với
*
n∈N
tuỳ ý) vào (1) suy ra
+
(2 ) 2 ( )f x f x=

+
(( 1) ) ( ) ( )f n x f x f nx+ = +
Vì vậy bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta được:
( ) ( )f nx nf x=

n∀ ∈N
;
x∀ ∈R
(2)
Hơn nữa do



⇒ = = ∀ ∈


+ =


R
Cuối cùng, với mọi số thực
r
tuỳ ý ta viết
lim
n
n
r q
→+∞
=
, với
( )
n
q
là một dãy số hữu tỷ, khi đó
( ) lim ( ) lim ( ( )) ( )
n n
n n
f rx f q x q f x rf x
→+∞ →+∞
= = =
x∀ ∈R

.
Chúng minh rằng hàm
f
có dạng
( )
a
f x x=
x
+
∀ ∈R
(với
onsa c t=
tuỳ ý)
Giải: Đặt
(1)a f=
và xét hàm số
:g →R R
;
( ) ln ( )
u
g u f e=

x∀ ∈R
. Ta có
g
cũng là hàm
liên tục và
( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( )
ln ( ) ln ( ) ( ) ( )
u v u v u v

R
và thoả mãn:
( ) ( ) ( ) 2 ,( =cons )f x y f x f y axy a t+ = + +
,x y∀ ∈R
Giải: Xét hàm số
:g →R R
;
2
( ) ( )g x f x ax= −
. Ta có
g
cũng là hàm liên tục và:
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
g x y f x y a x y f x f y axy a x y
f x f y ax ay g x g y
+ = + − + = + + − +
= + − − = +
,x y∀ ∈R
Vậy
( )g x bx=
x∀ ∈R
(với
onsb c t=
tuỳ ý), dẫn đến
2
( )f x ax bx= +
x∀ ∈R

=
,x y∀ ∈R
(1)
Thay
0y =
vào (1) ta được
( ) 2 ( )
2
x
g x g=
( ) 2 ( ) ( ) ( )
2
x y
g x y g g x g y
+
⇒ + = = +
,x y∀ ∈R
Như vậy
g
là hàm cộng tính liên tục, dẫn đến
( )g x ax≡
( ) (0)f x ax f ax b⇒ ≡ + ≡ +
(với
, =consa b t
)
Bài toán 9: Xác định hàm số
:f →R R
liên tục trên tập
R
và thoả mãn:

x
bởi
x y xy+ +
và kết hợp với (2) được
(2( ) 1) 2 ( ) (1)
=2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) (1)
g x y xy g x y xy g
g x g y g xy g
+ + + = + + +
+ + +
(4)
Chú ý rằng ta có thể viết
2( ) 1 (2 1) (2 1)x y xy x y x y+ + + = + + + +
; vì vậy theo đẳng thức (2),
và sau đó kết hợp với (3) ta được
(2( ) 1) (2 1) ( ) ((2 1) )
2 ( ) (1) ( ) ((2 1) )
g x y xy g x g y g x y
g x g g y g x y
+ + + = + + + +
= + + + +
(5)
Từ (4) và (5) suy ra
(2 ) 2 ( ) ( )g xy y g xy g y+ = +
(6)
Thay
1
2
x = −
vào (6) ta được

và thoả mãn:
2
( ) ( ) ( ( ) ( ))f x y f x y f x f y+ − =
,x y∀ ∈R
(1)
Giải: Ta nhận thấy
( ) 0f x ≡
thỏa mãn bài toán. Bây giờ ta giả sử
0
x∃
sao cho
0
( ) 0f x ≠
Thay
0y =
và
x
=
0
x
vào (1) được
2 2 2
0 0
[ ( )] [ ( )] [ (0)]f x f x f=
(0) 1

(0) 1
f
f
=

x
f =
⇒
1
( ) 0
4
x
f =
⇒
…
⇒
1
( ) 0
2
n
x
f =
n∀ ∈N
Cho
n → +∞
và lấy giới hạn, chú ý rằng
1
lim 0
2
n
n
x
→+∞
=
ta được

bởi
x
, được:
2 2
(( 1) ) (( 1) ) [ ( )] [ ( )]f n x f n x f nx f x+ − =
Do đó, sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp suy ra
2
( ) [ ( )]
n
f nx f x=
,n x∀ ∈ ∀ ∈N R
(3)
Chú ý rằng
f
là một hàm chẵn, nên ta cũng có (3) đúng
n∀ ∈Z
Tiếp tục
r∀ ∈Q
, viết
, , , 0
n
q m n m
m
= ∈ ≠Z
. Khi đó ta có
2
2
2
2
2

f x f a= =
(với
ons , 0a c t a= >
)
*Trường hợp
(0) 1f = −
, ta xét hàm
( )f x−
, khi đó ta cũng có
2
( )
x
f x a− =
(với
ons , 0a c t a= >
)
Vậy hoặc
( ) 0f x ≡
hoặc
2
( )
x
f x a≡
hoặc
2
( )
x
f x a≡ −
(với
ons , 0a c t a= >

(với
, , ( 1;1)x y x y+ ∈ −
)
Bài toán 12: Xác định hàm số
:f →R R
liên tục trên tập
R
và thoả mãn:
( ) ( ) ( )f ax by af x bf y+ = +
,x y∀ ∈R
Trong đó
, 0a b ≠
là hai số thực cho trước.
Bài toán 13: Xác định hàm số
:f →R R
liên tục trên tập
R
và thoả mãn:
( ) ( ) 2 ( 1) ( ) ( ) 4f x y f x y f xy f x f y+ − − = + − −
,x y∀ ∈R
3. Hàm liên tục đơn điệu
Định lý 3.1: Giả sử
f
là một hàm xác định và liên tục trên khoảng
[ ; ]a b
. Khi đó với mọi số
thực
M
nằm giữa
( )f a

sau: a)
(2012) 2011f =
b)
4
( ). ( ) 1f x f x =
x∀ ∈R
(1)
Hãy tính
(2010)f
và
(2009)f
Giải: Kí hiệu
f
D
là tập giá trị của hàm số
f
. Chú ý rằng từ (1) ta có nếu
f
a D∈
thì
0a ≠
và
3
1
( )f a
a
=
, suy ra
f
là đơn ánh trên

và
2011
f
D∈
. Tương tự ta cũng suy ra ngay nhận xét 4 vì
2011 (2012)
f
f D= ∈
và
4
1
(2012)
2011
f
f D= ∈
C/m nhận xét 2: Giả sử ngược lại tồn tại
,
f
a b D∈
thoả mãn
0 a b< <
và
( ) ( )f a f b<
(2).
Đặt
2 2 3 3
min{ , , ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )}m a b f a f b f a f b f a f b=
;
2 2 3 3
max{ , , ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )}M a b f a f b f a f b f a f b=

≠
TH1:
1
( )f a
a
>
(Chú ý
f
a D∈
thì
3
1
( )
f
f a D
a
= ∈
)
⇒

2
1
( ) ( )f a f
a
<
(3)
⇒

3 2
1

. Hoàn toàn tương tự trường hợp này cũng dẫn đến mâu thuẫn
Dựa vào các nhận xét ta có
1
(2010)
2010
f =
và
1
(2009)
2009
f =
Bài toán 15: Cho hàm số
:f →R R
liên tục trên tập
R
và thoả mãn đồng thời hai điều kiện
sau: a)
0
x∃
sao cho
0
( ) 0f x >
b)
4
( ). ( ) 1f x f x =
x∀ ∈R
Chứng minh rằng
2
( ). ( ) 1f x f x =
x∀ ∈R

.
Thay
0x =
vào (1) có
( (0)) (0)f f f=
, suy ra
(0) 0f =
. Bây giờ ta xét hai trường hợp
TH1:
f
là đơn điệu giảm.
Với
x
là một số thực tuỳ ý, ta xây dựng dãy (
n
x
):
0
; ( )
n n
x x x f x= =
. Đây là một dãy truy hồi
tuyến tính cấp hai
1 1
6
n n n
x x x
+ −
= +
có phương trình đặc trưng:

f
là đơn điệu giảm thực sự và
(0) 0f =
nên
+
2
0
k
x >
(3)
+
2 1
0
k
x
+
<
(4)
Từ (2) và (3) suy ra
2
2
2
( ) 2 ( ( ) 3 )
3
k
k
f x x f x x+ > −
k∀ ∈N
Từ (2) và (4) suy ra
2 1

TH2:
f
là đơn điệu tăng, trường hợp này khó hơn ta sẽ xét hàm nghịch đảo
1
f
−
Chú ý rằng Với
0x >
ta có
( ) (0) 0f x f> =
. Lần lượt cho
x → +∞
,
x → −∞
và lấy giới hạn 2
vế của (1) ta được, chú ý rằng
0x >

⇔
( ) (0) 0f x f> =
(và
0x <

⇔
( ) (0)f x f<
) ta được
+
2
lim ( )
x

x
):
0 1
( ); ( )
n n
x f x x f x
+ −
= =
. Đây là một dãy truy
hồi tuyến tính cấp hai
1 1
1 1
6 6
n n n
x x x
+ −
+ =
có phương trình đặc trưng:
2
1
1 1
2
0
1
6 6
3
X
X X
X


+
2
0
k
x >
(6)
+
2 1
0
k
x
+
>
(7)
Từ (5) và (6) suy ra
2
2
2
( ) 3 ( ( ) 2 )
3
k
k
f x x f x x− > − +
k∀ ∈N
Từ (5) và (7) suy ra
2 1
2 1
2
( ) 3 ( ( ) 2 )
3

thoả mãn đề bài.
Bài toán 17: Cho 2 số thực
,a b
sao cho
0a b> >
. Xác định hàm số
:f →R R
liên tục trên
tập
R
và thoả mãn:
( ( )) ( ) ( )f f x a b f x abx= − +
x∀ ∈R
Bài toán 18: Xác định hàm số
:f →R R
liên tục trên tập
R
và thoả mãn:
( 9 ( )) 4 ( )f x f y y f x+ = +
,x y∀ ∈R
(1)
Giải: Thay
0x =
vào (1) được
(9 ( )) 4 (0)f f y y f= +
(2)
Từ (2) dễ dàng suy ra
f
là đơn ánh. Tiếp tục thay
0y =


=

⇒

= −

Bài toán 19: Cho các số thực
,a b
. Xác định hàm số
:f →R R
liên tục trên tập
R
và thoả
mãn:
( ( )) ( )f x af y by f x+ = +
,x y∀ ∈R
(1)
4. Một số bài toán khác
Bài toán 20: Cho
a
là một số thực,
0 1a< <
. Giả sử
f
là một hàm xác định và liên tục trên
đoạn
[0;1]
thoả mãn
( ) (1 ) ( ) ( ) , [0;1];

Bài toán 23: Xác định hàm số
:f →R R
liên tục trên tập
R
và thoả mãn:
( ) ( ) ( ) ( )f x y f xy f y f xy x+ + = + +
,x y∀ ∈R
Bài toán 24: Cho hai hàm số
f
và
g
cùng xác định và liên tục trên tập số thực
R
. Giả sử
f

và
g
đều là các hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở lần lượt là
,a b
. Chứng minh rằng điều kiện cần
và đủ để hàm
( ) ( ) ( )F x f x g x= +
cũng là hàm tuần hoàn là
a
b
là một số hữu tỷ.