sở giáo dục và đào tạo hà nội
Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều
Sáng kiến kinh nghiệm:
Một số ph-ơng pháp giảI
ph-ơng trình vô tỷ
Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn
Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2011
sở giáo dục và đào tạo hà nội
Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều
Hà Nội, 5 / 2011
mở đầu
Giải ph-ơng trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều
học sinh kể cả học sinh đ-ợc cho là khá giỏi nhiều khi còn lúng túng tr-ớc việc
giải một ph-ơng trình; trong đó có ph-ơng trình chứa căn thức đ-ợc coi là khó
hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình vô tỷ để
làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần
giúp học sinh có thêm những kỹ năng cần thiết để giải ph-ơng trình chứa căn
thức nói riêng và các dạng ph-ơng trình nói chung, đồng thời cũng mong muốn
đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm đến môn toán.
Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong
ch-ơng trình Toán bậc THPT hiện hành. Một phần sáng kiến kinh nghiệm này
có thể sử dụng để chuyển sang phần bất ph-ơng trình cũng đ-ợc; xong khi
chuyển sang bất ph-ơng trình có những phần sẽ đ-ợc mở rộng để có bài toán hay
hơn. Do đó ng-ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào
nhiều mục đích giáo dục khác nhau cũng đ-ợc.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 ph-ơng pháp giải toán
khác nhau.
H 1
2
2
11
3
44
1 2 . 1 1
39
4 6 0
2 2 3 0
x0
3
x
2
0
1
4 4 9
0
1
4 4 9 0
0
1
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
xx
0, 1xx
trình có hai
0, 1xx
.
* Cách 2:
2
xx
x
và
1 x
2
t
2
1 3 3tt
2
3 2 0tt
1
2
t
t
2t
,
1t
, có
2
0
1 1 2 0
1
x
1
23
x
x
x
(
9
4
x
vì thay
9
4
x
tx
, nên
33
1
23
t
x
t
2
1 2 4 3 0t t t t
0
1
t
t
0
1
x
x
0, 1xx
2
3 2a 3 (1)
2a 1 (2)
b a b
a b b
www.VNMATH.com
H 3
Thay (1) vào (2) có
2
3 3 1a b a b
2
3 2 0a b a b
0
1
x
x
2ab
, có
3
.
2
x a a
22
2
1 sin . 1 sin sin 1 sin
3
a a a a
3 2sin .cos 3sin 3cos a a a a
(Vì
cos 0a
)
2
sin cos 3 sin cos 2 0a a a a
sin cos 1
sin +cos 2
aa
aa
2
sin 2sin os 0
22
2tan
2
sin 1
1 tan
2
aa
ac
a
a
a
1)
17 1 3xx
(1)
2)
3 3 3 2xx
(2)
3)
23
5 2 1 1x x x x x
(3)
4)
2 2 2
1 3 2 8 7x x x x x
(4)
5)
3 3 3
12 12 2 3x x x
(5)
6)
2
22xx
. (6)
Bài toán 2: Tìm m
2
22x mx m
(I), .
Bài toán 3: Tìm m
22x m x
(II),
5)
3 3 3 3
3 5 2 1 2 6x x x x
. (5)
Giải
Bài toán 1
1) :
1
1 3 0
3
xx
. hai hai
:
2
17 1 3xx
1
3
x
. Do v
17 0x
.
(1)
2
1 3 0
17 1 3
x
xx
1
3
1
16
9
x
x
x
17tx
t
0.
2)
31x
(2)
3 2 3 3xx
22
3 2 3 3xx
3 4 3 4 3 3x x x
31xx
2
10
31
x
xx
1
1
2
x
x
x
2x
2x
.
3)
(3)
2
1 3 0
2 1 (1 3 )
x
x
x x x
32
1
1
3
2 1 1 6 9
x
x x x x
1
1
3
0
1
8
x
x
x
x
4)
1
7
1
x
x
x
(4)
22
2 2 2
1 3 2 8 7x x x x x
2 2 2 2 2
1 3 2 2. 1. 3 2 8 7x x x x x x x x
2
2 1 1 . 1 2 5 6x x x x x x
2
16
1
3 16 44 0
x
x
xx
16
1
2
x
x
1, 2xx
1, 2xx
.
Chú ý :
(4)
1 1 1 2 1 7x x x x x x
* T1:
1x
(4)
*
1x
,
1 2 7x x x
xx
www.VNMATH.com
H 7
6
2
22
3
x
x
x
1, 2xx
.
:
ab a b
ab a b
khi
0a
và
0b
Còn
ab a b
khi
0a
và
0b
.
5)
(5)
33
3 3 3
12 12 2 3x x x
2
10
6 9 0
x
xx
1
3
x
x
Thay
1, 3xx
vào p
1, 3xx
.
22
11
2
22
xx
11
2 (6.1)
22
11
2 (6.2)
22
xx
xx
(6.1)
x
x
2x
(6.2)
21xx
2
10
21
x
xx
15
2
x
x
15
2
x
hai
2x
,
15
2
x
.
Chú ý:
22
0
2 2 0 (I*)
m
x mx m
22
' 2 0mm
1
1
m
m
2
2
2 4 4
x
x m x x
2
2
2 4 (II*)
x
x x m
2
( ) 2 4f x x x
,
4.
Bài toán 4
1) 0
x
7
3
(1)
22
2 5 2 2 7 3x x x x
2 5 2 2 2. 5 2 2 7 3 2 2 . 7 3x x x x x x x x
2. 5 2 2 . 7 3x x x x
2 5 2 2 7 3x x x x
22
2 10 6 14x x x x
2
4 13 10 0xx
2
5
4
0x
(2)
3 2 2 +2 3 1x x x x
www.VNMATH.com
H 10
22
3 2 2 +2 3 1 (2*)x x x x
+3+4 4 3. 2 +2+3 1 2 2 2. 3 1x x x x x x x x
2 . 3 2 2. 3 1x x x x
4 ( 3) (2 2)(3 1)x x x x
22
4 12 6 8 2x x x x
2
2 4 2 0xx
2
2 1 0x
3
(3)
2
2
1
11
x
x x x x
x
3
3 2 3
1
2 1 1 1 2 1
x
x x x x x x
x
3
2
1
2
là
( ) ( ) ( ) ( )f x g x k x h x
,
( ). ( ) ( ). ( )f x g x h x k x
,
hai .
www.VNMATH.com
H 11
4)
1x
33
(4)
11
4 +1 1
4 1 1
xx
xx
xx
22
33
4 1 1
xx
xx
xx
32
1 4 3 1
3 2 0
4 1 1
x x x
x
xx
32
3 2 4 3 +2 0x x x x
12
x
x
1x
)
Thay
2x
,
12x
vào
ng trình có hai
2x
,
12x
.
Chú ý:
33
11
4 1. . 1
4 1 1
xx
3 5 2 1 2 6x x x x
www.VNMATH.com
H 12
33
3
33
3
3 5 3 (3 5).( 3 5)
2 1 2 6 3 (2 1)(2 6)( 2 1 2 6)
x x x x x x
x x x x x x
3 3 3 3
3
3
(3 5) 3 5 2 1 2 6 2 1 2 6x x x x x x x x
3 3 3 3
3
Thay
6x
,
1x
vào ph
ng trình có hai
6x
,
1x
.
Chú ý: Phng pháp t
phng trình ng
33
35xx
tìm m
5
2
x
nhng trình (5).
Bài 1: ng trình
1)
3 2 2
1 5 8 4x x x x
11)
4 3 10 3 2xx
(HSG Quèc Gia 2000)
12)
22
1 5 8 4x x x x
13)
3 4 3 3xx
14)
22x x x
15)
22
1 1 2x x x x
16)
22
1 1 2x x x x
17)
21
65
12
xx
xx
26)
2
2 3 5 2 4 16 15 1x x x x
27)
2
2 1 2 1x x x x
28)
2
1 2 1 2 2x x x
29)
3 2 5 3 3 5 2x x x x
30)
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x
31)
2 2 2
8 15 2 15 4 18 18x x x x x x
0a
Phng pháp chung là
t f x
,
0t
1) Cho phng trình:
1 3 6 1 5 0x x x x m
(1)
a)
0m
b) Tìm
m
.
2) ng trình:
2
2 8 2 8x x x x
(2).
II. Bài toán 2:
.0a f x g x b f x g x c f x g x d
33
33
35 35 30x x x x
(5).
III. Bài toán 3:
ng trình:
1)
32
3 1 2 4x x x
(6) (HSG Toán 10, NGT 2007)
2)
3
32
3 2 2 6 0x x x x
(7)
3)
22
2 2 1 3 4 1x x x x x
(8)
4)
22
5 14 9 20 5 1x x x x x
(9)
IV. Bài toán 4:
. . . 0af x b g x f x ch x
,
0abc
www.VNMATH.com
H 15
1
22
4 6. 4 5 3 0x x x x m
2
45t x x
,
0t 22
45t x x
Ph
2
5 6 3 0t t m
2
68t t m
(1.1)
a)
0m
:
0m
, ph
7x
,
3x
,
2 13x
.
b) Ph
Ph
2
8
8 2 0
x
xx
(2)
2
2
2
2
2
22
2 8 8 2
2 8 8 2
2 8 2 2. 8 8 2
10 2 10 16 8 0
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
2t
t
0
3
8
1
ft
www.VNMATH.com
H 16
4t
, có
2
10 16 4xx
22
0
10 16 16 10 0
10
x
x x x x
x
2
2
1
1 2 . 1 1
2
t
t x x x x x x
2
(3)
2
1
2 1 2
2
t
t m t t m
(3*)
a)
1m
,
(3*)
2
1
2 3 0
3
t
1x
.
b) Ph
11t
2
21f t t t
11t
,
3t
t
1
1
2
2
ft
www.VNMATH.com
H 17
2
2
2
1 2 2 1. 2
1
2
2
t x x x x
t
x x x
7t
3t
, nên
2
1 2 3 2 1 2 2 9x x x x x
2
25x x x
22
50
55
3
9 27 3
2 25 10
x
xx
x
xx
x x x x
4 4 3ft
;
3t
Do ó:
2 4 4 3 2 2 3mm
2 2 3m
thì ph.
3)
3
3
35t x x
3 3 3 3 3
33
35 3 35 . 35t x x x x x x
3
3
3
35
35
3
www.VNMATH.com
H 18
3 3 3 3 6 3
35 6 35 216 35 216 0x x x x x x
3
3
82
3
27
xx
x
x
Thay
2x
2
1b x x
,
0a
,
3
2
b
.
Ph
2 2 2 2
3 2 2 2 3 2 0ab b a a ab b
2
2
2 3 2 0
1
2
a
aa
b
a
bb
b
ph
5 37
2
x
.
2)
2x
2x
ng trình
2, 0y x y
Ph
3
3
3 2 2 2 0x x x x
3 2 3
3 2 0x xy y
32
3 2 0 1 2 0
x x x x x
yx
, có:
22
00
2
2 2 0
xx
xx
x x x x
0
2
2
2
0
0
0
2 2 3
42
4 8 0
2 2 3
x
x
x
x
xx
xx
x
,
0a
,
0b
Ph
22
3a b a b
2 2 2 2 2 2
2 3 2 2 2 0a b ab a b a ab b
2
10
aa
bb
15
2
15
2
a
b
a
b
2
2
2
4 2 6 2 5 2 1
4 4 1 5 6 2 5 0
2 1 5 0
x x x
xx
x
15
2
x
www.VNMATH.com
22
2 5 2 5 1 4 5
2 4 5 3 4 5 4 5 4
x x x x x
x x x x x x
2
45a x x
,
4bx
,
0a
,
3b
2
(9)
22
1
2 3 5 2 5 3 0
3 2 3
2
a
ab
aa
b
a b ab
5 61
2
5 61
2
x
x
5 61
2
x
,
2
2 3 2 4 5 3 4a b x x x
2
4 16 20 9 36x x x
22
2 5 2 2 4 5 3 4x x x x x
và:
22
1 20 1 4 5 4 4 5x x x x x x x x x
.
IV. Bài toán 4:
1)
(10)
22
2 3 1 2 3 2 2 0x x x x x x
2
23t x x
,
2t
www.VNMATH.com
23xx
= 2
22
2 3 4 2 1 0 1 2x x x x x
1,tx
có
2
2 3 1:x x x
ph
(vì:
2 2 2
2 3 ( 1) 2 ( 1) 1 1x x x x x x
)
ph
12x
.
2)
11x
(11)
4 1 2( 1) (1 ) 2 1 1 . 1x x x x x x
1 , 0t x t
(11)
2
5
xx
21tx
, có:
1 2 1xx
1 1 2xx
2
1 1 2 1 4x x x
2
11x
2
11x
0x
ph
3
,0
5
xx
.
Chú ý:
Bài toán này ta tách:
(12)
22
8 8 0
8
tx
t t x x
tx
,tx
có:
2
2 8 2xx
2 2 2
0
00
42
4(8 2 ) 9 32
3
x
xx
x x x
x
42
3
x
.
1)
1
( 2) ( 1)( 2) 6
1
x
x x x
x
2)
2
1 4 1 3x x x x
3)
52
2 5 2 2
2
x
x x x
x
7)
2 2 2
( 6 11). 1 2( 4 7) 2x x x x x x x
8)
3 2 2
(3 2) 1 2 2x x x x
9)
2 4 2
1
3 1 1
3
x x x x
10)
23
2( 3 2) 3 8x x x
. www.VNMATH.com
Copyright: Tài liệu đại học ©