SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO

CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG MÔN VẬT LÍ
TÊN CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Giáo viên: Lê Văn Tuệ
Tổ: Lí - Hóa - Sinh
Tam Đảo, tháng 03/2014
1
CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG MÔN VẬT LÍ LỚP 12
TÊN CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. Giáo viên: Lê Văn Tuệ
II. Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 12
Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 4tiết
III. Hệ thống kiến thức sử dụng trong chuyên đề :
1.Dao động điều hòa
1.1. Phương trình động lực học của dao động và nghiệm của nó
Dao động cơ học là chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng.
Xét dao động của vật nặng (m) gắn với một lò xo có độ cứng k.
- Phương trình động lực học của vật :
2
'' 0x x
ω
+ =

ω ϕ
là pha dao động tại thời điểm t.
•

ϕ
là pha ban đầu,tức là pha
t
ω ϕ
+
tại thời điểm
0t
=
.
•

ω
là tần số góc của dao động,đơn vị là rad/s
1.3. Chu kỳ và tần số của dao động điều hòa
- Chu kỳ T là khoảng thời gian vật thực hiện được một dao động toàn phần
1t
T
N f
= =
(s)
với t là khoảng thời gian vật thực hiện được N dao động.
- Tấn số f là số dao động vật thực hiện được trong 1 giây:
1
f
T
=

và
2
a x
ω
= −
.
+ Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc 1 lượng
2
π
.
+ Gia tốc ngược chiều với li độ và có độ lớn tỉ lệ với li độ.
+ Khi ở 2 biên
x A
= ±
⇒
2
max
a A
ω
=
.
+ Khi ở VTCB
0x
=
thì
0a
=
.
1.5. Điều kiện ban đầu sự kích thích dao động
Xét một vật dao động là con lắc lò xo.Kích thích vật bằng cách đưa nó ra khỏi vị trí cân


= = − =

Vậy phương trình dao động của dao động điều hòa là :
os
o
x x c t
ω
=
.
2. Hệ dao động
- Hệ dao động là hệ gồm vật dao động và vật tác dụng lực kéo về (lực phục hồi) gây nên dao
động
- Dao động của hệ xảy ra chỉ do tác dụng của nội lực gọi là dao động tự do. Một vật hay một
hệ dao động tự do theo một tần số góc xác định là tần số góc riêng của vật hay hệ đó.
3. Năng lượng trong dao động điều hòa
3.1. Sự bảo toàn cơ năng
Trong các con lắc mà ta xét ở chương này thì vật nặng chịu tác dụng của lực đàn hồi (
xF k= −
) hoặc trọng lực (
P mg=
) là các lực thế,do đó cơ năng của vật dao động được bảo toàn.
3.2. Biểu thức của động năng,thế năng,cơ năng
Xét con lắc lò xo dao động theo phương trình: x =
os( t+ )Ac
ω ϕ
.
•
Động năng của vật W
đ

=
2 2
1
os ( )
2
kA c t
ω ϕ
+
.
•
Cơ năng của vật bằng tổng của động năng và thế năng của vật
W = W
t
+ W
đ
=
2
1
2
kx
+
2
1
2
mv
=
2
1
2
kA

trong đó :
Biện độ xác định là :
2 2
1 2 1 2 2 1
2 cos( )A A A A A
ϕ ϕ
⇒ = + + −
Pha ban đầu được xác định :
1 1 2 2
1 2 2 2
sin sin
tan
cos cos
A A
A A
φ φ
ϕ
φ φ
+
=
+
* Nếu hai dao động thành phần:
- Cùng pha:
1 2
2n A A A
ϕ π
∆ = ⇒ = +
và
1
ϕ ϕ

n
π
ϕ
∆ = +

2 2
1 2
A A A⇒ = +
4
- Lệch pha bất kỳ:
21
AA
−
< A <
21
AA
+
5. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều,biểu diễn dao động điều
hòa bằng vectơ quay. Phương pháp đường tròn lượng giác.
5.1. Chuyển động tròn đều và các đại lượng đặc trưng
* Chuyển động tròn đều là : “chuyển động chất điểm đi được những cung tròn bằng nhau
trong những khoảng thời gian bằng nhau.”
* Các đại lượng đặc trưng của chuyển động tròn đều :
+ Chu kỳ T là khoảng thời gian chất điểm đi hết một vòng trên đường tròn
+ Tần số f là số vòng chất điểm quay được trong một đơn vị thời gian
+ Liên hệ giữa chu kỳ và tần số
1
T
f
=

như sau :

- Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vectơ
OM
uuuur
chính là li độ x của dao động.
5
x
M
O
A
A
−
( )
−
( )
+
ϕ
P
- Khi véc tơ
OM
uuuur
quay đều với tốc độ góc
ω
quanh điểm O thì hình chiếu P của điểm M dao
động điều hòa trên trục ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của
M,biên độ bằng độ dài vectơ
OM
uuuur
,tốc độ góc đúng bằng tần số góc

π
=
Hz.
** Chiều dài của lò xo:
- Nếu lò xo nằm ngang
+ Chiều dài lò xo tại VTCB :
cb o
l l=
,
o
l
là chiều dại tự nhiên của lò xo
+ Chiều dài lớn nhất của lò xo :
axm cb
l l A= +
+ Chiều dài nhỏ nhất của lò xo :
min cb
l l A= −
- Nếu lò xo treo thẳng đứng :
+ Lò xo sẽ bị giãn một đoạn
mg
l
k
∆ =
(m).
+ Chiều dài lò xo tại VTCB là :
cb o
l l l= + ∆
.
+ Chiều dài lớn nhất của lò xo là :

ax
( )
m
dh
x A F k l A= ⇒ = ∆ +
- Lực đàn hồi đạt giá trị cực tiểu tại vị trí cao nhất
min
( )
dh
x A F k l A= − ⇒ = ∆ −
6
Chú ý vì giá trị của
dh
0F ≥
nên
l A∆ ≤
thì
min
dh
0F =
.
** Lực phục hồi
+
ph
xF k= −
luôn hướng về vị trí cân bằng.
+ Độ lớn
2
ph
F k x m x

1 1 1
W W W W ( 1) ( 1)
2 2 1
d t t
n n kA kx n x A
n
= ⇒ = + ⇔ = + ⇔ = ±
+
+ Cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ với bình phương biên độ dao động và luôn là một hằng số.
+ Động năng và thế năng của vật biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ là
' , ' 2 , ' 2
2
T
T f f
ω ω
= = =
+ Ta sẽ vận dụng mối liên hệ giữa DĐĐH và chuyển động tròn đều để giải 1 số dạng bài tập của
con lắc lò xo như :
- Viết phương trình dao động,
- Tính thời gian,chu kỳ,tần số,tần số góc
- Tính các đại lượng đặc trưng như độ cứng k,khối lượng m
- Các bài toán thời gian liên quan tới các lực.
** *Bài toán xác định thời gian lò xo nén,thời gian lò xo giãn trong một chu kỳ dao
động.
-Ban đầu lò xo có chiều dài tự nhiên
o
l
- Sau khi treo quả nặng lò xo giãn ra 1 đoạn
mg
l

= −
rồi quay lại
x l
= −∆
nghĩa là thời gian
( )l A l−∆ → − → −∆
.
- Thời gian lò xo giãn trong một chu kỳ chính là thời gian vật đi từ vị trí có li độ
x l
= −∆
đến
x A
=

rồi quay lại
x l
= −∆
nghĩa là thời gian
( )l A l−∆ → → −∆
.
+ Từ hình vẽ trên : Thời gian lò xo nén trong 1 chu kỳ là thời gian vật quay được góc
2
α
.Ta có
én
2
n
t
α
ω

α
∆
=
hoặc
ãn éngi n
t T t= −
.
IV. Hệ thống các dạng bài tập thường gặp
1.Bài toán về viết phương trình dao động điều hòa
2.Bài toán tính thời gian vật đi từ vị trí
1
x
đến vị trí
2
x
.
3.Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong thời gian t
4.Bài toán tính quãng đường lớn nhất,nhỏ nhất vật đi được trong thời gian t.
5.Bài toán xác định số lần,thời điểm vật đi qua vị trí x sau thời gian t
6.Xác định thời điểm của vật khi đã đi qua vị trí x,N lần.
7.Bài toán xác định tốc độ trung bình của vật khi vật đi từ vị trí
1 2
x x→
8.Các dạng bài tập liên quan tới DĐĐH của con lắc lò xo
V. Hệ thống các bài tập cụ thể minh họa:
1.Dao động điều hòa
1.1.Bài toán về viết phương trình dao động điều hòa
1.1.1.Phương pháp giải
+ Bước 1 : Chọn hệ quy chiếu biểu diễn dao động điều hòa
- Xác định trục tọa độ: Có phương là phương dao động,gốc là VTCB O của vật,chiều dương

α
1
α
2
M
- Xác định gốc thời gian
0t
=
,nếu đề bài không cho thì thường chọn gốc thời gian là lúc bắt
đầu dao động.Nếu không xác định được thời điểm vật bắt đầu dao động thì chọn thời điểm
ban đầu là lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương.
- Biểu diễn dao động điều hòa : Vẽ đường tròn lượng giác biểu diễn các giữ kiện của đầu bài
lên đường tròn lượng giác như : vận tốc,li độ ban đầu…
+ Bước 2 : Viết phương trình dao động
os( )x Ac t
ω ϕ
= +
(1)
+ Bước 3 : Dựa vào các điều kiện của bài toán đã
cho và các công thức liên quan để tim ra các giá trị
cụ thể của
, ,A
ω ϕ
rồi thay vào (1)
- Xác định
2
2
k
f
m T

theo chiều ban đầu.
⇒
Cuối cùng ta thay các giá trị của
, ,A
ω ϕ
vào phương trình (1).
1.1.2.Ví dụ minh họa
1. Hãy biểu diễn các PTDĐ sau trên đường tròn lượng giác
a.
10 os(2 )x c t
π
=
cm.
b.
5 os( )
2 2
x c t
π π
= −
cm.
HD:
a.
10 os(2 )x c t
π
=
cm. Ta vẽ đường tròn xác định
+ Biên độ
10A
=
cm.

x
M
O
10
10
−
( )
−
( )
+
0
ϕ
=
0t
=
b.
5 os( )
2 2
x c t
π π
= −
cm.
Ta vẽ đường tròn xác định
+ Biên độ
5A
=
cm.
+ Vì
2
OM

.
Biên độ dao động của vật được tính bởi công thức:

+
2 2
2
2
2 2
10
3 2
10
v
A x cm
ω
= + = + =
.
Từ hình vẽ ta có: Có hai vị trí trên đuờng tròn, mà ở đó đều có vị trí x =
3
cos
ϕ
3
2
=

ϕ
⇒ =
6
π
−
rad hoặc

3. (ĐH – 2011).Một chất điểm dao động điều hòa trên trục ox,trong thời gian
31,4s
chất điểm thực
hiện được
100
dao động toàn phần.Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí
2x cm
=
theo chiều
âm với tốc độ là .
40 3 /cm s
,lấy .
3,14
π
=
.Phương trình dao động của chất điểm là:
A.
6cos(20 )
6
x t
π
= −
cm B.
4cos(20 )
3
x t
π
= +
cm
C.

A
−
A
O
1
M
2
M
3
π
ϕ
=
( )
−
( )
+
x
M
O
5
5−
( )
−
( )
+
2
π
ϕ
= −
0t

⇒
4A =
(cm)
+ Tại thời điểm ban đầu t = 0 có x = 2 cm,v =
40 3−
cm/s vật chuyển động theo chiều âm,ta có
hình vẽ :
Từ hình vẽ thấy:
2 1
os
4 2
x
c
A
ϕ
= = =

3
π
ϕ
⇒ =
rad hoặc
3
π
ϕ
= −
rad
Trên đường tròn có 2 vị trí thỏa mãn nhưng vì vật chuyển động theo chiều(-) nên từ hình vẽ
3
π

π
= −
cm
C.
4 os(4 )
4
x c t
π
π
= +
cm D.
4 os(4 )
6
x c t
π
π
= −
cm
HD:
+
2 4f
ω π π
= =
(rad/s)
+ Khi vật đi qua VTCB thì tốc độ của vật đạt giá trị cực đại
max
v A
ω
=
⇒

π
ϕ
⇒ =
hoặc
4
π
ϕ
⇒ = −
Trên đường tròn có 2 vị trí
thỏa mãn,vì vật chuyển động theo chiều (+) nên ta chọn
4
π
ϕ
= −
là thỏa mãn.
Vậy ptdđ của vật là :
4 os(4 )
4
x c t
π
π
= −

⇒
đáp án B.
**Chú ý :
Khi làm bài trắc nghiệm tại thời điểm t=0 thì vận tốc :
sin 0v A
ω ϕ
= − <

x
- Như ví dụ 3(ĐH – 2011). Ta thấy :
+ 4 đáp án có cùng
20
ω
=
rad/s
⇒
20
ω
=
rad/s
+ Vật chuyển động theo chiều (-)
0
ϕ
⇒ >
⇒
loại A và B.
+ Ta nhận thấy A
C
khác A
D
sử dụng công thức độc lập với thời gian tìm được
4A =
cm
⇒
nhận
phương án C mà không cần tìm
ϕ
.Hoặc thấy vì

cm và đang chuyển động
nhanh dần.
4. Vật dao động điều hòa với biên độ là 10cm,chu kỳ là 2s.Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí
có vận tốc dương và có giá trị bằng một nửa vận tốc tại vtcb,biết rằng vật đang chuyển động chậm
dần.Viết ptdđ của vật trên.
ĐS: 1.
5 os( )
3
x c t
π
π
= +
cm
2.a. Vật có gia tốc cực tiểu
0 0v
ϕ
> ⇒ <
4 os( )
2 2
x c t
π π
⇒ = −
cm.
b.
ax
0 0 à 0
m
v x v
ϕ
< ⇒ = >

0
ϕ
⇒ >
5 os(2 )
8
x c t
π
π
⇒ = +
cm.
4. Biến đổi từ biểu thức của x và v ta có biểu thức
+
2 2
2 2
ax
1
m
x v
A v
+ =
,
ax
1
2
m
v v=
3
2
A
x⇒ = ±

và
2
x
trên đường tròn lượng giác
- Chọn chiều (+) trùng chiều với trục ox.
- Xác định vị trí,thời điểm ban đầu của vật và biểu diễn
1
x
và
2
x
,xác định chiều chuyển
động từ
1
x
đến
2
x
.
+ Bước 2: Xác định góc quét
ϕ
chắn cung vật đi được từ
1
x
đến
2
x
.
+ Bước 3: Thời gian quét cung vật đi được từ
1

2x
=
cm
b.
2 3x =
cm
c.
4x =
cm
HD:
+ ta thấy
2
π
ϕ
= −
⇒
véctơ
OM
uuuur
vuông góc với
ox
uur
và vật đang chuyển động theo chiều (+),vậy ban
đầu vật đang ở vị trí cân bằng O và đang chuyển động theo chiều dương.
a.Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng
0 2x x cm
= → =
theo chiều (+).
Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm
1

=
tới
2 3x =
theo chiều (+)
Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm
1
M
tới điểm
3
M
,
Từ hình vẽ dưới ta có :
2 3 3
sin
4 2 3
π
ϕ ϕ
∆ = = ⇒ ∆ =
(rad)
có :
1
3.2 6
t
ϕ π
ω π
∆
∆ = = =
(s).
c. Thời gian vật đi từ
0x =

∆
∆ = = =
(s).
2. Một vật dao động có phương trình :
os( )x Ac t
ω ϕ
= +
.Tính thời gian
a.Vật đi từ vị trí
0x
=
theo chiều (+) tới vị trí
x A
= −
.
13
x
O
A
A
−
( )
−
( )
+
ϕ
∆
1
x
1

−
4
2 3
3
M
ϕ
4
M
b.Vật đi từ vị trí
3
2
A
x = −
đến vị trí
2
A
x =
theo chiều (+).
HD:
a.Ta biểu diễn các dữ kiện lên hình vẽ :
Thời gian cần tính là thời gian vật quét cung
1 2
M AM
và bằng thời gian vật đi từ
0x x A x A= → = → = −
Từ hình vẽ bên ta có: Góc chắn cung
1 2
M AM
là :
3

Thời gian vật đi từ
x A x A= → = −
là
2
. .
2 2 2
T
t T T
ϕ π
π π
∆
∆ = = =
Thời gian cần tính là
1 2
3
4 2 4
T T T
t t t∆ = ∆ + ∆ = + =
.
b. Thời gian vật đi từ vị trí
1
3
2
A
x = −
đến vị trí
2
2
A
x =

s
A
π
ϕ ϕ
= = ⇒ =
(rad)
1 2
3 6 2
π π π
ϕ ϕ ϕ
⇒ ∆ = + = + =
(rad)
. .
2 2.2 4
T
t T T
ϕ π
π π
∆
⇒ ∆ = = =
.
VD3(ĐH – 2008).Một vật dđđh có biên độ là A,chu kỳ T,chọn gốc thời gian lúc
0t =
là lúc vật qua
VTCB thì trong nửa chu kỳ đầu tiên vận tốc của vật bằng không ở thời điểm:
A.
6
T
B.
4

t T
π ϕ
ϕ
π
∆
∆ = ⇒ = =
14
A
1
M
x
A
−
( )
+
2
M
O
( )
−
π
2
π
x
1
M
O
( )
−
( )

Thời gian giữa hai lần liên tiếp li độ của vật đạt giá trị cực đại là
A.
3
T
B.
2
T
C.
6
T
D.
12
T
HD:
Li độ x của vật đạt giá trị cực đại tại 2 vị trí biên
+Giả sử
axm
x A= −
là vị trí li độ đạt giá trị cực đại lần thứ nhất

axm
x A=
là giá trị cực đại lần thứ Hai.Vậy thời gian giữa 2 lần liên
tiếp li độ đạt giá trị cực đại là thời gian vật đi từ vị trí
x A= −
tới
axm
x A=
Góc quét
2 2

∆ = ⇒ ∆ = =
Theo bài ra thời gian vật đi từ vị trí
0 0v v
= → =
là
1
0,25s 0,25 0,5 2 z
2
T
T s f h
T
⇒ = ⇒ = ⇒ = =
.
+ Theo bài ra vật đi từ vị trí
0 0v v
= → =
ứng với
0x A x x A
= − → = → =
hết quãng đường là 36 cm,từ hình vẽ ta thấy
2 36 18A A cm= ⇒ =
.
Lưu ý:
+ Ta thấy 1 chu kỳ,vật quay được 1 vòng tròn quét được 1 góc
360
o
ϕ
=
+ Một đường tròn chia làm 4 phần bằng nhau,thời gian quét từng phần đó là như nhau và đều
bằng

đến
5x cm
=
.
15
O
axm
x A
=
axm
x A
= −
( )
−
( )
+
1
M
2
M
π
x
O
A
A
−
( )
−
( )
+

T
B.
8
T
C.
12
T
D.
6
T
ĐS:
1.a.
6
T
t =
b.
3
T
t =
c.
3
T
t =
d.
7
24
T
t =
e.
2

ω π
= =
ta xác định góc mà vật quét được

.2
.
t
t
T
π
ϕ ω
= =
rad.
Từ hình vẽ ta có thể nhận thấy nếu vectơ
OM
uuuur
quét được 1 góc
π
thì vật đi được quãng
đường là 2A mà không phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối.Vậy khi
OM
uuuur
quay được 1 góc
n
ϕ π
=
thì hình chiếu của M luôn đi được quãng đường là
2S nA=
( n nguyên).
Nếu góc

tính từ
vị trí biên hay CTCB thì quãng đường vật đi được là A còn tính từ các vị trí khác thì quãng đường
đi được khác A
16
x
O
A
A
−
( )
−
( )
+
π
A
A
+ Tại thời điểm ban đầu vật xuất phát từ đâu thì sau
t nT
=
vật quay trở lại đúng vị trí ban đầu đó.
1.3.2.Ví dụ minh họa.
1.Một vật DĐĐH có phương trình :
4 os(4 )
2
x c t
π
π
= +
cm.Tính quãng đường vật đi được :
a.Trong 2 s kể từ vị trí ban đầu.

⇒

. 2,325.4 9,3 9 0,3t
ϕ ω π π π π
= = = = +
rad.
⇒
Quãng đường cần tính
1 2
S S S= +
.
+
1
S
là quãng đường vật quét góc
1 1
9 2.9A 18A 72S cm
ϕ π
= ⇒ = = =
.
+
2
S
là quãng đường vật quét góc
2
0,3
ϕ π
=
rad.
+ Sau khi vật đi được quãng đường

4.sin 0,3 3,24S x cm
π
⇒ = = =
Vậy tổng quãng đường vật đi được là
1 2
72 3,24 75,24S S S cm= + = + =
2.Một vật DĐĐH dọc theo trục ox có phương trình :
2 os(4 )
3
x c t
π
π
= −
cm.Kể từ thời điểm ban đầu
quãng đường vật đi được trong 1,125s đầu tiên là:
A.
18cm
B.
17,23cm
C.
16cm
D.
10cm
HD:
+ Ban đầu vật đang ở vị trí
1
1x cm=
và đang chuyển động theo chiều dương.
+ Trong 1,125 s
⇒

M
O
4
4
−
( )
−
( )
+
2
ϕ
1
M
x
M
- Sau khi vật đi được quãng đường
1
S
tức là vật quét được góc
1
4
ϕ π
=
ứng với 2 chu kỳ thì vật đang
ở vị trí ban đầu
1
1x cm=
đang chuyển động theo chiều dương như hình vẽ:
+ Giả sử vật quét được 1 góc
0,5

2 2 2
os .sin 2. os 3
6
x
c x A c cm
A
π
ϕ ϕ
= ⇒ = = =
.
Từ hình vẽ bên ta suy ra quãng đường
2 1 2 2 2 1 2 2
1 2 3 1,27
S x M M x x M A Ox
cm
= + = + −
= + − =
Vậy tổng quãng đường vật đi được là
1 2
16 1,27 17,27S S S cm= + = + =
.
3.Một DĐĐH dọc theo trục ox có phương trình :
10 os( )
2
x c t
π
π
= −
cm
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ

đầu
+ Có
1
1
2 3
2
4 2 4
t T T
T s t
T
π
ω
= = ⇒ = ⇒ = +
.Vì ban đầu vật ở vị trí cân bằng theo chiều dương nên
sau thời gian
1
3
4
T
t =
vật đi được quãng đường là
1
2 3S A A A= + =
* Ta tính quãng đường
2
S
vật đi được trong thời gian
2
13
3

π

như hình vẽ
+ Ta có:
3
sin .sin
3 3 2
x A
x S A
A
π π
= ⇒ = = =
cm.Quãng đường
2
3
8
2
A
S A= +
.
18
x
A
−
A
( )
−
O
( )
+

ϕ
O
+ Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ
1
1,5t s=
tới
2
13
3
t s=
là
2 1
3 3
8 3 5 50 5 3
2 2
A A
S S S A A A∆ = − = + − = + = +
cm.Chọn đáp án B.
4.Một vật dao động điều hòa đi từ điểm M trên quỹ đạo đến vị trí cân bằng hết thời gian là
3
T
.Trong
thời gian
5
12
T
tiếp theo vật đi được quãng đường là 15cm.Vật tiếp tục đi thêm 0,5s nữa thì trở về vị
trí ban đầu.Xác định chu kỳ và biên độ A của dao động.
A.
2 , 5T s A cm= =

ứng với cung
BD
trên đường tròn
+ Quãng đường vật đi được tương ứng là
2 2S OC CN OC ON A ON
= + = − = −
+ Có
os
3 2 2
ON OC A
c ON
OC
π
= ⇒ = =
+ Vậy
3
2 15 10
2
A
S OC ON A cm= − = = ⇒ =
.Chon đáp án D.
1.3.3.Bài toán tính quãng đường lớn nhất,nhỏ nhất vật đi được trong thời gian t.
1.3.3.1.phương pháp giải
Từ tính chất của DĐĐH ta nhận thấy : Vận tốc của vật lớn nhất khi qua VTCB,nhỏ nhất khi đi
qua hai vị trí biên,vì thế trong cùng một khoảng thời gian quãng đường vật đi được càng lớn khi vật
càng ở gần VTCB và càng nhỏ khi vật ở gần vị trí biên.Ta sử dụng mối liên hệ giữa DĐĐH và chuyển
động tròn đều.
Ta có
.2
.

19
x
D
O
( )
−
( )
+
B
N
M
3
π
2
π
C
A
x
O
A
A
−
( )
+
ϕ
1
x
1
M
2

ϕ
⇒ = −
.
*TH2. nếu t >
2
T
hay góc quét
.t
ϕ ω
=
>
π
.
- Ta tách
1
n
ϕ π ϕ
= + ⇒
quãng đường cần tính
1
2S nA S= +
với
1
S
là quãng đường vật quét
được góc
1
ϕ
.
- Quãng đường lớn nhất

3A
D.
2A
HD:
+ Ta có
2 2
. . .
4 2 2 4
T
t t
T T
π π π ϕ π
ϕ ω
= = = = ⇒ =
+ Ta thấy
4
T
<
2
T

ax
2 sin 2 .sin 2
2 4
m
S A A A
ϕ π
⇒ = = =
.Vậy chọn đáp án D.
VD2.Một vật DĐĐH có phương trình

rad.
- Quãng đường lớn nhất vật đi được là:
1
ax 1 ax
2 2A( sin ) 2.5.(4 sin ) 47,1
2 4
m m
S nA S n cm
ϕ π
= + = + = + ≈
.
- Quãng đường nhỏ nhất vật đi được là:
1
min 1min
2 2A( 1 os ) 2.5.(4 1 os ) 42,93
2 4
S nA S n c c cm
ϕ π
= + = + − = + − ≈
.
***Chú ý
+ Trong một phần tư chu kỳ
4
T
t =
thì quãng đường lớn nhất mà vật đi được là
2A
,quãng
đường nhỏ nhất vật đi được là
(2 2)A −

ĐS:
1.Tần số góc của vật là
2 /
2
f rad s
π
ω π
= =
.Ta tính được góc quét
ϕ
cho từng trường hợp.
a.
2S A
=
b.
10S A
=
2.
22S A
=
.
3. Góc quét
7 14 2
.2 4
3 3 3
π π
ϕ π π
= = = +
.
+ Quãng đường vật đi được

** Phương pháp
- Ta xác định vị trí ban đầu,chiều chuyển động ban đầu của vật,biểu diễn trên đường tròn
lượng giác.
- Xác định góc quét
.t
ϕ ω
=
+ Ta nhận thấy: Trong 1 chu kỳ T vật dao động quay được 1 góc
2
ϕ π
=
thì vật luôn luôn qua vị trí
x bất kỳ 2 lần và chỉ qua 2 vị trí biên
x A
=
và
x A
= −
một lần.
+ Nếu
2n
ϕ π
=
thì số lần vật qua vị trí x bất kỳ
khác 2 vị trí biên là
2N n=
lần.
21
x
O

ϕ
.Ta sẽ dựa vào hình
vẽ để xác định số lần còn lại.
1.4.2.Xác định thời điểm của vật khi đã đi qua vị trí x,N lần.
+ Với bài toán này ta vận dụng và kết hợp với bài toán xác định thời gian của vật khi đi từ vị trí
1 2
x x→
và bài toán xác định số lần vật qua vị trí x trong thời gian t.
1.4.3.Ví dụ minh họa.
1.Một vật dao động DĐĐH với phương trình
3 os(2 )x c t
π π
= +
cm.Kể từ thời điểm ban đầu hãy xác
định số lần vật qua vị trí:
a.
1,5x cm=
trong 4s đầu tiên
b.
1,5x cm= −
trong
6
5
s
đầu tiên
c.
3x cm=
trong
2,75s
đầu tiên

n
là số lần vật đi qua
1,5x cm= −
và quét góc
1
0,4
ϕ π
=
.
+ Từ thời điểm ban đầu vật đi qua. Vị trí
1,5x cm= −
2 lần rồi sau đó vật trở
Về vị trí ban đầu
3x cm= −
và tiếp tục quét góc
1
0,4
ϕ π
=
từ vị trí
1 2
M M→
.Từ hình vẽ bên ta có
1 1
os os 3 os0,4 0,93
x
c x Ac c cm
A
ϕ ϕ π
−

2 lần.Sau đó vật trở về vị trí ban đầu biên âm
3x cm= −

22
x
1
M
O
3
3
−
( )
+
1
ϕ
x
1,5
−
2
M
x
O
3
3−
( )
+
1,5
π
0t
=

A.7 lần B.6 lần C.4 lần D.5 lần
HD:
+ Ta viết lại phương trình
3sin(5 ) 3 os(5 )
6 3
x t c t
π π
π π
= + = −
cm
+ Ban đầu tại
0t =
vật đang ở vị trí
1,5x cm=
và đang chuyển động theo chiều dương.
+ Có
. 1.5 4t
ϕ ω π π π
= = = +
+ Véctơ
OM
uuuur
quay được 1 góc
4
π
vật đi qua vị trí
1x cm= +
4 lần.
Sau đó vật trở về vị trí ban đầu
1,5x cm=

π
=
(x tính bằng cm,t tính bằng
s).Kể từ
0t =
,chất điểm đi qua vị trí có li độ
2x cm= −
lần thứ 2011 tại thời điểm.
A.3015s B.6030s C.3016s D.6031s
HD:
+ Ta thấy
0
ϕ
=
ban đầu tại
0t
=
vật đang ở vị trí biên dương
4x cm
=
,
2
3T s
π
ω
= =
+ Ta tách
2011 2010 1
= +
.

+
π
0t
=
1
M
1,5
2
M
1
x
O
4
4
−
( )
+
2
3
π
ϕ
=
0t
=
M
2
−
( )
−
vật đi từ vị trí

t =
B.
8
3
T
t =
C.
10
3
T
t =
D.
3t T=
HD:
+ Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc cực đại nghĩa là tại vị trí cân bằng và đang chuyển động theo
chiều dương.
+ Ta có
2 2
2 2
ax
1
m
v x
v A
+ =
mà theo bài ra
ax
1
2
m

sau
1
2t T=
vật qua vị trí
ax
1
2
m
v v=
8 lần.
+ Sau khi đi được
1
2t T=
thì vật đang ở vị trí
0x =
và đang chuyển
động theo chiều dương như hình vẽ
- Vật qua vị trí
ax
1
2
m
v v=
một lần nữa ứng với vật đi từ vị trí
3
0
2
A
x x= → =
theo chiều dương ( Vật quay từ

4x cm= −
trong 2,25s đầu
b.Xác định số lần vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương trong 4,125s đầu
24
x
A
A
−
( )
−
( )
+
M
3
2
A
3
π
3
2
A
−
O
M
O
0t
=
c.Kể từ thời điểm ban đầu xác định thời điểm vật qua vị trí
4x cm
=

2 os(2 )
6
x c t
π
π
= +
cm.Hỏi chất điểm đi qua vị trí có li độ
2x cm
= +
lần thứ 2014 tại thời điểm nào?
ĐS :
1.Ban đầu vật đang ở vị trí biên âm
a. Góc quét là
9t
ϕ ω π
= =
Trong 2,25s đầu số lần vật đi qua vị trí,
8x cm=
,
4x cm= −
lần lượt là 5 lần và 9 lần
b. Góc quét là
16,5 16
2
t
π
ϕ ω π π
= = = +
,mỗi chu kỳ vật đi qua VTCB theo chiều dương một lần.
+ Số lần vật đi qua VTCB theo chiều dương trong 4,125s đầu là 9 lần

x A
=
a.+ Ta tách
2012 2010 2
= +
+ Vật đi qua vị trí
2
A
x = −
2010 lần hết 1005T. Lúc này vật đang
ở vị trí ban đầu
x A
=
và tiếp tục đi qua
2
A
x = −
2 lần nữa ứng với
25
x
8
8
−
( )
−
( )
+
M
4
3