TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THÊM
ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH,
HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
Th.S LÊ KHẮC QUYNH


khác. Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực.
Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Trần Thị Thêm MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1:PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 3
1.1.Định nghĩa phép biến đổi Laplace 3
1.1.1 Định nghĩa 3

2.3. Giải phương trình tích phân 43
2.4. Giải phương trình sai phân 43
2.5. Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số bằng số 44
2.6. Giải phương trình vi tích phân 47
Bài tập tham khảo 49
ĐÁP ÁN 51
KẾT LUẬN 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO 56
Phụ lục 57

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân có vai
trò quan trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Nó
cùng với phép biến đổi Fourier là những phép biến đổi hữu ích thường được
sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân…
Nghiên cứu cơ sở của phép biến đổi này người ta có thể biết được cơ sở
của phép tính toán tử để đưa các dạng phương trình trên về dạng đơn giản hơn.
Trong vật lý, phép biến đổi Laplace được dùng để giải các bài toán về
phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hoà, các hệ cơ học


3

CHƢƠNG 1
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.1. Định nghĩa phép biến đổi Laplace
1.1.1 Định nghĩa
Cho
()ft
là hàm số xác định trên nửa khoảng
0;
. Nếu tích phân suy
rộng
0
()
st
e f t dt
(trong đó

F s L f t e f t dt e f t dt
(1.2)
Cận dưới của tích phân bằng 0 nên
()Fs
chỉ mang thông tin về
()ft
với
0t
. Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm biến thực
()ft
thành một hàm biến
phức
0
( ) ( ) ( )
st
F s L f t e f t dt
.
Ví dụ 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm hằng
1ft
, với mọi
0t

Lời giải: 0
00
1
( ) .1 lim .1 lim lim


e i R

và
1
i
e
(1.4)

Bây giờ ta cần chứng tỏ

st
st
e
e dt
s
(1.5)

Với số phức s = a + ib khác 0 tùy ý, theo công thức Euler ta có:
cos sin
a ib t
st at at
e dt e dt e bt dt i e bt dt
(1.6)
Sử dụng nguyên hàm từng phần ta nhận được:
-
-
22
- cos(- ) sin(- ) sin(- ) - cos(- )
at
st

lim lim . lim lim 0
s a ib a
at
e e e e
e

Khi đó ta cũng thu được đẳng thức (1.3). 5

Ví dụ 2. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau
sinf t t

Lời giải:
Theo định nghĩa ta có
00
(sin ) sin lim sin
T
st st
T
L t e tdt e tdt

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
-
2
-
2 2 2
0
(cos .sin )

1
1
0
01
1
lim
st st
st
te e
e dt
s s s2
1
Re( ) 0
s
e
s
s
.
Ví dụ 4. Tìm biến đổi Laplace của các hàm
( ) sin , ( ) cos , 0, -
2
f t bt g t bt b b

Lời giải: 6

(cos ) cos lim cos
st st
L bt e btdt e bt dt

-
22
-
2 2 2 2
22
0
lim .sin - .cos

lim .sin - .cos st
s
e
b bt s bt
sb
es
b b s b
s b s b
s
sb

1.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Laplace
1.1.2.1 Đòi hỏi tính liên tục
Định nghĩa: Một hàm
f


. 7

Ví dụ 6.
2
2
khi 0
()
0 khi 0
t
et
ft
t

0t
.
Ví dụ 7. Hàm
1
12
ft
tt
có điểm gián đoạn tại
1t
và
2t

nhưng không là điểm gián đoạn nhảy tại đó vì:

, v
2
t
f t e

T :
2
00
lim lim
TT
st st t st
TT
e e dt e dt
,
T
.
.
Định nghĩa:
Tích phân (1.1) được goi là hội tụ tuyệt đối nếu tồn tại giới hạn
-
0
lim ( )
st
e f t dt
8

Nếu

T
e f t dt
, với mọi
s
.
1.1.3 Lớp L
Trong phần này ta sẽ chỉ ra một lớp lớn các hàm có biến đổi
Laplace.Trước tiên ta sẽ tìm hiểu khái niệm bậc mũ của một hàm.
Định nghĩa.
Một hàm
f
có bậc mũ nếu tồn tại hằng số
0M
và một số sao cho
.
t
f t M e
với một số
0
tt

Một số ví dụ: Hàm mũ
t
f t e
có bậc mũ λ = a,trong khi
n
f t t
i
0
n

M
0
0t
sao cho
1
t
f t M e
0
tt
.
f
0;
2
M
sao cho
2
f t M
0
0;tt
.
t
e

0
0;t
M
t
f t Me
0t
.

T
st
M
e f t dt
x
. (1.8)
Re s
. 10

8.
t
f t e
, với
0;
:
00
0
1
T
st
st
t st t
e
L e e e dt e dt
ss
.
Re s

(1.9)
Chứng minh:
Theo định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân ta có

11
-
11
00
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
k k k k
k k k k
nn
st st
kk
nn
st
kk
F s L f t e c f t dt c e f t dt
c e f t dt c F s

với Res > max λ
k.
Ví dụ 9. Tìm biến đổi Laplace của hàm Hyperbolic

-
( ) sinh , ( ) cosh
22
at at at at

Ví dụ 10. Tìm biến đổi Laplace của

3
2 sin4
t
f t t e t
.
Lời giải:
Ta có:
.
33
2 sin4 2 sin4
tt
L f t L t e t L t L e L t22
2 1 4
3 16s s s
với
Re 3s
.
1.2.2. Tính chất đồng dạng
Cho hàm
f
có chỉ số mũ λ,
L f F

L f ct e f u du L
c c c
, với
Re s

Ví dụ 11. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau
sinf t bt
, b > 0. 12

Lời giải:
Theo tính chất đồng dạng của biến đổi Laplace ta có:
1
sin
s
L bt F
bb
. Do
sinf t t

Mà
2
1
1
F s L f t
s
.
Từ đó ta suy ra

ta có:
-( - )
-
00
( - ) ( ) ( ( )) ( ( ))
s a t
st at at
F s a e f t dt e e f t dt L e f t

Ví dụ 11. Tìm biến đổi Laplace của
,
at
f t te a
.
Lời giải:
Vì
2
1
L t F s
s
với
Re 0s
nên

2
1
()
()
at
L te F s a


1-
( ( )) ( ). ( - )
as
a
L e F s u t g t a
. (1.12)
Chứng minh:
Ta có

0
( - ) ( ) ( - ) ( ) ( - )
a
st st
a
a
L f t a u t e f t a u t dt e f t a dt

Đặt
– v t a
thì
t v a

- ( )
-
( - ) ( )
s v a
a
L f t a e f v dv


k
ft
tồn tại và là hàm có biến đổi Laplace,
( 1)
(0 )
k
f
tồn tại với
1, ,kn
. Khi đó

( 1)
()
2
(0 ) '(0 ) (0 )
( ) ( ) .
n
nn
n
f f f
L f t s F s
s s s
(1.13)

Chứng minh: 14

Với

N
N
N
f f f
s L f t
s s s
.
Theo trên ta có
'( ) ( ) (0 )L f t sF s f
nên suy ra

( 1)
( 1)
2
'(0 ) ''(0 ) (0 )
( ) ( ) (0 )
N
NN
N
f f f
L f t s sF s f
s s s()
1
21
(0 ) '(0 ) (0 )
( )
N

[cos ] (sin )' . sin
ss
L at L at L at
a a s a
, với
Re 0s
.
Nếu
0a
thì
22
1
[cos ] [1]
s
L at L
s s a
, với
Re 0s
.
Vậy với mọi hằng số
a
, ta có
22
[cos ]
s
L at
sa
, với
Re 0s
.

0
( ) ( )
st
F s e f t dt

00
'( ) ( ) [ ( )] ( )
st st
F s te f t dt e tf t dt L tf t
,
0
Res
.
Điều này nghĩa là (1.12) đúng với
1n
. Giả sử (1.12) đúng với
*
nN
,
Khi đó
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
NN
L t f t L t t f t

( 1)
()
( ) ( ) ( ) '( ) ( )
N
N

2
sin ( )sin
()
d a sa
L t at L t at
ds s a s a
, 16

Suy ra
23
2
2 2 2 2 2 3
2 6 2
sin ( ) sin
( ) ( )
d sa s a a
L t at L t t at
ds s a s a
.
1.2.7. Tính chất tích phân gốc
Cho
()ft
liên tục và thỏa mãn
( ) ( )L f t F s
. Khi đó,
hàm
0


00
| ( )| ( ) | ( )|
tt
g t f d f d0 0 0
( ) ( ) ( )
1
0
0
0
t
t
t
M
M e d e M e
.
Vậy
()gt
là hàm gốc.
Do
0
( ) ( )
t
g t f d
nên
'( ) ( )g t f t
, nếu đặt

Do
sin 1
arctan arctan
2
t
Ls
ts
nên ta có

0
sin 1 sin 1 1
( ) arctan
t
ut
L Si t L du L
u s t s s
với
Re 0s
. 17

1.2.8. Tính chất tích phân ảnh
Nếu
( ) ( )L f t F s
và
()ft
t
là hàm gốc thì

. Theo giả thiết
()gt
là hàm gốc nên
(Re ) ( Re 1)
00
| ( )| | ( )|
z t z t
G z e g t dt M e dt( Re 1)
0
Re 1 Re 1
zt
e M M
M
t
zz
,
Trong đó
Re 1 0z
,

là chỉ số tăng của
g
. Từ đó suy ra
Re
lim ( ) 0
z
Gz

1
( ) sin
1
F s L t
s
với
Re 0s
. Do đó 18 2
sin 1
arctan arctan
12
s
t du
Ls
t u s
với
Re 0s
.
1.2.9. Tính chất ảnh của tích chập
Định nghĩa tích chập. Cho hai hàm số
()ft
và
()gt
liên tục từng khúc.

Thật vậy,
1 1 1
00
* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tt
f g t f g t d f t f d t

1 1 1
0
( ) ( ) * ( )
t
f t g d g f t
.
Định lý: Giả sử
( ) ( ), ( ) ( )L f t F s L g t G s
,
()ft
và
()gt
là các
hàm liên tục từng khúc trên một khoảng hữu hạn của . Nếu ta xem
()ft
và
()gt
xác định trên , triệt tiêu trên khoảng
( ;0)
thì

* ( ) ( ). ( )L f g t F s G s
. (1.17)

s
D
e f g d d
.
Ở đây D là góc phần tư thứ nhất trên mặt phẳng toạ độ. Thực hiện phép
đổi biến
12
t
,
2
thì miền D đổi thành miền D
1
bao bởi trục thực
dương và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Khi đó ta có:

( ). ( )F s G s
1
( ) ( )
st
D
e f t f dtd00
( ) ( )
t
st
e f t f d dt
rằng nếu hàm gốc tồn tại là duy nhất. 20

1.3.2. Định lý (Lerch)
Các hàm xác định liên tục trên
0;
có biến đổi Laplace ngược hoàn
toàn xác định.
Tính chất của biến đổi Laplace ngược (tính chất tuyến tính).
Cho các hàm
k
f
và các hàm ảnh tương ứng
k
Fs
,
k
c
là các hằng số, k
=1, 2, …, n. Khi đó

11
11
nn
k k k k
kk
L F s L c F s c f t
(1.19)

2
14
( )
4
Fs
s
s

Ta tìm tìm hàm gốc của các hàm
1
s
và hàm
2
4
4s
. Khi đó ta sẽ có hàm
gốc cần tìm là
1 1 1
2
14
1 2sin
4
f t L F s L L t
ss

- Theo tính chất đồng dạng.