ThS. Đoàn Vương Nguyên Chuyên đề Đại
số

Trang
1

CHUN ĐỀ

SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM
CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Bài tốn:
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực
x X
Ỵ
.

Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của
¡
.

Các bước giải tổng qt:

i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X.
ii) Bước 2:
min f(x) g(m) max f(x)
£ £

2 2
x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1.
ì ì
ï ï
ï ï
³ ³
ï ï
Û Û
í í
ï ï
ï ï
+ - = - = - + -
ï ï
ỵ ỵ

Đặt
2
y 3x 6x 1
= - + -
, với
1
x
2
³
ta có:
Bảng biến thiên
x
-¥

1

Ê <
.
Bi 2. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
1 1
x x x m
2 4
+ + + + =
(2) cú nghim thc.
HNG DN GII
t
2
1 1
t x 0 x t
4 4
= + = -
, (2) tr thnh:
2
2 2 2
1 1 1 1
t t t m t t m t m
4 4 4 2
ổ ử
ữ
ỗ
- + + + = + + = + =
ữ
ỗ
ữ
ữỗ
ố ứ

(3) cú nghim thc.
HNG DN GII

t
2
t 16 x t (0; 4]
= - ị ẻ
, (3) tr thnh
2
m
t 4 0 t 4t m
t
- - = - =
.
Lp BBT ca hm s y = t
2
4t, ta cú
4 m 0
- Ê Ê
.

Chỳ ý:
Nu gii nh bi 2, ta s loi mt m = 0. Do ú nờn lp BBT trỏnh sai sút.

Bi 4. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
x 1 x 2
m 2 0
x 2 x 1
- +
- + =

(5) cú nghim
thc.
HNG DN GII
iu kin:
x 1

.
+ x = 1: (5) vụ nghim.
+ x > 1:
4
4
x 1 x 1
(5) m 2 0
x 1 x 1
+ -
- + =
- +
.
t
4 4
x 1 2
t 1 t (1; )
x 1 x 1
+
= = + ị ẻ +Ơ
- -
, (5) tr thnh
2
m
t 2 0 t 2t m


2
2 2
x 1 x 1 x 2x 3
y' 1
x 2x 3 x 2x 3
- - - - -
ị = - =
- - - -
.
Bng bin thiờn
x
-Ơ
1 3
+Ơ

y +
y
+Ơ

1
-

1 3
Da vo b ng bin thiờn:
1)
3 m 1 m 1
- Ê < -
, 2) khụng cú m.


Da vo b ng bin thiờn, ta cú:
+
m 2 m 2
< >
: (7) vụ nghim.
+ m = 2: (7) cú 1 nghim.
+
2 m 2
Ê <
: (7) cú 2 nghim phõn bit.

Bi 8. Tỡm iu kin m phng trỡnh
2
x 9 x x 9x m
+ - = - + +
(8) cú nghim thc.
HNG DN GII
2 2
2 2
0 x 9
x 9 x 0
(8)
(9x x ) 2 9x x 9 m.
9 2 9x x 9x x m
ỡ
ỡ
ù
Ê Êù
+ -
ù

m 10
4
- Ê Ê
.

Bi 9. Tỡm iu kin m phng trỡnh
x 4 x 4 x x 4 m
+ - + + - =
(9) cú nghim thc.
HNG DN GII

t
2
t x 4 0 x t 4.
= - ị = +
Ta cú (9) tr thnh:
2 2 2
t 4t 4 t 4 t m t 2t 6 m.
+ + + + + = + + =

Lp BBT ca hm s
2
y t 2t 6, t 0
= + +
ta cú
m 6

.

Bi 10. Tỡm iu kin m phng trỡnh

6 t 3 t 3 t 9 m
+ + - = + +

2
2
t 12t 9 m, t 3 (*)
t 27 m, 0 t 3 (**)
ộ
- + - =
ờ

ờ
- + = Ê <
ờ
ở

+ Lp BBT ca hm s
2
y t 12t 9,t 3
= - + -
ta suy ra (*) cú nghim thc
m 27
Ê
.
+ Do
2
18 t 27 27, t [0; 3)
< - + Ê " ẻ
nờn (**) cú nghim thc
18 m 27

t m t t 1 m.
2 2
-
- = - + + =

Lp BBT ca hm s
2
1
y t t 1, t 2; 2
2
ộ ự
= - + + ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
ta cú
1 m 2
Ê Ê
.
Chỳ ý: Nờn lp BBT ca
t x 1 3 x
= - + -
tỡm min giỏ tr t.

Bi 12. Tỡm m phng trỡnh
1 x 8 x (1 x)(8 x) m
+ + - + + - =
cú nghim thc.
ỏp s:
9 6 2
3 m

Ă
ta cú
m 19
Ê
.

Bi 14. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh
3
2 2
1 x 2 1 x m
- + - =
(14)
1) cú nghim thc duy nht, 2) cú nghim thc.
HNG DN GII

1) Nhn thy nu x
0
l nghim ca (14) thỡ x
0
cng l nghim ca (14).
Suy ra
0 0 0
x x x 0
= - =
l nghim duy nht ca (14).
Th x
0
= 0 vo (14) ta c m = 3. Th li ta thy (14) cú nghim duy nht.
Vy m = 3.
2) t


Trang
5

HNG DN GII
2
2
1
1
2x 1 0
x x
2
2
(15)
3x 1
3x 23x 2x
2x 1 mx
m
mx
2x 1
2x 1
2x 1
ỡ
ỡ
ù
ù
ỡ
ù ù
- >ù
> >

= > ị =
- - -
.
Mt khỏc
x
3x 2
lim
2x 1
đ+Ơ
-
= +Ơ
-
,
1
x
2
3x 2
lim
2x 1
+
đ
-
= -Ơ
-
.
Suy ra hm s f(x) cú tp giỏ tr l
Ă
. Vy (15) luụn cú nghim thc vi mi m.

Bi 16. Tỡm m phng trỡnh

m 4
ị -
.
+ Vi
x 3
>
:
(16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m m 0
- + + - + = ị
.
Vy
m 4
-
.

Bi 17. Tỡm m phng trỡnh
3
3
1 x 1 x m
- + + =
(17) cú nghim thc.
HNG DN GII
Xột hm s
3
3
/
2 2
3 3
1 1 1
f(x) 1 x 1 x f (x)

- + + - - - + -
ờ ỳ
ở ỷ
=
ộ ự
- - - + -
ờ ỳ
ở ỷ

2 2
x
3
3 3
2
2
lim 0
1 1 1
x 1 1 1
x x
x
đƠ
= =
ộ ự
ổ ử ổ ử
ờ ỳ
ữ ữ
ỗ ỗ
- - - + +
ữ ữ
ỗ ỗ

2 2
x 1 x 1 x
t' 0 x 0
1 x . 1 x
+ + -
ị = = =
+ -

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi
soỏ

Trang
6

t( 1) 2, t(0) 0 t 0; 2 , x 1; 1 .
ộ ự
ộ ự
= = ị ẻ " ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
ở ỷ

(18) tr thnh
2
2
t t 2
m(t 2) 2 t t m
t 2
- + +
+ = - + =


Da vo b ng bin thiờn, (18) cú nghim thc
2 1 m 1.
- Ê ÊBi 19. Bin lun theo m s nghim thc ca phng trỡnh
2
m x 2 x m
+ = +
(19).
HNG DN GII
(19)
(
)
(
)
2 2
2
x
m x 2 1 x m do x 2 1 0, x
x 2 1
+ - = = + - > " ẻ
+ -
Ă
.
Xột hm s
2
x
y

+ + -
.
Gii hn
x x x
2
x
lim y lim lim y 1.
2 1
x 1
x
x
đƠ đƠ đƠ
= ị =
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ -ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ

Bng bin thiờn
x
-Ơ

2

2x x 3 mx m
- - = +
(20) cú nghim thc
x 1
ạ -
.

HNG DN GII
iu kin
2
3
2x x 3 0 x 1 x (x 1)
2
- - < - ạ -
.
Ta cú (20)
2
2x x 3
m
x 1
- -
=
+
.
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Chuyeõn ủe ẹaùi
soỏ

Trang
7


x 1 x x m m m 0 m 1
2
= - = ị = = =
.
t
2
4
t 1
t x 1 x 0, 0 x 1 x(1 x)
2
-
= + - Ê Ê ị - =
.
(21) tr thnh
2 2 3
2(t 1) mt t m m
- = + - -
.
+ m = 0:
2 2
1 1
(21) 2(t 1) t t 2 x(1 x) x
2 2
- = = - = =
(nhn).
+ m = 1:
2 2 2
(21) 2(t 1) t t 2 2(t 1) (t 1)(t 2)
- = + - - = - +


ởợ

2
x 0
t 1
x(1 x) 0
t 1
1
t 1
x
1
t 2
2
x(1 x)
(t 3)(t 2) 0
2
x 1
ộ
=
ộ
ờ
=
ộ
- =
ộ
ờ
ờ
=
ờ
ờ

= -
:
2
(21) 2(t 1) (t 1)(2 t)
- = + -

3 2
0 t 2
1
t 2 x
t 3t 2t 6 0
2
ỡ
Ê Ê
ù
ù
= =
ớ
ù
- - + =
ù
ợ
(nhn).
Vy
m 0 m 1
= = -
.

Bi 22. Tỡm m phng trỡnh
2


2
x x x
2
x 1 x 1
lim f(x) lim lim
1 1
x x x 1
x x 1
x
x
đ-Ơ đ-Ơ đ-Ơ
- -
= =
- - +
- - +

x x
2 2
1
x(1 )
x 1 1
x
lim lim
2
1 1 1 1
x x 1 x 1 1
x xx x
đ-Ơ đ-Ơ
-

2
>