TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN
***
ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:
NGƯỜI THỰC HIỆN:
HẢII DƯƠNG
LỜI NÓI ĐẦU
Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chương trình là một nhiệm vụ
quan trọng của mỗi người giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dưỡng cho
học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải được tiến hành
thường xuyên ở trong các nhà trường phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi
dưỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng
cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một
cách hợp logíc tìm ra được lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí
thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán.
Đối với môn toán lớp 9, phần “ phương trình bậc hai”, “phương trình
quy về phương trình bậc hai” là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức
thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi và thi
vào trung học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn
mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ
về “ phương trình quy về phương trình bậc hai”. Sau khi nghiên cứu khá
nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa ra các
bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm
trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của
giáo viên và của học sinh.
Trước tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn
đưa ra một hệ thống kiến thức nói về “phương trình quy về phương trình bậc
hai” với một mong ước là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi

Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp.
PHẦN 2: NỘI DUNG
A CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Toán học là một môn khoa học trìu tượng, đóng vai trò quan trọng
trong đời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các
em sẽ nắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng
tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộc
sống.
Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các
nhà trường THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần được rèn luyện, phát triển
tư duy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức.
Sự phân hoá đối tượng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất
rõ. số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tương đối lớn, do đó nhu
cầu được nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn.
Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phương trình và
phương trình đưa về phương trình bậc hai ở chương trình THCS chưa được
đề cập đến nhiều. Đội ngũ giáo viên chưa được chuẩn bị chu đáo để bắt tay
vào dạ bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi người giáo viên phải tự
biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung
bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây không ít khó khăn
cho người học và người dạy .
Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đại
số 9 đã đưa ra cho học sinh một số laọi phương trình quy về phương trình bậc
hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỷ, phương trình trùng
phương, đưa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ
dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các
em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì chưa
đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến
thức “phương trình quy về phương trình bậc hai.
B. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC VỀ GIẢI PHƯƠNG

≠
0) ta cần quan tâm tới biệt số của phương trình:
∆
=b
2
- 4ac
+ Nếu
∆
<0: Phương trình bậc hai vô nghiệm.
+ Nếu
∆
=0: Phương trình bậc hai có nghiệm kép:
x
1
=x
2
=
a
b
2
−
+ Nếu
∆
>0: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=
a
b
2

trong trường hợp phương trình có nghiệm (
∆
>=0) ta có thể dùng định lý Viet
để nhẩm nghiệm của phương trình.
Định lý Vi-et
Nếu phương trình ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0) có nghiệm số x
1
;x
2
(
∆
≥
0)
thì:
x
1
+x
2
=
a
b−
x
1
.x
2
=

c
+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi
∆
≥
0 hay b
2
- 4ac
≥
0
x
1
.x
2
>0
0>
a
c
x
1
+x
2
>0
0>
−
a
b
+ Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi:
∆
≥
0 hay b

<0
0<
a
c
x
1
+x
2
=0 hay
0=
−
a
b
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số dương có trị
tuyệt đối lớn hơn khi:
0<
a
c
0>
−
a
b
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số âm có trị tuyệt
đối lớn hơn khi:
0<
a
c
0<
−
a

a
acb
a
c
a
b
xxxxx
−
=−
−
=−+=+
x
22
2
21
22
2
2
1
4
2
4
1
)(2)
2
()(2)(
a
c
a
acb

(1)
Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:
Giải Điều kiện: x
:, bxa ≠≠
Ta có: (1)
)()())((2 bxbaxabxax −+−=−−⇔
02)(32
222
=++++−⇔ abbaxbax
0)()(32
22
=+++−⇔ baxbax
2
)( ba +=∆
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
bax +=
1
2
2
ba
x
+
=
*
0
1
≠⇔≠ bax
0
1
≠⇔≠ abx

0
32
1
)32)(2(
4
)2)(2(
1
)32)(2)(2(
4
=
+
+
++
−
+−
−
++−
⇔
xxxxxxxx
TXĐ: x-2
0≠
2±≠x
x+2
0
≠
⇒
2
3−
≠x
2x+3

+bx
2
+cx+d =0 Trong đó x là ẩn số, a,b,c,d là các hệ số: a
0≠
a) Cách giải
Để giải một phương trình bậc ba ( đối với học sinh THCS) ta thường
phải biến đổi đưa về phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử
bậc nhất với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có
kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
2x
3
+7x
2
+7x+2=0 (*)
Giải
(*)
⇔
(2x
3
+2)+(7x
2
+7x)=0
⇔
2(x
3
+1)+7x(x+1)=0
⇔
2(x+1)(x

Giải:
(1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x
1
=1. Do đó (1) có thể viết:
(x-1)(x
2
-2ax+a
2
-b)=0.
Xét phương trình bậc hai:
x
2
-2ax+a
2
-b=0 (2)
∆
’
=b
* Nếu b<0
⇔
(2) vô nghiệm
(1) có nghiệm duy nhất x=1
* Nếu b=0
⇔
(2) có nghiệm kép: x=a
(1) có hai nghiệm: x=1;x=a
* Nếu b>0
⇔
(2) có hai nghiệm phân biệt:
(1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x=a+

+c=0.
Trong đó: x là ẩn số, a;b;c;d là các hệ số; a
0≠
Cách giải
Với loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đặt ẩn phụ x
2
=t
≥
0. Từ đó ta có một phương trình bậc hai trung gian: at
2
+bt+c=0, giải
phương trình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x
2
=t (Nếu những giá
trị của t tìm được thoả mãn t
≥
0), ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình
ban đầu.
Ví dụ 1:
Giải phương trình: x
4
– x
2
– 6 = 0 (**)
Giải:
Đặt x
2
=t
≥
0 phương trình (**) trở thành:

=t
≥
0 khi đó phương trình (***) được quy về một phương trình bậc
hai:
t
2
-2(m-1)t-(m-3)=0 (****)
∆
’
=(m-1)
2
+(m-3)=m
2
-m-2
a) Để (***) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (***) phải có 2 nghiêm
dương phân biệt tương đương với:
∆
’
>0 m
2
-m-2>0
x
1
+x
2
>0 hay m-1>0
x
1
x
2

x
2
(x
2
-4)=0
Phương trình (***) có nghiệm: x
1
=2; x
2
=-2 và một nghệm kép x
3
= 0
c) Điều kiện để phương trình (***) có hai nghiệm:
*) Hoặc phương trình (****) có nghiệm kép dương.
*) Hoặc phương trình (****) có 2 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có một
nghiệm dương, nghệm còn lại là âm.
d) phương trình (***) vô nghiệm khi:
*) phương trình (****) vô nghiệm.
*) Hoặc phương trình (****) có hai nghiệm âm.
Như vậy: Phương trình (****) vô nghệm khi
∆
’
<0
hay m
2
- m - 2 < 0
⇔
(m+1)(m-2)<0
Lập bảng xét dấu của tích (m+1)(m-2)
Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m-2 nhờ vào tính đồng

∞
-1 2
∞+

m+1 - 0 + 1 +
m-2 - 1 - 0 +
(m+1)(m-2) + 0 - 0 +
Vậy hệ tương đương với m
1−≤
m
2≥
m<3
m<1
Kết hợp với điều kiện này ta được: m
≤
-1
Vậy phương trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi m
≤
-1
*) Tóm lại: Phương trình (***) vô nghiệm khi -1 <m <2 hoặc m
≤
-1.
d) Nhận xét:
Nghiên cứu về số nghiệm của phương trình trùng phương:
ax
4
+bx
2
+c=0 (a
0≠

+ Phương trình có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép x=0)
Xảy ra khi at
2
+bt+c=0 có hai nghiệm t
1
=0;t
2
=
0>
−
a
b
Muốn vậy ta phải có: c=0
0>
−
a
b
Khi đó nghiệm của phương trình trùng phương là: x=0; x=
a
b
−±
+ Phương trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phương trình bậc hai
trung gian có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó nghiệm của phương trình
trùng phương là hai cặp số đối nhau, khác nhau.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t=0 (xảy ra khi
b=c=0) thì phương trình có nghiệm x=0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau).
+ Khi nói đến nghiệm số của phương trình trùng phương là số lẻ thì
trong đó phải có nghiệm số kép.
3-2. Phương trình dạng: (x+a)
4



−
+






−
c
ba
t
ba
(Đây là phương trình trùng phương ẩn t- Ta đã biết cách giải)
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
( ) ( )
253
44
=+++ xx
(*)
Giải:
Đặt t=
4
2
53
+=⇒
+

4
= 82 (**)
===============================
Giải
Đặt t=x+
1
2
46
+=
−
x
⇒
x + 6 = t + 5
x – 4 = t – 5
Phương trình (**) có dạng: (t+5)
4
+ (t-5)
4
=82
⇔
2t
4
+ 300t
2
+ 1250 = 82
⇔
t
4
+ 150t
2

phương trình (**) vô nghiệm.
c) Nhận xét:
Bằng phép đổi biến t=x+
2
ba +
ta đưa được phương trình (x+a)
4
+
(x+b)
4
=c về một phương trình trùng phương (trung gian) có dạng tổng quát:
t
4
+Bt
2
+C=0
Qua phép biến đổi t
2
=X (với x
0≥
) Ta đưa được phương trình về một phương
trình bậc hai trung gian:
X
2
+ BX + C=0
Số nghiệm của phương trình (x+a)
4
+(x+b)
4
=c phụ thuộc vào số nghiệm

phương trình bậc hai trung gian.
Như vậy: Nếu phương trình bậc hai trung gian X
2
+BX+C=0
+ Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phương trình đầu vô
nghiệm.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương, một
nghiệm âm thì phương trình đầu có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu phương trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dương (phân biệt)
thì phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương và một
nghiệm bằng 0 thì phương trình dầu có 3 nghiệm
+ nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dương thì
phương trình đầu có hai nghiệm kép phân biệt.
4.3 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG (X+A)(X+B)(X+C)(X+D)=M.
Trong đó 4 hệ số a; b; c; d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng
nhau, chẳng hạn: a+d=b+c
a) Cách giải:
Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c)
Khai triển tích đó đưa về phương trình dạng:
x
2
+(a+d)x+ad
Do a+d=b+c nên ta đặt x
2
+(a+d)x+k=t (k có thể là ad hoặc bc, hoặc tuỳ ý).
Khi đó, ta sẽ đưa được phương trình về dạng:
At
2
+Bt +C =0 (A=1)

+3t-4=0 (2)
Phương trình (2) có nghiệm t
1
=1; t
2
=-4 (Vì a+b+c=0)
+ Với t=1 Ta có x
2
+12x+32=1 hay x
2
+12x+31=0
5
'
=∆
⇒
x
1
=-6+
5
; x
2
=- 6-
5
;
+ Với t=-4 Ta có x
2
+12x+32=-4 hay x
2
+12x+36=0
0

t
2
+18-19=0
Do 1+19-19=0 nên t
1
=1; t
2
=-19
+) Với t=1 thay vào x
2
+5x-14=t
Ta có x
2
+5x-15=0
Ta có
5858605
2
=∆⇒=+=∆
Vậy x
1
=
2
855 +−
x
1
=
2
855 −−
+) Với t=-19 Thay vào x
2

;
2
55
;
2
855
;
2
855
c) Nhận xét:
Với loại phương trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái được phương
trình bậc 4 đầy đủ
⇒
ta sẽ khó giải bởi THCS chưa học. Bằng việc nhóm hợp
lý 2 đôi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đưa được về phương
trình bậc hai trung gian.
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm
⇒
phương trình ban
đầu vô nghiệm.
+ Khi giải phương trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm được
giá trị ta trả biến và giải phương trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của
phương trình này (nếu có) là nghiệm của phương trình đầu.
3-4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng tổng quát: ax
4
+ bx
3
+ cx
2

+ bx
3
+ cx
2

±
bx +a=0
+ Vì e
0≠
nên x=0 không phải là nghiệm của phương trình (I) chia cả
hai vế của phương trình (I) cho x
2
ta được phương trình tương đương
ax
2
+bx+c+
0
2
=+
x
e
x
d
(II)
Nhóm
0
2
2
++


++






+ c
bx
d
xb
ax
e
x
Đổi biến: x+
2
22
2
2
.2 t
b
d
xb
d
xt
bx
d
=++⇒=
(do
a

d
t
Ta được phương trình trung gian: at
2
+bt+c=0
Giải phương trình at
2
+bt+c=0 tìm được nghiệm (sau trả biến và giải
phương trình x+
t
bx
d
=
) Sau đó ta biện luận về nghiệm của phương trình
(I)
c) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình
2x
4
+3x
3
-16x
2
+3x+2=0 (*)
Giải:
Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (*) nên chia cả hai
vế cho x
2
ta được phương trình tương đương:
2x

+
x
x
x
x
(**)
Đặt x
t
x
=+
1
thì
2
1
2
2
2
−=+ t
x
x
Phương trình (*) trở thành 2
( )
01632
2
=−+− tt
02032
2
=−+⇒ tt
Giải phương trình:
02032

014
2
=++ xx
Ta được: x
1
=-2+
;3
x
2
=-2-
;3
(Thoả mãn x
0
≠
)
+)Với
5,2=t
ta có
5,2
1
−=+
x
x
(x
0
≠
)
015,2
2
=+−⇔ xx

+74x
2
-105x+50=0 (***)
Giải:
Vì x=0 không là nghiệm của phương trình
Chia 2 vế của phương trình (***) cho x
2
ta được
0
50105
74212
2
2
=+−+−
x
x
xx
074
105
21
50
2
2
2
=+










+
x
x
x
x
Đặt
t
x
x =+
5
thì
10
25
2
2
2
−=+ t
x
x
Phương trình (****) trở thành:
07421)10(2
2
=+−− tt
054212
2
++−⇔ tt

Với t=4,5 Ta có x+
5,4
5
=
x
(x
0
≠
)
055,4
2
=+−⇔ xx
Giải phương trình x
055,4
2
=+− x
ta có: x
3
=2;x
4
2,5 (thoả mãn x
0
≠
)
Vậy phương trình (***) có 4 nghiệm:
S=
{ }
5,2;2;5;1
c) Nhận xét:
+ Giải phương trình đối xứng: bằng phép biến đổi tương đương và đổi

bx
d
x =+
;
2
t
bx
d
x =+
có bao nhiêu nghiệm thì
phương trình đầu có bấy nhiêu nghiệm.
3-5. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
( )
[ ]
( )
0
2
=++ cxbfxfa
(1)
(Trong đó
0≠a
; f(x) là đa thức của biến x, x là ẩn của phương trình)
a) Cách giải:
- Tìm tập xác định cảu phương trình bằng phép đổi biến f(x)=t
- Đưa phương trình về dạng: at
2
+bt+c=0 (2)
- Nếu phương trình (2) có nghiệm t=t
0
, ta giải tiếp phương trình

2
=2.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0 (*)
Giải:
TXĐ:
Rx ∈∀
Buến đổi vế trái: x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0
= x
4
+6x
3
+9x
2
-12x+3
= (x
2
+3x)

=3
Trả biến:
+) Với t=1 thì x
2
+3x=1
⇔
x
2
+3x-1=0
Giải ra ta được: x
1,2
=
2
133 ±−
+) Với t=3 thì x
2
+3x=3
⇔
x
2
+3x-3=0
Giải ra ta được: x
3,4
=
2
213 ±−
Vậy phương trình (*) có 4 nghiệm (vì đều thoả mãn điều kiện)
S =




+
+






+ xx
(**)
Giải:
TXĐ:
;1−≠x
2
−≠
x
Thêm vào 2 vế của (**) biểu thức:
2
1
.
1
1
.2
++
−
xx
Ta được phương trình tương đương:
2
1






+ xxxxxx
Hay
)2)(1(
2
36
13
2
1
1
1
2
++
−=






+
−
+ xxxx
0
36
13

2
=−+⇔ tt
Giải phương trình:
0137236
2
=−+ tt
Ta được t
1
=
;
6
13
t
2
=
6
1
+) Với t=
6
13
ta có
6
13
)2)(1(
1
=
++ xx
0323913
2
=++⇒ xx

5
+ 2x
4
– 5x
3
-10x
2
+4x+8=0 (*)
Giải:
Đây là phương trình bậc 5, ta biến đổi đưa về dạng phương trình tích
Dễ thấy phương trình (*) có nghiệm x=-1.
Chia vế trái của phương trình (*) cho x+1, ta được:
(x+1)(x
4
+x
3
-6x
2
-4x+8)=0 (**)
Đa thức f(x) = x
4
+x
3
-6x
2
+8 có nghiệm x=1 (vì f(1) =0).
Ta chia tiếp f(x) cho x-1. Khi đó, phương trình (**) có dạng:
(x+1)(x-1)( x
3
-2x

2
+2x-1=0 (*)
Ta nhóm các số hạng lại thì được: (x
4
+4x
3
+4x
2
)-(x
2
-2x+1)=0
(x
2
+2x)
2
-(x-1)
2
=0
(x
2
+x+1)(x
2
+3x-1)=0
⇔
x
2
+x+1=0 (1)
x
2
+3x-1=0 (2)

-4x
3
-10x
2
+37x-14=(x
2
+px+q)(x
2
+rx+s)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng
nhất thức ta có hệ phương trình sau:
p + r= - 4
s + q + pr= - 10
ps + qr= 37
qs = - 14
Giải hệ phương trình trên với nghiệm nguyên ta được:
p=-5; q=2; r=1; s=-7
Do đó phương trình đã cho trở thành:
(x
2
-5x+2)(x
2
+x-7)=0
Ta chỉ còn phải giải hai phương trình sau:
x
2
-5x+2=0; x
2
+x-7=0 và
được tập nghiệm là: S =

Giải:
Điều kiện:
7
−≥
x
: (1)
⇔
x+1=
7+x
(2)
Bình phương hai vế (2) ta được: (x+1)
2
=
( )
2
7+x
712
2
+=++⇔ xxx
06
2
=−+⇔ xx
Giải phương trình
06
2
=−+ xx
ta có x
1
=-3; x
2

t
1
=2
t
0
≥
t
2
=
2
5−
(loại)
t
0≥
Thay gia trị của t vào (*) ta có:
23 =−x
43 =−⇒ x
⇒
x=7 (Thoả mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình (2) là x=7
b) Nhận xét:
+ Khi giải phương trình vô tỷ ta cần chủ ý tìm TXĐ của phương trình
+ Tiến hành giải (3 cách)
• Cô lập căn thức, rồi bình phương hai vế để khử căn bậc hai
(hai vế của phương trình không âm)
Sử dụng định nghĩa căn thức bậc n (n chẵn)
)()(
2
xgxf
k

-5x+3)
3
=(3x
2
-2x-1)
3
Ta thấy (x
2
+3x-4)+(2x
2
-5x+3)=(3x
2
-2x-1)
Tư đó đặt a=x
2
+3x-4; b=2x
2
-5x+3 thì phương trình đã cho có dạng
a
3
+b
3
=(a+b)
3
mà (a+b)
3
=a
3
+3ab(a+b)+b
3

y
y
x
x
nên vế trái
4≥
. Dấu bằng sảy ra khi
x
4
4
4
4
1
;
1
y
y
x
==
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm x=
1;1 ±=± y
Ví dụ 3: Giải phương trình: (1+t
2
)
2
=4t(1-t
2
)
Giải: Ta có (1+t
2

21
+−=−= tt
b) Nhận xét:
Với các phương trình đặc biệt, mỗi phương trình có một cách giải riêng
nó đòi hỏi tư duy rất cao, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp một
cách hết sức linh hoạt
KẾT LUẬN
Phát triển tư duy toán học và nhận thức sáng tạo cho các em học sinh là
một việc làm khó. Để làm được điều này người giáo viên phải là người có
kiến thức, có phương pháp sư phạm tốt, hết lòng thương yêu học sinh và hơn
nữa là cần phải kỳ công với các bài giảng của mình.
Sau một thời gian giảng dạy, qua nghiên cứu kết quả học tập của học
sinh các lớp bồi dưỡng học sinh kgá giỏi, qua trao đổi với các đồng nghiệp tôi
thấy. Khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi phần kiến thức về những phương
trình quy về phương trình bậc hai theo những nội dung của đề tài. các em đều
có sự tiến bộ rõ rệt. Thể hiện, các có cái nhìn toàn diện hơn về mảng kiến
thức này, không còn lúng túng trong khi giải các dạng phương trình đã học.
Đối với giáo viên, việc thực hiện giảng dạy các kiến thức này trở nên
dễ dàng hơn rất nhiều, các đồng nghiệp của tôi đều đánh gái rất cao hệ thống
kiến thức này và coi đó là tài liệu chính cho việc bồi dưỡng cho học sinh khá,
giỏi lớp 9.(Mảng kiến thức về phương trình)
Với những thnàh công đó, tôi mạnh dạn viết lại hệ thống kiến thức này
mong phổ biến rộng rãi hơn, góp phần vào việc bồi dưỡng kiến thức cho học
sinh khá giỏi. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp, kinh nghiệm bản thân còn hạn
chế, chắn không tránh khỏi những sai sót. Rất mong thầy cô và đồng nghiệp
chỉ ra giúp.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Khải đã giúp em hoàn
thành đề tài này.
Hải dương, ngày… tháng… năm 2006
Xác nhận của nhà trường THCS Người thực hiện đề tài