I. Phơng pháp đánh giá
Gii phng trình:
x3
+
14
+
x
=-16x
2
-8x+1 (1)
Giải
ĐK:
4
3
4
1

x
(*)
Ta có
( )
4)41)(43(2441)41)(43(2431443
2
++=++++=++
xxxxxxxx
24143
++
xx
(2)
Lại có : -16x
2

441)41)(43(243
2
xx
xxxx






=
=+

4
1
0)41)(43(
x
xx










=


xxxxx 4438414
22
=+++
2)
2152
2
=++
xxx
II. Phơng pháp đặt ẩn phụ
VD1:Giải phuơng trình:

3)8)(1(81
=++++
xxxx
Giải
C1: ĐK:
81

x
Đặt
xxt ++= 81
(đk
0

t
)

)8)(1(281
2
xxxxt

=

3
5
t
t
Với t=3, ta có:
381 =++ xx9)8)(1(281 =++++ xxxx

0)8)(1( =+ xx



=
=

8
1
x
x
(thoả mãn (*))
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:x
1
=-1 và x
2
=8
C2: ĐK:

2
2

9
22
=+ vu
Ta có hệ phơng trình:



=++
=+
3
9
22
uvvu
vu




=++
=+

6)(2
92)(
2
uvvu
uvvu






=+
=

2
6
0)20(
uv
vu
uvuv









=+



=
=

2



=
=
0
3
v
u
+)



=
=
0
3
v
u



=
=+

08
91
x
x
8
=

=8
VD 2: Giải phơng trình
1221)14(
22
++=+
xxxx
Giải










=+
=



=+
=

7
20
3
0
vu

2
1
(loại)
Với t
1
=2x-1, ta có:
121
2
=+ xx




=+


22
)12(1
012
xx
x





=


043

3
4
= x

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
3
4
=x

Lu ý : phơng trình trên có thể giải theo cách đa về phơng tích
VD3: Giải phơng trình

112
3
=+
xx
Giải
ĐK:
1x
(*)
Đặt





=
=
1
2

=+
1
1
23
vu
vu
1)1(
23
=+ uu
02
23
=+
uuu





=
=
=

2
1
0
u
u
u
Với u=0, ta có:
02

Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10
Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1)
55
2
=++ xx
2)
3
3
1
)3((4)1)(3( =

+
++
x
x
xxx
3)
36333
22
=+++ xxxx
III. Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Dạng phơng trình:
Dạng 1:
)()( xgxf =







+
021
01
04
x
x
x

2
1
4 x
(*)
Với đk(*) phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:

4121 +=+ xxx

4)1)(21(121
+=++
xxxxx

12)21)(1( += xxx


+=
+



=
=


7
0
2
1
x
x
x
0
=
x
(thoả mãn (*))
Vậy phơng trình có nghiệm là x=0
VD2:Giải phơng trình
1221221 =+ xxxx
Giải
Ta có:
1221221 =+ xxxx


112221222 =+++ xxxx

2
)12( + x
-

Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1)
363 =+ xx
2)
2
2)2()1( xxxxx =++
3)
221682
22
+=+++ xxxx
IV. Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
VD1:Giải phơng trình

11414
2
=+ xx
ĐK:
2
1
x
Xét hàm số
1414)( += xxxf
trên








Hàm số f(x) đồng bjến trên






+;
2
1
Mà
1)
2
1
( =f

Phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất :
2
1
=x
VD2(A-2007): Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực:

4
2
12113 =++ xxmx
Giải
ĐK:
1x
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:

, khi đó phơng trình (1) trở thành: -3t
2
+2t=m (2)
Vì
44
1
2
1
1
1
+
=
+

=
xx
x
t
và
1

x
nên
10
<
t
.
Xét hàm số f(t)=-3t
2
+2t, với

Luyện tập
1)Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

13
2
+=+ xmx
2)Giải phơng trình:

541
3
+= xxx

V. Phơng pháp điều kiện cần và đủ
VD1:tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất

mxx =++ 54
Giải
Điều kiện cần:
Nhận thấy nếu phơng trình có nghiệm x
0
thì (-1-x
0
) cũng là nghiệm của ph-
ơng trình. Do đó để phơng trình có nghiệm duy nhất thì

00
1 xx
=

2

04
2
xx
x
x






=++++



185)5)(4(24
5
4
xxxx
x
x




=+






=


2
1
45
x
x

2
1
= x

Vậy với
23=m
thì phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
Lu ý: phơng trình trên có thể giải bằng phơng pháp sử dụng tính đơn điệu
của hàm số