Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
A - đặt vấn đề
1. Lời nói đầu:
Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong các
lĩnh vực của cuộc sống, từ xa xa con ngời đã biết đến toán học thông qua việc đo
đạc, tính toán
Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác.
Trong nhà trờng, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tính
trừu tợng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm. Vì vậy, làm
thế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô
và cha mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học.
Phơng trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từ
cấp II đến cấp III và các cấp cao hơn. Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bị
cho mình những kiến thức thật vững chắc về phơng trình.
Trong chơng trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đa ra cách giải
phơng trình bậc nhất và bậc hai đơn giản. Đối với các em học sinh thì việc giải
các phơng trình đó không gây khó khăn nhiều. Nhng khi gặp một số phơng trình
bậc cao thì các em thờng lúng túng, cha tìm ngay đợc các cách giải cho bài toán.
Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết ph-
ơng trình này.
Vỡ vy, tụi xin xut mt s phng phỏp gii phng trỡnh bc cao trong
chng trỡnh toỏn THCS v cỏc bi tp minh ha.
2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài.
- Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đa về các ph-
ơng trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc.
- Các ví dụ minh hoạ.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao một ẩn.
- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập.
3. Đối t ợng nghiên cứu.
- Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trờng THCS vì đa số các em chăm học, thích
học toán và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tơng đối ổn định.

3> Các phép biến đổi t ơng đ ơng các ph ơng trình
Định nghĩa phép biến đổi tơng đơng các phơng trình: Biến đổi một phơng
trình đã cho thành một phơng trình khác tơng đơng với nó, nhng đơn giản hơn
gọi là phép biến đổi tơng đơng.
a) Định lý 1:
Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phơng trình thì đợc
một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ: 3x= 27 3x + 2x = 27 + 2x
Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phơng trình
đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với ph-
ơng trình đã cho
Ví dụ:
5x + 7 = 16x - 3 5x - 16x = -3 -7
Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình
thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho
Ví dụ:
7x
3
+ 8x - 5=14 + 7x
3
8x -5 = 14
b. Định lý 2:
Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc phơng
trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Ví dụ:
204181029
2
1
=+=+
xxxx

( a 0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của phơng trình:
= b
2
- 4ac
gọi là biệt số của phơng trình bậc hai vì biểu thức = b
2
- 4ac quyết
định nghiệm số của phơng trình bậc hai
Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :
a) < 0 phơng trình bậc hai vô nghiệm
b) =0 phơng trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiệm trùng nhau )
a
b
xx
2
21
==
c) >0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
+
=
;
a
b
x
2

n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x+a
0
= 0 (a
n
0)
Trong đó: x là ẩn số,
a
n
, ,a
0
: là các hệ số
Đối với phơng trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để
tìm nghiệm của nó. Ngay cả trong trờng hợp là phơng trình bậc 3 và bậc 4 mặc
dù có công thức nhng việc tìm nghiệm của phơng trình cũng hết sức phức tạp
nằm ngoài chơng trình THCS, THPT.
Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiệm của phơng trình đại số
bậc cao.
3.2. Định lí Viet cho ph ơng trình bậc n một ẩn:
Cho phơng trình bậc n: a
n
x

n
nn
a
a
xxxxxx
2
14321



=+++
k
n
kn
iii
a
a
xxx
k
)1(
21
=


với 1i
1
<i
2
< <i
k

2
+ x
3
x
4
+ +x
n-1
x
n
S
k
=

k
iii
xxx
21
với 1 i
1
< i
2
< < i
k
<n
S
n
=x
1
x
2

+ cx + d = 0 có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
.
Khi đó:

a
b
xxx =++
321
a
c
xxxxxx =++
433221
a
d
xxx =
321
- Hệ thức Viet cho phơng trình bậc bốn : ax
4
+ bx
3
+cx
2
+dx +e =0
Có dạng nh sau:
a

=
=
=
0)(
0)(
0)().(
xg
xf
xgxf
Vì vậy phơng trình bậc cao nếu ta phân tích đợc vế trái thành nhân tử thì
sẽ đa phơng trình về dạng phơng trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng
phơng trình quen thuộc đã biết cách giải.
2. Nội dung
Trong nội dung nghiên cứu khi phân tích đa thức thành nhân tử tôi thờng
hớng dẫn học sinh sử dụng các phơng pháp sau:
a. Đặt nhân tử chung
b. Dùng hằng đẳng thức
Trang
4
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
c. Nhóm nhiều hạng tử
d. Tách hạng tử
e. Thêm bớt cùng một hạng tử
đ. Phối hợp nhiều phơng pháp
Ví dụ: Giải phơng trình sau:
a) 7x
3
- 63 x=0

7x(x

3
0
x
x
x
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x=0; x=3; x=-3
b) x
3
-6x
2
+ 12x - 8 =0

(x-2)
3
=0

x-2=0

x=2
Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm x=2;
c)x
3
- 3x
2
+ 6x - 18 = 0

(x
3
- 3x
2

4
+ 3x
2
- 28 = 0

x
4
+ 7x
2
- 4x
2
- 28 =0

x
2
(x
2
-4) + 7(x
2
-4) = 0

(x
2
+ 7)(x
2
- 4) =0

(x
2
+7 )(x-2)(x+2)=0 (1)


=
=

2
2
x
x
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=2; x=-2
e) x
3
- 7x-6 =0

x
3
+ 8 -7x - 6- 8=0

(x
3
+ 8) -(7x+14)=0

(x+2)(x
2
-2x+4) - 7(x+2) =0

(x+2)(x
2
-2x-3)=0



=+
=+

03
01
02
x
x
x






=
=
=

3
1
2
x
x
x
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3
* Ngoài các phơng pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em
nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử .
Định lí Bơzu đợc phát biểu nh sau : Phần d của phép chia đa thức f(x) cho
nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a .

( p , q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phơng trình
(1) thì p là ớc của a
0
, q là ớc của a
n
.
Ví dụ : Giải phơng trình : x
4
- 2x
3
+ x
2
- 4 = 0 (*)
Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng
trình (*) nhận x =- 1là nghiệm .
Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phơng trình (*) chia hết cho x + 1,
do đó phơng trình (*) có thể viết đợc dới dạng :
(x +1 ). ( x
3
- 3x
2
+ 4x - 4 ) = 0
x + 1 = 0 (1)
x
3
- 3x
2
+ 4x - 4 = 0 (2)
(1) x+1 = 0 x = - 1
(2) x

+x
8
-2 =0
e) 2x
4
+ 5x
3
-35x
2
+ 40x-12=0
2. Cho phơng trình : 2x
3
-(1+4m)x
2
+ 4(m
2
-m+1)x -2m
2
+ 3m -2=0
a. Xác định m để phơng trình đã cho có 3 nghiệm dơng phân biệt
b. Giải phơng trình với m=1
H ớng dẫn
2a) 2x
3
-(1+4m)x
2
+ 4(m
2
-m+1)x - 2m
2





=++
=
02322
012
22
mmmxx
x

(1)

2x-1=0


2
1
=x
(2)

x
2
-2mx+2m
2
-3m+2=0
Trang
6
(1)

0
0
0'
0)
2
1
(
P
S
f








>+
>
>++
+

0232
02
033
09168
2
2
2

2
0
0)2)(1(
01)1(8
2
2
m
m
mm
m



>
<<

0
21
m
m

21
<<
m
Vậy với 1<m<2 thì phơng trình (2) có 2 nghiệm dơng phân biệt khác
2
1

Phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt khi 1<m<2
II.2. Sử dụng ph ơng pháp đặt ẩn phụ

4
-3x
2
+2 =0 (1)
Giải :
Đặt y=x
2
(y 0).
Phơng trình (1) trở thành : y
2
-3y +2 =0
Trang
7
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn

(y-1)(y-2)=0




=
=
02
01
y
y





1
=1;x
2
=-1; x
3
=
2
; x
4
=
2
* Ví dụ 2 : Xác định a để phơng trình: ax
4
- ( a - 3 ) x
2
+ 3a = 0 (a 0 ) (1)
Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn hơn -1
Giải :
Đặt y= x
2
0
(1) ay
2
- ( a - 3 ) y + 3a = 0 (2)
Giả sử (2) có nghiệm 0 < y
1
< y
2
thì (1) có 4 nghiệm phân biệt :
-

0 < y
1
< 1 < 4 < y
2
a .f(0) < 0 a . 3a < 0 3a
2
< 0
a . f(1) < 0 a . (a -a +3 +3a ) < 0 3a
2
+ 3a < 0
a. f(4) < 0 a . ( 16a - 4a + 12 + 3a ) < 0 15a
2
-12a < 0

a 0 a 0
3a ( a + 1 ) < 0 - 1 < a < 0 -
5
4
< a < 0
3a ( 5a + 4 ) < 0 -
5
4
< a < 0
Vậy với a ( -
5
4
, 0 ) thì phơng trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt ,
trong đó một nghiệm nhỏ hơn - 2 và ba nghiệm kia lớn hơn - 1
Bài tập áp dụng :
1) Giải phơng trình : 4x

tức là (1) thỏa mãn:
Trang
8
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn







>
>
>
0
2
0)0(
0'
S
af






>
>
<


m
m
m
1
2
3
<<
m
2.2. Ph ơng trình bậc bốn đối xứng:
a. Dạng tổng quát :
Phơng trình bậc bốn đối xứng là phơng trình dạng:ax
4
+bx
3
+cx
2
+bx +a=0 (a 0)
b. Cách giải :
Vì x=0 không phải là nghiệm của phơng trình nên ta chia cả hai vế của ph-
ơng trình cho x
2
rồi đặt:
x
xy
1
+=

)2( y
c. Ví dụ
*Ví dụ 1: Giải phơng trình: 3x

x
Đặt
y
x
x =+
1
thì
,2
1
2
2
2
=+ y
x
x
ta có:
3(y
2
-2) +2y-34 =0

3y
2
+2y -40 =0
3
10
;4
21
== yy
Với y= - 4 thì
4



3x
2
- 10x + 3 =0

3;
3
1
43
== xx
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm:
32
1
+=x
;
32
2
=
x
;
3;
3
1
43
== xx
.
* Ví dụ 2: Giải phơng trình : 2x
5
+5x-13x

x+1=0
1
=
x
(3)

2x
4
+3x
3
-16 x
2
+3x+2 =0
Ta thấy x=0 không là nghiệm của phơng trình (3)
Chia cả hai vế của phơng trình (3) cho x
2
ta có:
0
23
1632
2
2
=+++
xx
xx
016)
1
(3)
1
(2

2
+ 3y - 20 = 0
Ta có

=9+160=169
2
5
1
=
y
;
4
2
=
y
+ Với
2
5
1
=
y
ta có:
2
51
=+
x
x

0252
2

21
==
xx
;
32;32
43
=+=
xx
;x
5
=-1.
d. Bài tập áp dụng :
1. Cho phơng trình: x
4
+mx
3
+3mx
2
+mx +1 =0 (1)
a) Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm.
b) Giải phơng trình
2. Giải phơng trình : x
4
+2x
3
+ 4x
2
+2x +1 = 0
Hớng dẫn:
1a) x=0 không là nghiệm của (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x

+
m
x
xm
x
x
Đặt
x
xy
1
+=
(
)2y
Phơng trình (1) trở thành : y
2+
my + 3m - 2 = 0 (2) (
)2y
Trang
10
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có một nghiệm thỏa
mãn điều kiện
2

y
Ta xét bài toán tìm các giá trị của m để phơng trình (2) vô nghiệm:
+ Phơng trình ( 1) vô nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) vô nghiệm
hoặc phơng trình ( 2) có hai nghiệm thuộc (-2,2)
+ Phơng trình (2) vô nghiệm:
0<

)23)((0)2(
0)2(
0
2
m
mmyyyfaf
af









<<
>+
>+
+

2
2
2
052
02
0812
2
m
m

m
Vậy phơng trình (1) vô nghiệm khi
726
5
2
+<<
m
Do đó phơng trình (1) có nghiệm khi: m
5
2

hoặc
726 +>m
Chú ý:
a)Trong phơng trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm .
b) Phơng trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x=-1
c) Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đợc đa về phơng trình bậc n bằng
cách đặt ẩn phụ
2.3. Ph ơng trình bậc bốn phản đối xứng
a. Dạng tổng quát :
Phơng trình có dạng ax
4
+ bx
3
+cx
2
bx +a =0 ( a 0) gọi là phơng trình
bậc bốn phản đối xứng
b. Cách giải :
Vì x=0 không là nghiệm của phơng trình nên chia cả 2 vế của phơng trình

xx
01
11
2
2
=+






+






+
x
x
x
x
Đặt
2
22
1
2
1

0 ta có:
0
1
)12(
2
2
=+++
x
x
a
aaxx
0)12()
1
()
1
(
2
2
=++
a
x
xa
x
x
Đặt
x
xy
1
=
(*)

52'
=
524
1
=
a

524
2
+=
a
Vậy với
524 =a
hoặc
524
+=
a
thì phơng trình (1) có 2
nghiệm phân biệt.
d) Bài tập áp dụng
Giải phơng trình:
1) x
4
-3x
3
-6x
2
+3x+1=0
2) x
5

x-1 = 0 (2)
x
4
+x
3
-3x
2
x +1= 0 (3)
(2)

x - 1=0

x = 1
(3)

013
234
=++
xxxx
Vì x= 0 không là nghiệm của (3)
Chia hai vế của (3) cho x
2
0 ta có:
Trang
12
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
0
11
3
2

1
2
1
x
xy
x
xy
+=+=
Ta đợc phơng trình :y
2
+2+y-3=0

y
2
+ y -1 =0
514
=+=
2
51
1
+
=
y
;
2
51
2

=y
+ Với


=x

+ Với y =
2
51

22)51(
2
=+
xx
02)51(2
2
=++
xx
16526
++=
=
5222
+
4
522251
3
++
= x
4
522251
4
+
= x

522251
;1
2.4. Một số dạng ph ơng trình khác
Ngoài các dạng phơng trình đã nêu ở trên, trong một số kỳ thi học sinh
giỏi vào trung học phổ thông học sinh còn gặp một số dạng phơng trình sau:
2.4.1. Ph ơng trình dạng : ax
2n
+ bx
n
+c = 0 ( a 0)
a) Cách giải :
Đặt x
n
= y sau đó đa về phơng trình bậc hai đối với biến y: ay
2
+ by + c = 0
b) Ví dụ minh hoạ:
* Ví dụ 1: Giải phơng trình: x
6
- 3x
3
+ 2 = 0 (1)
Giải :
Đặt x
3
= y . Phơng trình ( 1) trở thành y
2
-3y +2 =0

y

3
2
*Ví dụ 2 : Cho phơng trình : x
10
+ ( m-1)x
5
+ 4 =0 (2)
Tìm m để phơng trình ( 2) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó ?
Giải
Đặt x
5
= y
Phơng trình ( 2)

y
2
+ (m-1)y + 4 = 0 ( 3)
Để phơnh trình (2 ) có nghiệm duy nhất thì phơng trình ( 3 ) phải có nghiệm kép
hay
0
=
:

(m-1)
2
- 4.4 =0

(m-1-4)(m-1+4)=0

(m-5)(m+3)=0


(y+2)
2
=0

y+2=0

y=-2
Với y=-2

x
5
= -2

x=
5
)2(
+ Với m=-3

( 3)

y
2
-4y+4=0

(y-2)
2
=0

y-2=0

2.4.2. Ph ơng trình dạng : (x+a)
4
+ (x+b)
4
=c (1)
a) Cách giải:
Trang
14
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn
Đặt y=x +
2
ba
+
. Ta có:
x+a = y+
2
ba
x+b=y-
2
ba
Khi đó phơng trình ( 1) trở thành:
2y
4
+
0
2
2
2
12
4

4
+ (y+2)
4
=82

2y
4
+ 48y
2
+ 32 = 82

y
4
+24y
2
-15=0
Đặt t=y
2
với t
0
Ta có phơng trình : t
2
+ 24t -25 =0



=
=

25

4
+ ( x+m+2)
4
=n ( 2)
Đặt y =x+m+1
Phơng trình trở thành: (y-1)
4
+ (y+1)
4
=n

2y
4
+12y
2
+2-n=0 (3)
Đặt t=y
2
ta đợc: 2t
2
+12t +2-n=0(4)
Để phơng trình (1) có nghiệm thì phơng trình (4) phải có ít nhất 1 nghiệm
không âm
Ta thấy : S=t
1
+ t
2
= -
06
2

2
+0=0

y
2
(y
2
+6)=0





=+
=
06
0
2
2
y
y

y=0 ( vì y
2

x

0
nên y
2

4
= 4
2.4.3. Ph ơng trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =m.Trong đó a+d=b+c
a)Cách giải:
Nhóm [(x+a)(x+d)] và [(x+b)(x+c)] rồi triển khai các tích đó, ta đa về
dạng: [x
2
+ (a+d)x+ad][x
2
+9b+c)x+bc]=m
Do a+d=b+c

đặt x
2
+(a+d)x+k=t ( trong đó k có thể là ad hoặc bc)
Ta sẽ đa phơng trình về dạng: t
2
+nt-m=0
Giải phơng trình trên ta tìm đợc t. Sau đó thay t vào giải tiếp phơng trình :
x
2
+ (a+d)x+k=t
Ta sẽ tìm đợc nghiệm của phơng trình ban đầu.
b)Ví dụ :
*Ví dụ 1 :
Giải phơng trình :(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9(1)
Ta thấy 1+7=3+5. ta biến đổi phơng trình (1) nh sau:
[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]=9

(x

x
2
+ 8x+6=0
10616'
==

104
104
2
1
=
+=
x
x
+ Với y=-9

x
2
+8x+7=-9

x
2
+8x+16=0

(x+4)
2
=0

x+4=0



y
2
-5y-m=0 (2)
Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm:
Ta xét bài toán phủ định tìm m để phơng trình (*) vô nghiệm :

Phơng trình (2) vô nghiệm hoặc phơng trình ( 2) có nghiệm nhng phơng trình
(1 ) vô nghiệm :
+ Phơng trình ( 2 ) vô nghiệm khi :
0
2
<

25+4m<0

m<
4
25

+ Phơng trình ( 2 ) có nghiệm, phơng trình (1) vô nghiệm:
Trang
16
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn




<






<
>

4
2
0)4(
4
25
S
f
m







<
>+


4
4
5
02016

+ Thay y =-1 vào (1) ta có :
3'321'
==+=

+Thay y = 6 vào (1) ta có : x
2
+ 2x - 3 = 6


x
2
+ 2x - 9 = 0
'
= 1 + 9 = 10


10' =

x
1
= -1 +
10
x
2
= -1 -
10
Vậy với m = -6 phơng trình (*) có 4 nghiệm :
c) Bài tập áp dụng :
1. Giải phơng trình :
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3

2
+ 2x - 3 =-1


x
2
+ 2x - 2 = 0
x
1
= -1 +
3
x
2
= -1 -
3
x
1
= -1 +
3
; x
2
= -1 -
3
x
3
= -1 +
3
; x
4
= -1 -

làm đợc bài tăng, học sinh hứng thú tích cực học tập hơn.
Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán trên:
Năm học áp dụng đề tài
Kết quả kiểm tra
giỏi khá TBình yếu kém
2003 - 2004
cha áp dụng 5% 15% 35% 37,5% 7,5%
2004 - 2005
đã áp dụng 15% 27,5% 37,5% 17,5% 2,5%
Tuy nhiên, để đạt đợc kết quả nh mong muốn, đòi hỏi ngời giáo vien cần
hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng. Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ
đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với
trình độ nhận thức chung của học sinh .
Ngời thầy cần chú trọng phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo của
học sinh từ đó giúp các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hớng giải
toán đúng đắn. Làm đợc nh vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáo
dục trong nhà trờng.
Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong đợc
sự góp ý bổ sung của quý thầy cô, các bạn để bài viết đợc hoàn chỉnh và hấp
dẫn hơn.
Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế
giảng dạy tôi còn đợc sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy, cô giáo
Tôi xin chân thành cảm ơn ./.

Ngời viết
Vũ Thị Thuý
D. tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Đại số 8, Đại số 9 (NXB Giáo dục).
2. Giáo trình thực hành giải toán hệ cao đẳng s phạm của Phạm Gia Đức - Hoàng
Ngọc Hng - Đặng Đình Lăng (NXB Giáo dục)

3
+7x
2
-8x=0 (1) x
2
-7x -8=0 (2)
1
1
11
=

+
xx
(3) x
2
-3x +1=0 (4)
x
4
-5x
2
+4 =0 (5)
Hãy giải các phơng trình bậc hai đó ?
Đặt vấn đề : Các phơng trình (1), (3), (5) không phải là phơng trình bậc
hai. Tuy nhiên để giải đợc các phơng trình nh thế này ta có thể biến đổi đa về
dạng phơng trình bậc hai bài mới.
B- Tổ chức cho học sinh tiếp nhận nội dung kiến thức :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình :
x
3
+7x

= (-3)
2
-4 =5>0
- GV nêu ví dụ 1 :
- Phơng trình đã cho là phơng trình bậc
mấy ? Giải bằng cách nào ?
Nếu học sinh không trả lời đợc, GV có thể
gợi ý.
+ Có nhận xét gì về các hạng tử của vế
trái ?
+ Đặt nhân tử chung của vế trái ?
- GV : Vế trái của phơng trình đã phân
tích thành nhân tử trong đó có 1 nhân tử
bậc 1 và 1nhân tử bậc hai. Việc giải ph-
ơng trình đã cho quy về việc giải phơng
trình bậc hai.
- GV nêu ví dụ 2 :
- Cho biết dạng của phơng trình này ?
- Nêu cách giải phơng trình chứa ẩn ở
mẫu ?
- HS lên bảng giải
- HS cả lớp nhận xét, bổ sung
Trang
21
Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn


+
=
2

-5x
2
+4 =0 (*)
Đặt x
2
= X ( X0)
(*)

X
2
-5X +4 = 0
Vì a+b+c =1-5+4=0 nên
X
1
=1 ; X
2
=4 ( TMĐK)
* X
1
= 1

x
2
=1

x

{-1 ;1}
* X
2

2
=X
- Tìm điều kiện của X ?
- Khi đó phơng trình đã cho trở thành ?
- Giải phơng trình X
2
-5X +4 =0 ?
- Vậy x= ?
- GV : Phơng trình x
4
-5x
2
+4 =0 gọi là
phơng trình trùng phơng
Tổng quát : Phơng trình có dạng :
ax
4
+bx
2
+c=0 (a0) gọi là phơng trình
trùng phơng
C. Củng cố, luyện tập :
* Học sinh làm các bài tập sau:
- Giải các phơng trình sau:
a) (x
2
-5x-4).(2x
2
-7x+3)=0
b) (2x

- GV chốt lại: ở ví dụ 1 để giải một phơng trình bậc lớn hơn 2 ta có thể đa về ph-
ơng trình tích trong đó có một nhân tử bậc 2.
ở ví dụ 2 : Việc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta cũng quy về giải phơng trình
bậc hai .
ở ví dụ 3 : để giải phơng trình trùng phơng ta hạ bậc bằng cách đặt ẩn phụ để
giải phơng trình bậc hai và lu ý ẩn phụ có điều kiện không âm
D. H ớng dẫn về nhà :
- Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm
- Làm bài tập 1(a ;d) ; bài 2 ; bài 3 ; bài 4 ; bài 5b
- GV hớng dẫn bài 5b.
- Khai thác số nghiệm của phơng trình trùng phơng thông qua phơng trình đợc
đặt ẩn phụ.
Thanh Hoá, ngày 5 tháng 4 năm 2005
Hiệu trởng trờng THCS xã Mậu Lâm
Trang
22
Híng dÉn häc sinh THCS gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao mét Èn
Trang
23