BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị TRƯỜNG THPT NAM HÀ
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ HAI ẨN

Người thực hiện: NGUYỄN VŨ KHANH
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN



- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)


2

 Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ.
 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong bài toán HHKG.
 Phương trình lượng giác (dành cho HS luyện thi ĐH-CĐ)
 Phương trình chứa căn thức.

3


BM03-TMSKKN

Tên SKKN:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hệ Phương trình đại số hai ẩn chiếm một vị trí tương đối quan trọng trong
chương trình toán cấp ba. Thường xuyên có mặt trong các đề thi đại học hoặc thi
học sinh giỏi Toán lớp 10, 12 với độ khó khá cao. Ở lớp 10 trong chương trình
chính khóa, học sinh chỉ được học một phần nhỏ với vài dạng căn bản thông
thường do đó đa số học sinh ít có khả năng giải quyết. Vì vậy, đây là một vấn đề
thiết thực đối với học sinh muốn vào đại học. Do vậy, chọn đề tài này có ý nghĩa
bổ sung kiến thức và hỗ trợ cho học sinh của mình.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Việc giải hệ phương trình hai ẩn thường được áp dụng hai phương pháp truyền thống: thế
hoặc đặt ẩn phụ. Độ khó của bài toán tăng lên khi hệ có chứa phương trình bậc cao hoặc
chứa căn thức. Học sinh trước khi giải cần tìm điều kiện xác định, đánh giá chọn lựa phương
trình dễ khai thác nhất trong hệ hoặc thay nó bởi một hệ khác đơn giản hơn. Nội dung ở đây
chỉ xin xét một số dạng căn bản có tính chất phù hợp với học sinh như học sinh trường
chúng tôi và gần sát với các đề thi những năm gần đây.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Một số dạng thường gặp sau đây:
Dạng 1: Biến đổi sau đó đặt ẩn phụ.


4


Ví dụ 2.

 xy + x + 1 = 7 y

Giải hệ phương trình 

2 2

 x y + xy + 1 = 13 y

2

(B-2009) Đs:

1
(1; ), (3;1)
3

Giải
Hệ phương trình tương đương với:

1 x

x
+
+

y
y
u + v = 7
 u = −5 ⇒ v = 12
⇒ u 2 + u − 20 = 0 ⇔ 
 2
u = 4 ⇒ v = 3
u − v = 13

Đặt u = x +

 x ( x + y + 1) − 3 = 0

5
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
(D-2009) Đs:
2
( x + y ) − x 2 + 1 = 0

Giải

 x( x + y ) + x = 3

3
(1;1), (2; − )
2

u + x = 3

Hệ tương đương với 


2

= x4 + y2 + 2x2 y

Giải
−5
−5
 2
 2
2
2
( x + y ) + xy ( x + y + 1) = 4
( x + y ) + xy ( x + y + 1) = 4
⇔
Hệ tương đương với 
−
5
4
2
2
( x + y + 2 x y ) + xy =
( x 2 + y )2 + xy = −5


4
4
−5

u

Hệ tương đương với  2
, Đặt 
ta được hệ phương trình:
3
3
( x + xy ) − x y = 1
v = x y
u 2 − 3u = 1 u 2 − 3(u − 1) = 1 u 2 − 3u + 2 = 0
u = 1 u = 2
⇔
⇔
⇔
v

v
=
0
u
−
v
=
1
v
=
u
−
1
v
=
u


x
x
x
x
⇔ 
• Nếu x ≠ 0 thì hệ tương đương với : 
;
yx + y  = 6
y x + y  = 6
÷
÷
 
 
x
x

y
x

u 3 − 3uy = 9

Đặt u = x + ta được hệ phương trình: 

uy = 6

u 3 = 27
u = 3
⇔
⇔

3 , đặt
(
x
−
y
)
+
3
xy
=
7(
x
−
y
)


 x 3 (2 + 3 y ) = 8
2. Giải hệ phương trình  3
 xy − 2 x = 6
3

2
2 + 3 y =  ÷

x
HD: Hệ tương đương với 
suy ra
2


 xy + x + 1 = 7 y

(B-2009). Giải hệ phương trình 

Ví dụ 7.

2 2

 x y + xy + 1 = 13 y

Giải
(1) ⇔ xy + x + 1 = 7 y ⇔ y =

•

(1)

được :
2

2

(2)

1

Đs: (1; 3 ),(3;1)

x +1
(vì x = 7 không là nghiệm); thay vào pt (2) ta


• Kết luận: Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x;y) là:  1; 3 ÷, ( 3;1) .
1





7y −1
Nhận xét: Pt (1) có thể tính x theo y: xy + x + 1 = 7 y ⇔ x =
(vì y = -1 không là
y +1

nghiệm) sau đó thay vào pt (2) và giải tương tự.
 x ( x + y + 1) − 3 = 0 (1)

5
Ví dụ 8. (D-2009) Giải hệ phương trình 
.
2
( x + y ) − x 2 + 1 = 0 (2)
3
2

Đs: (1;1),(2; − )
Giải
• (1) ⇔ y =

3
− x − 1 (vì x = 0 không là nghiệm của HPT), thay vào (2), ta được:


2

2
− x2 + 6x + 6 
2  − x + 6x + 6 
x + 2x 
+
x
÷

÷ = 2x + 9
2
x
2
x




4

3

− x2 + 6x + 6
(3) (vì x = 0 không là nghiệm), thay vào pt(1):
2x

1
⇔ x 4 + x 2 ( − x 2 + 6 x + 6) + ( − x 2 + 6 x + 6) 2 = 2 x + 9 ⇔ x 4 + 12 x 3 + 48 x 2 + 64 x = 0


Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình:

 x 2 ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x 2 − 4 x + 1
5

(1; −1),  −2; − ÷
1. 
.Đs:
2
2

 xy + x + 1 = x
41
 3
x
+
3
xy
−
12
x
+
=0

3
2

2. (K*) 

 x − x = y − y (1)
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình: 
(A-2003).
2 y = x 3 + 1
(2)

(1;1),(

−1 + 5 −1 + 5 −1 − 5 −1 − 5
;
),(
;
)
2
2
2
2

Giải
(1) ⇔ x − y +

x − y = 0

1 1
1 
− = 0 ⇔ ( x − y ) 1 + ÷ = 0 ⇔ 
y x
xy 

 xy = −1

2 
2 2
4

4

2

• Vậy hệ có 3 nghiệm: (1;1),(

−1 + 5 −1 + 5 −1 − 5 −1 − 5
;
),(
;
)
2
2
2
2

8


 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
(1)
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình: 
(D-2008). Đs: (5; 2)
x
2
y


Đs:

 2 10 10   −2 10 − 10 
(1;1),( −1; −1), 
;
;
÷, 
÷
5 ÷
5 ÷
 5
  5


Giải
Ta có

 xy = 1
(2) ⇔ xy ( x 2 + y 2 ) + 2 = ( x 2 + y 2 ) + 2 xy ⇔ ( xy − 1)( x 2 + y 2 − 2) = 0 ⇔  2
2
x + y = 2
• Với xy = 1: Thay vào (1) ta được: 5 x − 4 y + 3 y 3 − 2 x − 2 y = 0 ⇔ 3 x − 6 y + 3 y 3 = 0
⇔ 3xy − 6 y 3 + 3 y 4 = 0 (nhân hai vế cho y) ⇔ y 4 − 2 y 2 + 1 = 0 ⇔ y 2 = 1 ⇔ y = ±1
•

Với x 2 + y 2 = 2 : Thay vào (1) ta được: 3 y ( x 2 + y 2 ) + 2 x 2 y − 4 xy 2 − 2 x − 2 y = 0
⇔ 4 y + 2 x 2 y − 4 xy 2 − 2 x = 0 ⇔ (2 y − x ) + xy ( x − 2 y ) = 0 ⇔ ( x − 2 y )( xy − 1) = 0
⇔ x = 2 y hoặc xy = 1 (đã xét)
10

tan t = 2 ⇒
x=

2 sin t
x
= 2 ⇒ = 2 ⇔ x = 2 y , kết hợp với x 2 + y 2 = 2 , ta được:
y
2 cos t

2 10
10
2 10
10
;y=
;y =−
hoặc x = −
5
5
5
5

9


 x 2 + xy + 2 x + 2 y = 16
Ví dụ 14. Giải hệ phương trình 
. Đs: (0;8), (2;2), (-6;2)
( x + y )(4 + xy ) = 32

Giải

  −1 +
3. (D-2012)  3 2
Đs: (1;1),  2 ; − 5 ÷÷,  2
2
2

 
2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0

5


; 5÷
÷


HD: Pt(2) có thể biến đổi về dạng tích bằng cách kết hợp các số hạng dựa theo hệ số
2 x 3 − 2 xy = 2 x ( x 2 − y )
 2
2
2
như sau:  − x y + y = − y ( x − y )
 x2 − y


4. DẠNG 4: Hệ có một phương trình bậc hai đối với một ẩn.
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
(1)
Ví dụ 15. Giải hệ phương trình 
(D-2008). Đs: (5; 2)

Với y =

•

Kết luận: Hệ có nghiệm (x; y) duy nhất là (5; 2).

Bài tập tương tự :
Giải các hệ phương trình sau :
10


 y 2 − 5 x 2 − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0 (1)

 7 11 
1. (K*) 
Đs: ( 1;9 ) ,  − 6 ; − 6 ÷
4
5


(2)
3x + x − y = 2

 x 2 − 3 y 2 + 2 xy − x + 5 y − 2 = 0
2.  2
Đs: ( −1;0 )
2
 x + y + x + y = 0
6 x 2 − 3 xy + x + y = 1
1 2 2 

2

x x
x
(1) ⇔ x + 2 y + x y − xy = 0 ⇔  ÷ +  ÷ − + 2 = 0 (vì y = 0 không thỏa hệ)
y
 y  y
2
x
  x 
x 
x
⇔  + 2 ÷ ÷ − + 1 = 0 ⇔ = −2 ⇔ x = −2 y ;
y 
y
y
  y 

Thay vào (2): −4 y = 2 ⇔ y = −1 ⇒ x = 2 (thỏa đkiện)
3

3

2

2

Kết luận: Hệ pt có một nghiệm (x; y) là: (2; -1)
3x 2 − xy + 3 y 2 = 13 (1)
Ví dụ 17. Giải hệ phương trình:  2

2

x = 1 ⇒ y = 2
y = 2x ⇒ x2 = 1 ⇔ 
 x = −1 ⇒ y = −2

Vậy hệ có 4 nghiệm (x;y): (1;2),( −1; −2),(2;1),( −2; −1) .
Nhận xét: Có thể biến đổi nhanh hơn như sau:
Từ hệ pt ta suy ra −(3x 2 − xy + 3 y 2 ) = 13( x 2 − 3xy + y 2 ) , sau đó biến đổi thành:
16 x 2 − 40 xy + 16 y 2 = 0

11


Cách khác:
Nếu x = 0 thì không thỏa hệ.
Nếu x ≠ 0 thì ta đặt y = t.x, (t∈R). Hệ trở thành:
3x 2 − tx 2 + 3t 2 x 2 = 13  x 2 (3t 2 − t + 3) = 13
⇔
 2
2
2 2
2 2
 x − 3tx + t x = −1
 x (t − 3t + 1) = −1
t = 2
3t 2 − t + 3
2
2
= −13 ⇔ 16t − 40t + 16 = 0 ⇔ 2t − 5t + 2 = 0 ⇔  1

y
=
0
(2)


Giải
Nhân (1) với y (vì y = 0 không thỏa hệ) và cộng với (2) ta được:
x 3 + 2 xy 2 + x 2 y + 8 y 3 = 0
3
2
2
x
x
  x   x  
x x
x
+  ÷ + 2  ÷+ 8 = 0 ⇔  + 2 ÷ ÷ −  ÷ + 4  = 0 ⇔ = −2 ⇔ x = −2 y ,
÷
y  y
y
 y
y
  y   y  
thay vào (1): y 2 = 1 ⇔ y = ±1 . Vậy hệ có hai nghiệm (x;y): (2; −1),( −2;1)


⇔



2
3 3
2 2
2
3
3
2
2
(1 + 3k ) x = ( k + 1) x
(1 + 3k ) x = k + 1
 x + 3k x = k x + x

suy ra
5 + 3k 1 + 3k
= 2
⇒ (5 + 3k )( k 2 + 1) = (1 + 3k )(1 + 3k 3 ) ⇔ 9k 4 − 5k 2 − 4 = 0 ⇔
3
1 + 3k
k +1
⇔ k = ±1

k 2 = 1
 2
 k = −4 / 9

1
1
Với k = 1 ⇒ x = ⇒ y = ; Với k = −1 ⇒ x = −1 ⇒ y = 1 .
2


8 x + y = 35
3x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38
 2
2
5 x − 9 xy − 3 y = 15

(

*

)

(

)

6. DẠNG 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số.
2 x + 2 + 4 = x 3
(1)
 1
Ví dụ 20. Giải hệ phương trình: (K*) 
Đs:  2; ÷
 4
 x x + y + 2 y + 2 = 8 y + 4 (2)

Giải
Điều kiện: x ≥ −2, y ≥ −2, x + y ≥ 0
Nhận xét: pt (1) chứa biểu thức bậc cao, nếu nâng lên lũy thừa sẽ dẫn đến pt phức
tạp, ngoài ra do phát hiện x=2 là một nghiệm nên ta nghĩ đến khả năng pt có
nghiệm duy nhất.


Giải
Điều kiện: y ≤

5
3
và x ≤ .
2
4

(1) ⇔ (4 x 2 + 1)2 x = [ (5 − 2 y ) + 1] 5 − 2 y ⇔ 8 x 3 + 2 x = (5 − 2 y ) 5 − 2 y + 5 − 2 y .

Phương trình có dạng f (2 x ) = f

(

)

5 − 2 y với hàm số f (t ) = t 3 + t , t ≥ 0 , ta có:

f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ≥ 0 ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên [0; +∞).

Do đó f (2 x ) = f

(

)

5 − 2 y ⇔ 2x = 5 − 2 y


để đặt ẩn phụ) do đó pt(3) có thể có nghiệm duy nhất.
1
2

Thử xét: 3 − 4 x = 1 ⇔ x = . Kiểm tra lại, ta có x =
giờ ta c/m x =

1
là một nghiệm của pt(3). Bây
2

1
là nghiệm duy nhất.
2



Xét hàm số g ( x ) = 16 x 4 − 24 x 2 + 8 3 − 4 x với x ∈ 0;  , ta có:
 4
3

g '( x ) = 64 x 3 − 48 x −

16
3
16

 3
= 64 x  x 2 − ÷−
< 0, ∀x ∈ 0; ÷

⇔ 16  x 2 − ÷ x 2 − ÷−
= 0 ⇔ 4 x2 − 1 4 x2
4 
4
3 − 4x + 1

16


⇔ (2 x − 1)  ( 2 x + 1) 4 x 2 − 5 −
=0
3 − 4 x + 1 


(

(

)
16(2 x − 1)
− 5) −
=0
3 − 4x + 1

3 − 4x −1 = 3

)(

)


. Đs: (2; -2)
4 x + 2 + 22 − 3x = 8 − 2 y (2)

Giải
Điều kiện: −2 ≤ x ≤
(1) ⇔ x 2 + 1 + x =

22
.
3
1
y2 + 1 + y

⇔ x2 + 1 + x =

y 2 + 1 − y ⇔ x 2 + 1 + x = ( − y )2 + 1 + ( − y )

14


x

Xét hàm số f ( x ) = x + 1 + x , ta có f '( x ) =
2

x2 + 1

+1 =

x + x2 + 1

x = 2
4
3
g ( x) =
−
−2
⇔
4
3
.
Xét
hàm
số

−
= 2 (3)
x+2 +2
22 − 3x + 4
22 − 3x + 4
 x + 2 + 2
4
−1
3
−3
g '( x ) =
.
+
.
2
2

Nhận xét: Có thể chứng minh phương trình (3) vô nghiệm như sau: Với −2 ≤ x ≤
x+2 +2≥2⇒

thì

22
3

4
4
≤ = 2 ⇒ VT < VP . Suy ra pt (3) vô nghiệm.
x+2 +2 2

 x 3 − y 3 = 9
(1)
Ví dụ 23. Giải hệ phương trình:  2
. Đs: ( 1; − 2 ) , ( 2; − 1)
2
 x + 2 y = x − 4 y (2)

Giải
 x 3 − 1 = y 3 + 8
(3)
Hệ tương đương với 
, cộng (3) với (4) ta được:
2
2
 −3 x + 3x = 6 y + 12 y (4)
x 3 − 3x 2 + 3x − 1 = y 3 + 6 y 2 + 12 y + 8 ⇔ ( x − 1)3 = ( y + 2) 3 ⇔ x − 1 = y + 2 ⇔ y = x − 3


2

2

1 
1
1 
1


• Ta có: (2) ⇔  x 2 − x + ÷+  y 2 + y + ÷ = 1 ⇔  x − ÷ +  y + ÷ = 1
4 
4
2 
2


2

1
1

1
1

 3
x − ≤1
 x − ÷ ≤ 1
−1 ≤ x − ≤ 1  − ≤ x − 1 ≤


2
2


3
9
2


 x − 1 ≤ 2
( x − 1) ≤ 4
⇒
⇒
 y +1 ≤ 3
( y + 1) 2 ≤ 9


2
4

9
4
• Do đó f '(t) = 3(t 2 − 4) < 0 . Suy ra hàm số f(t) nghịch biến. Vậy Pt(1) tương đương
với x − 1 = y + 1 ⇔ y = x − 2
2
Suy ra t ≤

Thay vào (2) :
1
1

2
( x − y ) + 2 xy − ( x − y ) =
( x − y ) 2 − ( x − y ) + 2 xy = 1


2
2
41
 3
u
+
3
uv
−
12
u
+
=0

u = x − y
2
Đặt 
, hpt trở thành: 
, khử v (hệ có phương trình
v = xy
 u 2 − u + 2v = 1

2

bậc nhất đối với một ẩn) ta được ptrình:

=

y = x − 2


2 v 
2
⇔ 2
⇔
.

1
3⇔
4 x − 8 x + 3 = 0
 x = 2 v x = 2
 y = −3  y = − 1

2 
2

Kết luận.
Bài tập tương tự :
Giải các hệ phương trình sau:
1
1

x − x = y − y
−1 + 5 −1 + 5 −1 − 5 −1 − 5
;
),(

x
−
2
y
2
y
−
1
=
0

HD: (3 − x ) 2 − x − 2 y 2 y − 1 = 0 ⇔ (3 − x ) (3 − x ) − 1 = 2 y 2 y − 1
(17 − 3 x ) 5 − x + (3 y − 14) 4 − y = 0 (1)

4. 

. Đs: (-1;-2)

(2)
 2 x + y + 5 + 3 x + 2 y + 11 = 3
HD: (1) ⇔ [ 2 + 3(5 − x ) ] 5 − x = [ 2 + 3(4 − y ) ] 4 − y

(

)(

)

 x + x2 + 4 y + y2 + 1 = 2


cho các bài toán liên quan như bất phương trình, hệ bất phương trình chứa căn. Điều
này có tác dụng tích cực giúp các em tự tin, hứng thú hơn khi giải các đề thi Đại học
– Cao Đẳng.
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
- Chủ đề giải hệ phương trình hai ẩn đã được các Thầy cô trong Tổ đưa vào
giảng dạy trong các buổi học tăng tiết dành cho học sinh lớp 12 nhiều năm qua và
học sinh từ chỗ làm quen đã có thể tự mình giải quyết.
17


VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Ghi tài liệu tham khảo theo thứ tự được sử dụng trong nội dung sáng kiến
kinh nghiệm. Cách ghi theo hướng dẫn tại phần Một số điểm cần lưu ý kèm theo
Mẫu này.
1. Trích các đề thi Đại học – Cao đẳng những năm gần đây.
2. Trích các đề thi thử của một số trường THPT có uy tín.
VII. KẾT LUẬN
Trên đây chỉ là vài kinh nghiệm góp nhặt được trong thời gian giảng dạy Toán
và khó có thể tránh khỏi những thiếu sót. Do đó, rất mong quý Thầy Cô nào có cùng
quan tâm đến vấn đề này xin vui lòng góp ý. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Biên Hòa, tháng 5 năm 2016
NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Vũ khanh

18


BM01b-CĐCN
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

2. Hiệu quả
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./8,0.
3. Khả năng áp dụng
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Điểm: …………./6,0.
Nhận xét khác (nếu có): ......................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................
GIÁM KHẢO 1

19


BM01b-CĐCN
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị THPT NAM HÀ
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––
Biên Hòa, ngày
tháng 5 năm 2016


Điểm: …………./6,0.
Nhận xét khác (nếu có): ......................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Tổng số điểm: ....................../20. Xếp loại: ........................................................................
GIÁM KHẢO 2
BM04-NXĐGSKKN
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị THPT NAM HÀ
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––

20


Biên Hòa, ngày

tháng 5 năm 2016

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2015 - 2016
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
HAI ẨN.
Họ và tên:

NGUYỄN VŨ KHANH

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT 
Trong ngành 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc
sống: Trong Tổ/Phòng/Ban 
Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT 
Trong ngành 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban 
Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT 
Trong ngành 
Xếp loại chung: Xuất sắc 
Khá 
Đạt 
Không xếp loại 
Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao
chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chức thực
hiện tại đơn vị, được Hội đồng khoa học, sáng kiến đơn vị xem xét, đánh giá, cho điểm, xếp loại
theo quy định.
NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN
XÁC NHẬN CỦA TỔ
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
CHUYÊN MÔN

21