SỬ DỤNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Giáo viên: Cao Thị Thương
3
PHẦN I. PHẦN MỞ ĐẦU
Giải phương trình là một trong những vấn đề không thể thiếu trong toán học. Một trong số đó là
việc giải phương trình vô tỉ. “Phương trình vô tỷ” là một dạng toán hay và khó trong chương trình
phổ thông, vì đặc tính này mà phương trình vô tỷ thường xuất hiện trong chương trình thi.
Trong phương trình giữa các đại lượng tham gia có mối liên hệ nào đó, có thể đại lượng này
biểu diễn thông qua đại lượng kia hoặc ngược lại. Sự biểu diễn đó có thể là không hoàn toàn. Khi
đó yêu cầu người giải toán phải có cách nhìn tinh tế để khai thác ẩn dấu bên trong bài toán và từ đó
đề ra các phương pháp làm thích hợp. Có rất nhiều phương pháp để giải phương trình thuần tuý và
phương trình không mẫu mực, trong khuôn khổ đề tài này tôi đề cập tới “Phương pháp đặt ẩn
phụ”. Có thể ẩn phụ không phải xuất hiện ngay từ đầu mà phải qua một quá trình biến đổi, mới cho
ta mối liên hệ để đặt ẩn phụ.
Bởi những lí do trên, tôi bạo dạn chọn “Sử dụng ẩn phụ để giải một số phương trình vô tỉ”
là vấn đề để nghiên cứu.
PHẦN II: NỘI DUNG
1. Một số lý thuyết
1.1. Dấu hiệu để nhận biết các bài toán dùng được ẩn phụ
Chỉ có những bài toán mà các đại lượng tham gia trong bài toán có một mối liên hệ nào đó
(được biểu hiện bởi các hệ thức toán học) mà nhờ mối liên hệ này các đại lượng này biểu diễn được
qua đại lượng kia (hoàn toàn hoặc không hoàn toàn) nhờ có khả năng dùng được ẩn phụ.
1.2. Về việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
Với bài toán mà ẩn phụ xem là ẩn trung gian, tìm ẩn phụ rồi trở về tìm ẩn ban đầu thì có hai phương
án tìm điều kiện:
1) Tìm đúng điều kiện cho ẩn phụ.
2) Tìm thừa điều kiện cho ẩn phụ.
2
12 1 36 1x x x
Lời giải:
Đk:
1x
. Đặt:
1 , 0x t t
. Với điều kiện trên (1) tương đương với :
2
2 2 2 4 2 2
1 1 2 1 2x t t x x t t x t
Với
2 1 2 3t x x
Dạng 2.:
n n
a f x b g x c
. Trong đó:
, , , .
n n
a b c R f x g x k
Điều kiện:
1 2x
. Đặt:
2
, 0
1
x
t t
x
. Với điều kiện trên (2) tương đương với :
2
2( )
2
1 2 0
1( )
t L
t t t
t N
t
+)
3 6 3 6 1x x m x x
a/ Giải phương trình khi
3m
b/ Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm
Lời giải:
Đặt:
2
3 6 9 2 3 6t x x t x x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
2 3 6 9x x
nên từ
ta có
3 3 2t
Phương trình đã cho trở thành
2
2 9 2 2t t m
a. Với
3m
thì
b. Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
2
có nghiệm
3 3 2t
Xét hàm số:
2
2 9f x t t
với
3 3 2t
Ta thấy
f t
là một hàm đồng biến nên
6 3 3 2 9 6 2f f t f
với
3 3 2t
Suy ra
2
có nghiệm
3 3 2t
khi và chỉ khi:
0g x
TH2: Giả sử
0g x
, chia 2 vế cho
k
g x
và đặt
n
f x
t
g x
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
3 2
5 1 2 2 1x x
Lời giải:
Điều kiện:
1x
. Với điều kiện trên phương trình tương đương với:
. Phương trình trở thành:
2
2
2 5 2 0
1
2
t
t t
t
+)
2t
phương trình vô nghiệm
+)
1
2
t
thì
2
1 1 5 37
1 2 2
x
, 0
1
x
t t
x
. Do đó:
2
1 3 2 0 2t t m
Phương trình đã cho có nghiệm
2
có nghiệm không âm
+) Phương trình
2
có 2 nghiệm trái dấu khi
4
1 1 3 1 1 1 3
0:
3 1 3
m x m
m t
x
+) Phương trình
2
có 2 nghiệm không âm
0
1
0 0
3
0
P m
S
Khi
4
1 1 1 3 1 1 1 3
0 :
3 3 1 3
x m
x
M
M
x
.
Ví dụ 6: Giải phương trình:
1
3 1 4 3 3 1
3
x
x x x
x
Lời giải:
ĐK:
1;3x
Đặt:
2
1
1
3 3 1 : 2
3
3
x
x
1
) 1 3 1 1 5
3 1 1
3
x
x
t x x
x x
x
1 5x
thoã mãn điều kiện
1x
SỬ DỤNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Giáo viên: Cao Thị Thương
6
1 13x
.
Dạng 6: Phương trình dạng:
2 2
2 2x a b a x b x a b a x b cx m
. Trong đó
, , ,a b c m
là hằng số,
0a
Cách giải:
Đặt:
, 0t x b t
. Đưa về phương trình dạng
2
t a t a c t b m
Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Cách 2: Sử dụng BĐT
a b a b
Dấu
" "
xảy ra khi
, 0a b
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1)
2
10)
5
2 2 1 2 2 1
2
x
x x x x
1.2. Dùng 2 ẩn phụ
Ví dụ 7: Giải phương trình:
2 3
2 2 5 1 1x x
Lời giải:
Đặt:
2
1
1
u x
v x x
x x x
x
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1)
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x
2)
2
5 2 1 7 10 3x x x x
3)
SỬ DỤNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Giáo viên: Cao Thị Thương
7
Ta có:
2a b c
3
8a b c
Mặt khác:
3 3 3 2 2
7 1 8 8 1 8a b c x x x x x
Từ
8 8 1 0
9
7 1 8 1
x x x
x
x x x x x
x
x x x
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
0; 1;1;9S
.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau
- Nếu
x a
thì đặt:
, ; , 0
sin 2 2
a
x t t
t
hoặc
, 0; ,
cos 2
a
x t t
t
- Ta có thể đặt:
tan , ;
2 2
x a t t
Nhận xét: Nếu bài toán có TXĐ:
u x a
ta có thể nghĩ đến cách đặt
cos , 0;u x a t t
. Nếu
0;u x a
ta có thể đặt
2
sin , 0;
2
u x a t t
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
2
1 2 1
1 2 1
TH1:
3
cos 0 0
4 2 4 2 4
t t t
Khi đó:
2 cos cos 2
4
t t
5 2
12 3
3
2
4
k
t
12 12 3 4 2
3 2
cos
4 2
x
x
TH2:
3
cos 0 3
4 4
t t
không thõa mãn
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
6 2 2
;
2 2
x
.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2
2 2 1
1
x
x
x
t
Đặt:
sin cos ,1 2t t u u
Khi đó:
2
2
2 2 1 2
1
2
u
u u u
u
Ta có:
sin cos 2 sin 1 2
4 4
2)
3 3
2 2
1 1 1 1 2 2 2 2x x x x
3)
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2 1
x
x
x
x
3. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
Phương pháp: Có thể đưa phương trình về dạng sau:
. . 1f x Q x f x P x x
Khi đó ta đặt:
, 0f x u u
. Khi đó:
2
1 . 0u u Q x P x
Giải t theo x. Sau đó là giải quyết phương trình:
f x u
để tìm nghiệm.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2
4 1 1 2 2 1x x x x
Lời giải:
SỬ DỤNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Giáo viên: Cao Thị Thương
4 1 4 3
2
4
x x
u x
u
u loai
x x
u
Trở về tìm x, ta giải phương trình:
2
2 2
2
(2)
Lời giải:
Điều kiện:
2x
. Đặt
2
2(4 ), 0u x u
2 2 2 2 2
2 4 2 4 16 2 4 16 2 9 16 8 4 16 2 4 8x x x x x x x x
2 2
4 16 8 0u u x x
. Ta được,
1 2
, 4( )
2 2
x x
u u loai
Với
2
2 2
0
4 2
x
x x
x
x x
+)
1
2
x
, pt (3) 0 = 0, đúng. Vậy
1
2
x
là nghiêm của (4)
+)
1
x
Trở về tìm x, ta có:
2( 1) 2
2 1 2 1
( 1)( 2 1 1) ( 2 1 1)
x
x x
x x x
Vô nghiệm, vì vt > 0, vp < 0
Vậy phương trình (4) có 2 nghiệm
1
, 1
2
x x
.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1)
2 2
2 1 2 1 2 1x x x x x
5)
4 1 1 2 2 1x x x x
9)
2
2 2 4 4 2 9 16x x x
4. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ phương trình
4.1. Dùng một ẩn phụ
Dạng: F(x) = 0. Biến đổi phương trình về dạng:
, 0F x x
.
Đặt
u x
và hệ thu được có dạng:
( )
( , ) 0
u x
f x u
Ví dụ 1: Giải phương trình:
3
3
3 3 2 2 (1)x x
Vậy phương trình có 2 nghiệm
1 , 2x x
.
Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau
2
2
4
4
2 3 33 3
1
1) 5 5 3) 2 1 4)3 3
2
6 2 6 2 8
5) 5 5 6)4) 25 25 30 7)
3
5 5
x x x x x x
x x
Ta thu được
2
3 2
3
7
7
v x
u v
u x
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
3 2
3 3
7 5 0x x x R
Đặt:
3
3
7
(2)
5
u x
v x
. Ta có:
3 3
3 3
2
1
2
u v
u v
u v
u v
5
Đặt:
2
1
, 0
1
x
t t
x x
. Phương trình trở thành:
2
2
2 5 2 0
1
2
t
t t
t
+)
1 1
x x
m
x x
Đặt:
4
1
, 0
1
x
t t
x
. Do đó:
2
1 3 2 0 2t t m
Phương trình đã cho có nghiệm
2
có nghiệm không âm
+) Phương trình
1 3 1
M
x m
M x
x M
+) Phương trình
2
có 2 nghiệm không âm
0
1
0 0
3
0
P m
S
1
1 1 1 3
1
1 3
x m
M
M
x
x
M
M
x m
x
M
M
x
. Cách giải:
2
.
f x
t g x t g x f x
g x
.
Ví dụ 6: Giải phương trình:
1
3 1 4 3 3 1
3
x
x x x
x
Lời giải:
ĐK:
1;3x
t
3 0
1
) 1 3 1 1 5
3 1 1
3
x
x
t x x
x x
x
2 2 2
2 3 5x u v t uv vt ut
Ta có hệ:
2
3
5
u v v t
v u u t
t u t v
2
30
60
11 30 30 239
2
60 60 120
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x
Lời giải:
Điều kiện:
2
2
2 1 0
(*)
3 2 0
x
x x
. Đặt:
2
2
2
2
2 1 0
2 3 2 0
2 2 3 0
2 0
u x
v x x
z x x
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 2 3
3 2 2
u z u z x x x
v t
v t x x x x
2x
Đối chiếu điều kiện ta thấy
2x
thoả mãn.
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
3 3 3
1) 2 1 1 3 2 2) 2 1 3 2 3 2 5 2 2 1 5 2x x x x x x x x x x
Tôi hi vọng bài viết này có thể giúp đồng nghiệp, học sinh một phần nhỏ khi gặp phải những
phương trình vô tỉ hóc búa, những phương trình vô tỉ không mẫu mực. Trong quá trình viết dù đã
rất cố gắng cũng không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự góp ý, trao đổi của các bậc
Copyright: Tài liệu đại học ©