Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề.
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Trong toán học, giải phương trình là một phần rất quan trọng trong việc
dạy và học ở trường phổ thông. Việc nắm vững các dạng phương trình và rèn
luyện kỹ năng giải các phương trình đơn giản như: phương trình bậc nhất,
phương trình bậc hai là nền tảng và cơ sở để học sinh biết tư duy, biết suy
luận, tìm ra phương pháp giải phương trình vô tỉ.
Phương trình vô tỉ là dạng toán rất đa dạng, phong phú, đòi hỏi học sinh
khi giải phương trình phải có óc quan sát, suy luận, sáng tạo, đồng thời phải biết
vận dụng một cách linh hoạt nhiều kiến thức. Nó giúp cho học sinh phát triển tư
duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ. Cho nên trong các kì thi học sinh giỏi, kì
thi tuyển sinh vào THPT, kì thi đại học thường xuyên có dạng toán này.
Tuy nhiên trong chương trình toán THCS, học sinh chỉ được làm quen với
phương trình vô tỉ ở dạng đơn giản và không đưa ra phương pháp và các bước
làm cụ thể. Vì thế, khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không
biết bắt đầu như thế nào. Chính vì vậy việc tổng hợp, đưa ra những phương pháp
giải cụ thể là rất quan trọng đối với học sinh.
2. Ý nghĩa của giải pháp mới.
Giúp làm tăng khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh
Học sinh biết suy luận theo hướng logic (suy luận theo bản đồ tư duy, suy
luận thao sơ đồ phân tích….)
Giúp học sinh biết liên hệ giữa các vấn đề, dẫn tới hiệu quả học tập tốt
hơn.
Học sinh biết cách trao đổi thông tin với bạn thông qua hoạt động dạy học
hợp tác trong nhóm của giáo viên.
Giúp học sinh nhận dạng được phương trình vô tỉ, đưa ra phương pháp
phù hợp từ đó yêu thích môn học và say mê với môn học, làm giảm những suy
nghĩ tiêu cực trong học sinh.
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
3
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
Học sinh từ việc học thụ động nên việc học tập của các em chưa hiệu quả
dẫn tới một số em chán nản trong việc học. Một số học sinh có khả năng học tập
nhưng rất sợ khi gặp phải dạng toán này.
3. Các biện pháp tiến hành.
Học sinh đã biết phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong dấu
căn. Vì thế muốn giải phương trình thông thường phải biến đổi hoặc làm thế nào
đó để khử căn. Các phép biến đổi yêu cầu phải chuẩn xác và tương đương. Vì
thế khi giảng dạy cho học sinh cần nhấn mạnh:
- Tìm điều kiện để căn thức trong phương trình có nghĩa (đối với căn bậc
chẵn).
- Điều kiện để các phép biến đổi là tương đương và điều kiện để áp dụng
bất đẳng thức.
- Quá trình biến đổi phải chính xác. Đặc biệt chú ý
2
A A=
khi khai căn.
- Khi tìm được giá trị của ẩn phải so sánh với điều kiện ở trên để tìm
nghiệm thích hợp của phương trình.
- Ngoài ra học sinh nắm vững một số kiến thức liên quan cụ thể:
1. Điều kiện để
A
có nghĩa là A ≥ 0
2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
a)
( )
2
2 2

3 3 2 2
.A B A B A AB B
+ = − + +
3. Nếu a
2n
= b
2n
và a > 0, b > 0 => a = b (n∈N
*
)
4. Với ∀ a,b ∈ R nếu a = b => a
2n+1
= b
2n+1
(n∈N)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
4
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
5. Hằng đẳng thức
2
0
A A
A A
A A
≥

= =

− <


Giải pháp được cụ thể hoá thông qua các phương pháp giải phương trình
vô tỉ và một số ví dụ cụ thể.
1. PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA
a. Phương pháp
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Nâng lên cùng một lũy thừa ở hai vế nhằm mục đích mất dấu căn (chú ý
điều kiện để nâng lên lũy thừa và có thể nâng lên lũy thừa nhiều lần).
- Giải phương trình không chứa căn
- Nghiệm của phương trình là những giá trị thuộc tập xác định
b. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:

1 1x x+ = −
(1)
ĐKXĐ:
1x ≥ −

( )
( )
( )
2
2
1
1 0
1 1
1 3
0
3 0
3 0
1 1

=



( x = 3 thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3
Lưu ý: ở bài toán này, học sinh thường hay mắc phải sai lầm khi bình
phương hai vế không có điều kiện
1 0x − ≥
. Do đó làm xuất hiện nghiệm ngoại
lai: x = 0.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
15 2 1x x− − − =
(2)
ĐKXĐ:
2 15x≤ ≤
Ta có (2)
15 2 1x x⇔ − = + +( )
2
15 2 1x x⇔ − = + +
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
6
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

15 2 2 2 1x x x⇔ − = − + − +

2 2 16 2x x⇔ − = −

=


(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
6x =

Lưu ý: trong ví dụ trên học sinh dễ mắc sai lầm là cứ như vậy bình
phương hai vế khi mà chưa có điều kiện để vế trái không âm.
Ví dụ 3. Giải phương trình:

xxx −=−−+ 1271
(3)
Tương tự ví dụ 2 học sinh dễ dàng làm được như sau:
ĐKXĐ:
7 12x≤ ≤
( )
3 1 12 7x x x⇔ + = − + −( ) ( )
2 2
1 12 7x x x⇔ + = − + −

( ) ( )
2 7 12 4x x x
⇔ − − = −
(3’)
Với ĐKXĐ thì hai vế của (3’) có giá trị không âm.
Bình phương hai vế của (3’) ta được:

Ví dụ 4. Giải phương trình:
1 4 9x x x x+ + + = + +
(4)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
7
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
ĐKXĐ: x ≥ 0
( )
( ) ( )
2 2
4 1 4 9x x x x⇔ + + + = + +

( ) ( ) ( )
2x 5 2 1 4 2x 9 2 9x x x x⇔ + + + + = + + +( ) ( ) ( )
1 4 2 9x x x x⇔ + + = + +
Hai vế không âm, bình phương hai vế và thu gọn ta có:
2
9x x x+ = −
(4’)
Với điều kiện: x ≤ 0, bình phương hai vế của (4’) ta được:
09
22
=⇔=+
xxxx
(thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0
Lưu ý: ở bài toán này, sau khi biến đổi đến (4’):

(vô nghiệm)
4)
1 4 3x x− + + =
( x = 0; x = - 3)
2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
2.1. Sử dụng hằng đẳng thức A
n
= B
n
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
8
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
a. Phương pháp
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình
+ Áp dụng các hằng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng:

( ) ( )
n n
A x B x=
(*)
- Nếu
( )
*
2n k k= ∈¥
thì (*)
( ) ( )
A x B x⇔ = ±
- Nếu
( )
*

2 2
x x
   
⇔ + = + −
 ÷  ÷
   1 1
3 (1)
2 2
1 1
x 3 (2)
2 2
x x
x

+ = + −


⇔
 

+ = − + −
 ÷

 


Giải phương trình (1) ta được
( )
( )
2
2
3 2 3 1x x⇔ + = + +( )
3 2 3 1
3 2 3 1
x x
x x

+ = + +

⇔

+ = − + +


Giải phương trình
3 2 3 1x x+ = + +
ta được x = - 1 là nghiệm
Giải phương trình
( )
3 2 3 1x x+ = − + +
vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1

(thỏa mãn ĐKXĐ)
Ví dụ 3. Giải phương trình:

3
7 15 2 3x x x− = −
(3)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
10
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
Với bài toán này, khi học sinh gặp phải các em rất lúng túng không định
hướng được cách làm. Vì thế tôi cho các em nhận xét thấy
3
x
, x,
x
có mối
quan hệ với bậc của a, b trong hằng đẳng thức (a
±
b)
3
sau khi khai
triển. Đồng thời hướng dẫn các em làm như sau:
ĐKXĐ: x ≥ 0
( )
3 7 15 2 3x x x x⇔ − = −

8 12 6 1 3 3 1x x x x x x x x⇔ − + − = + + +( ) ( )

3
(2 ) ( 2)
2 2
2 8
x x
x x
x x
⇔ = −
⇔ = −
⇔ = − ⇔ = −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = - 8
2.2. Sử dụng đẳng thức dạng đặc biệt:
a) Phương pháp
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Sử dụng đẳng thức để đưa về dạng tích
( ) ( )
1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − =

( ) ( )
. 0au bv ab uv u b v a+ = + ⇔ − − =

GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
11
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
- Giải phương trình tích nhận được
b) Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
3 2
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +

⇔ ⇔


= −

+ − =


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0; x = - 1.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
(2)
ĐKXĐ:
1x ≥ −

(2)
( ) ( )
3 2 1 2 1 3x x x x x x
⇔ + + + = + + +

( ) ( )
3 2 . 1 1 0x x x⇔ + − + − =
từ đó ta tìm được
1
0
x
x
=


3 2 3 2
3 3
1x x x x x+ + = + +
( x = 1)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
12
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
e)
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
(x = 1)
3. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a. Phương pháp
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình
+ Biến đổi phương trình về dạng:
mxDxBxA
mxDxBxA
=+++⇔
=+++
)( )()(
)( )()(
222
+ Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta tìm được nghiệm của
phương trình (là những giá trị thuộc tập xác định).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5
Lời bình: Trong bài toán trên học sinh có thể giải bằng cách bình phương hai
vế của phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình:

2 1 2 1 2x x x x
+ − + − − =
(2)
ĐKXĐ: x ≥ 1
(2) 1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x
⇔ − + − + + − − − + =
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
13
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

( )
2 2
( 1 1) ( 1 1) 2
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1'
x x
x x
x x
⇔ − + + − − =
⇔ − + + − − =
⇔ − + − − =
Nếu x > 2 thì:
21111
1111)'1(
=⇒=−⇔=−⇔

=−⇔
=−−++−⇔
=−−++−⇔
xx
x
xx
xx
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 dẫn đến thiếu nghiệm của phương
trình. Đây là một sai lầm ta thường gặp ở học sinh
c. Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:
2
) 6x 9 5a x x− + = −
(x = 4)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
14
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

) 2 3 4 2 3 4 2b x x x x+ + + + − + + =
(x = - 2)
) 3 4 1 8 6 1 5c x x x x+ + − + + − − =
(
1 10x≤ ≤
)
4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
a. Phương pháp
- Tìm ĐKXĐ của phương trình
- Đặt ẩn phụ thích hợp nhằm hữu tỉ hóa phương trình(chú ý tìm điều kiện
cho ẩn phụ nếu có )
b. Các ví dụ

Do đó x
1
= - 1 (thỏa mãn ĐKXĐ); x
2
= - 6 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = -1 hoặc x = -6
Lời bình:
Trong bài toán này ta thấy xuất hiện cả trong và ngoài dấu căn biểu
thức x
2
+7x+7. Do vậy ta đặt
)0(77
2
≥=++ yyxx
để đưa phương trình đã cho
về phương trình không chứa căn đối với ẩn y.
Ví dụ 2. Giải phương trình:

3
2 1 3x x
− + + =
(2)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
15
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
ĐKXĐ: x ≥ -1
Đặt:
2
1 ( 0) 2 3x y y x y
+ = ≥ ⇒ − = −


2 0y⇔ − =
(vì
2
6 15 0y y− + >
)
Do đó y = 2 ( Thoả mãn)
Thay trở lại ta được:
321
=⇒=+
xx
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3
4.2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ phương trình hữu tỷ
Ví dụ 3. Giải phương trình:

3
3
1 2 2 1x x+ = −

(3)

Đặt
3
2 1y x= −
khi đó ta có hệ:
3
3
1 2 (1')
1 2 (2')

16
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
để đưa về hệ phương trình đối xứng. Để giải được cách này thì học sinh phải
được cung cấp cách giải hệ phương trình đối xứng.
Ví dụ 4. Giải phương trình:

2 2 3 2
3
(3 1) (3 1) 9 1 1x x x
+ + − + − =
(4)
Với bài toán này học sinh dễ nhận thấy mối quan hệ giữa các biểu thức.
Vì vậy các em dễ định hướng và thấy được:
Đặt:
33
13;13
−=+=
xvxu
Phương trình (4) trở thành:
2 2
3 3
1
2 2
2
u v uv
u v u v
u v

+ + =
⇒ − = ⇔ = +

+ =

⇒ =

− = −


Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
c. Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau :
a)
2
1 2 2 2 13 2x x x x x+ + − + − − = −
(x = 3)
b)
2 2
2 3 2 3 9 33x x x x+ + + + =
(x = 3; x =
9
2
−
)
c)
1 2 1 5x x− + − =
(x = 5)
d)
8 x 5 x 5+ + − =
( x = 1)
e)
2

)
2 2
6 3 2 3 5 2 3 5x x x x x x⇔ = + + − − +

2 2
2 3 5 2 3 5 2x x x x⇒ + + = − + +
(do x > 0)
Bình phương hai vế ta có:

2353
2
22 −=+− xxx
Bình phương hai vế ta có:
2 2
8 12 20 9 12 4x x x x− + = − +⇔
x
2
=16
⇒
x = 4 (do x > 0)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4
Ví dụ 2: Giải phương trình

2 2
12 5 3 + 5x x x+ + = +
(2)
ĐKXĐ: R

− −
⇔ = − +
+ + + +( )
2 2
2 2
2 3 0
12 4 5 3
x x
x
x x
 
+ +
⇔ − − − =
 ÷
+ + + +
 

Ta có với
5
3
x >
thì
2 2
2 2
3 0
12 4 5 3
x x

−
khi đó ta có
A B C
A B
α

+ =


− =



b. Ví dụ:
Ví dụ. Giải phương trình:
2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +

Ta có:
( ) ( )
( )
2 2
2 9 2 1 2 4x x x x x
+ + − − + = +
x = - 4 không phải là nghiệm
Xét
4x ≠ −
Trục căn thức vế trái ta có:
2 2
2 2

2 2 9 6
7
8
x
x x x
x
=


⇒ + + = + ⇔

=

(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x =
7
8

5.3. Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:
a)
2238232238)1(
222
++−+++++ xxxxxx
(x = -1)
b)
1 1 1
1
3 2 2 1 1x x x x x x
+ + =

6.1. Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế là rời nhau khi đó phương trình vô
nghiệm
Ví dụ 1. Giải phương trình:

1 5 1 3 2x x x− − − = −
(1)
ĐKXĐ:
1x ≥

Với
1x ≥
ta có
5 1 5 1 1 5 1x x x x x x< ⇔ − < − ⇔ − < −
do đó VT < 0
mà VP > 0 nên không có giá trị của x để hai vế bằng nhau do đó phương trình
(1) vô nghiệm.
Lời bình: Với bài này ta có thể giải theo phương pháp nâng lên lũy thừa .
Nhưng nếu ta hướng dẫn học sinh đi chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau
thì lời giải bài toán sẽ hấp dẫn hơn và sẽ gây được hứng thú học tập, tìm tòi,
khám phá của học sinh.
6.2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 2.
Giải phương trình

2 2 2
2 5 2 10 2 4x x x x x x+ + + + + = − − +
ĐKXĐ: R
Ta có
( ) ( )
2 2

− + = − + − +
(3)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
21
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
ĐKXĐ: R
Ta có:
2
)54()32(
43
01)1(54
02)1(32
22
2
22
22
+−++−
=+−
>+−=+−
>+−=+−
xxxx
xx
xxx
xxx
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:
32
2
+−
xx
và


Theo bất đẳng thức BunhiaCôpxki cho cặp số (3;4) và
( )
5; 2 4x x+ +

ta có:
93542453:
)425)(43()42453(
222
+≤+++
++++≤+++
xxxhay
xxxx
Dấu “=” xảy ra ⇔
4
42
3
5 +
=
+ xx
( ) ( )
16 5 9 2 4x x⇔ + = +

16 80 18 36x x⇔ + = +

2 44 22x x⇔ = ⇔ =
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 22
Lời bình: Trong hai ví dụ trên ta đã sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT
Caychy và BunhiaCôpxki để chỉ ra nghiệm của phương trình.

B2: Chứng minh đó là ngiệm duy nhất .
b) Ví dụ:
Ví dụ. Giải phương trình:
3
2 1 3x x
− + + =
ĐKXĐ:
1x ≥ −

Ta thấy x = 3 nghiệm đúng với phương trình
Với x > 3 thì
12
3
>−
x
và
21
>+
x
nên
312
3
>++− xx
Với -1
≤
x <3 thì
12
3
<−
x

4
3 5 5 7 13 7 11 8x x x x− + − + + + + =
(x = 3)
c)
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − + − − −
(x = 2)
d)
6 8
6
3 x 2 x
+ =
− −
(x =
3
2
)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
23
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
II.2. Phạm vi áp dụng
* Để thực hiện được sáng kiến kinh nghiệm này:
- Những yêu cầu đó đòi hỏi giáo viên phải có thời gian, kinh phí, tâm
huyết, yêu nghề, yêu trẻ, có lòng say mê tìm tòi sáng tạo. Giáo viên cũng cần rèn
cho học sinh ý thức, thói quen học tập nghiêm túc, rèn kĩ năng quan sát, làm
việc theo sự hướng dẫn của giáo viên. Đối với học sinh cần phải có tinh thần học
tập bộ môn những bạn học khá giỏi giúp đỡ những bạn học yếu hơn mình có
như vậy giờ học mới đảm bảo đúng tiến độ của giờ lên lớp.
* Đối tượng
Đề tài có thể tùy theo mức độ, yêu cầu đối tượng học sinh mà giáo viên có

Câu 1(2điểm).
3 17x x+ = −
(1)
GV: Bùi Thanh Liêm – THCS Đại Hưng
24
Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
ĐKXĐ:
3x ≥ −
(0,25đ)
(1)
( )
2
17 0
3 17
x
x x
− ≥


⇔

+ = −


(0,25đ)
*
17 0 17x x− ≥ ⇔ ≤
(0,25đ)
*
( )

3 . 1 1x x x
⇔ + − = −
(0,5đ)
( ) ( ) ( )
2
1
3 . 1 1
x
x x x
≤


⇔

+ − = −


(0,25đ)
*
( ) ( ) ( )
2
3 . 1 1x x x+ − = −
( ) ( ) ( )
2
3 . 1 1 0x x x⇔ + − − − =
(0,25đ)
( )
4 1 0 1x x⇔ − = ⇔ =
(thỏa mãn) (0,5đ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 (0,25đ)

+ − =



(thỏa mãn) (0,5đ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0, x = - 1 (0,25đ)
Câu 4(2điểm).
2 3
2 5 1 7 1x x x
+ − = −
(4)
ĐKXĐ:
1x ≥
(4)
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 1 3 1 7 1 1x x x x x x⇔ + + + − = − + +
(0,25đ)
Đặt
1x a− =
,
2
1x x b+ + =
ta có phương trình:
2 2
2 3 7b a ab+ =
=
4 6−
(không t/m) 0,5đ)
*Với a = 2b ta có phương trình:
2
1 2 1x x x− = + +
(vô nghiệm) (0,5đ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4 +
6
(0,25đ)
Câu 5(2đ).
2
3 1 5 4 3x x x x+ + + = + +
(5)
ĐKXĐ:
1
3
x
−
≥

(5)
2
3 1 ( 1) 5 4 ( 2) ( ) 0x x x x x x⇔ + − + + + − + − − =
(0,25đ)

2
3 1 ( 1) . 3 1 ( 1) 5 4 ( 2) . 5 4 ( 2)
3 1 ( 1) 5 4 ( 2)
x x x x x x x x