Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
A. T VN
I. LI M U:
Toỏn hc l mt mụn hc cú vai trũ khỏ quan trng trong trng THPT. Qua toỏn
hc giỳp cho ngi hc nõng cao c kh nng t duy , kh nng suy lun v
vic vn dng cỏc kin thc ú vo cỏc mụn hc khỏc. Qua ú giỳp ngi hc
phỏt trin v hon thin nhõn cỏch ca mỡnh. Chớnh vỡ l ú vic lnh hi v tip
thu mụn toỏn l c mt vn m khụng ngi giỏo viờn dy toỏn no khụng
quan tõm. c bit trong cỏc hot ng dy v hc mụn toỏn ũi hi ngi dy
cng nh ngi hc phi khụng ngng tỡm tũi sỏng to, tớch lu kinh nghim
a ra nhng phng phỏp ging dy, nhng cỏch lnh hi phự hp nht. giỳp
ngi hc nm vng kin thc mụn hc cú tớnh h thng õy l vn c t
ra. Nht l trong thc hnh vic gii cỏc bi toỏn mang tớnh vn dng ũi hi
ngi hc phi nm vng nhng h thng kin thc c bn v kh nng vn
dng linh hot cỏc cụng c toỏn hc cú tớnh h thng, cỏc k nng, k so trong
khi thc hin.
Trong chng trỡnh toỏn hc ph thụng tam thc bc hai úng vai trũ khỏ quan
trng, nờn vic hiu v nm vng c l mt vic lm vụ cựng cn thit, nú lm
tin v sau cho cỏc em khi cỏc em tip tc hc lờn nhng bc cao hn. Trong
chng trỡnh toỏn hc lp 9 chỳng ta ó lm quen vi phng trỡnh bc hai v
hm s bc hai. Song vic ng dng v vn dng phng trỡnh bc hai, hm s
bc hai trong vic gii cỏc loi toỏn khỏc nh th no cha c quan tõm nhiu.
Chớnh vỡ l ú trong quỏ trỡnh ging dy cho cỏc em c bit l hc sinh khỏ
gii ,tụi nhn thy õy l iu cn quan tõm. giỳp cỏc em hiu sõu v tam
thc bc hai v vic vn dng nú vo vic gii cỏc loi toỏn khỏc; tụi mnh dn
nờu lờn vn :" vn dng tam thc bc hai vo gii toỏn bc THPT"
Vi ti ny, tụi hi vng s giỳp cỏc em nm vng hn kin thc c bn ca
mụn hc v cú t tin khi thc hnh gii toỏn. T ú phỏt huy c kh nng
vn dng kin thc linh hot, kh nng sỏng to cng nh t duy c lp c bit
1
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt

0 )
Ta c phng trỡng bc hai : at
2
+bt +c = 0
B.Vớ d : Gii phng trỡnh : 2x
4
-3x
2
-2=0
Gii :
t x
2
=t iu kin t

0 ta c phng trỡnh bc hai i vi n t .
2t
2
- 3t - 2 = 0

=9 +16 = 25;

=5 Phng trỡnh cú hai nghim:
t
1
=
2
1
4
53
=

.
Vy phng trỡnh cú ha inghim : x
1
=
2
; x
2
=-
2
2: PHNG TRèNG I XNG BC CHN :
A: KIN THC C BN :
Ta xột phng trỡnh bc bn dng : a x
4
+ bx
3
+c x
2
+bx +a = 0
(a
0

; cỏc h s ca n cỏch u s hng chớnh gia )
3
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
vỡ x= 0 khụng phi l nghim ca phng trỡnh nờn chia hai v ca phng trỡnh
cho x
2
ta cú :

2

()
1
(
2
2
=++++
c
x
xb
x
xa
(1)
t x+
y
x
=
1
ta cú : x
2
+
.22)
1
(
1
22
2
=+= y
x
x
x

1
(3)
1
(2
05)
1
(3)
1
2(2
2
2
2
=+++
=++++
x
x
x
x
x
x
x
x
ti õy ta nhn thy phng trỡnh trờn cú dng bc hai nu t x +
y
x
=
1
a phng trỡnh v dng : 2y
2
+ 3y -5 = 0 gii phng trỡnh ta c :

2
= -
2
1

C : NHN XẫT : phng trỡnh i xng bc chn nu m l nghim thỡ
m
1

cng l nghim ca phng trỡnh .
Nu phng trỡnh cú dng : a x
5
+bx
4

cx
3
+cx
2
+bx +a = 0
c gi l phng trỡnh i xng bc l , phng trỡnh ny bao gi cng nhn
-1 lm nghim . Do ú cú th h bc a phng trỡnh v phng trỡnh i
xng bc chn m ta v trỡnh by cỏch gii trờn .
3 : PHNG TRèNH HI QUY :
A: PHNG TRèNH Cể DNG : a x
4
+ bx
3
+cx
2

d
xt
bx
d
2
2
2
2
2
=+=

hay x
2
+
b
d
t
ax
k
2
2
2
=
vy phng trỡnh ó cho c a v dng phng trỡnh
bc hai i vi n t :
at
2
+ bt + c +2
0=
b

2
2
255
t
x
xt
x
=+=
- 10
khi ú phng trỡnh trờn cú dng phng trỡnh bc hai i vi n t
2t
2
- 21t +54 = 0
Gii phng trỡnh bc hai trờn ta c hai nghim :
t
1
= 6 v t
2
= 4,5
vi t
1
= 6 ta cú
6
5
=+
x
x
hay x
2
- 6x + 5 = 0

=2,5
C : NHN XẫT :
Phng trỡnh hi quy trong ú
2
)(
b
d
a
k
=
; k
0

cú n ph dng
t =x +
bx
d
4 : PHNG TRèNH DNG : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m
hoc : ( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx
2

A: vớ d1: Gii phng trỡnh :
( x + 1 )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3
6
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
Gii :

( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) = 3

( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3

x
1;2
=
2
135

t
2
= -3 ta cú : x
2
+5x+4= -3

x
2
+ 5x + 7 = 0 ; phng trỡnh ny vụ nghim
(vỡ

= 25 - 28 < 0 )
vy phng trỡnh ó cho cú nghim : x
1;2
=
2
135

B.Vớ d 2 : gii phng trỡnh :
4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x
2
(1)
Gii :
(1)

/

= 4 + 12 = 16
Gii phng trỡnh ta c :
y
1
=
2
1
; y
2
=
2
3
vi y
1
=
2
1
ta cú : 2x
2
+ 31x +120 = 0
gii phng trỡnh ta c x
1
= - 8 ;x
2
= -
2
15
vi y

mcxbxdxax
=++++
))(())((
t ú ta t n ph a phng trỡnh ó cho v dng phng trỡnh bc hai mt
n .
i vi phng trỡnh dng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx
2
trong ú :ad = bc ta
nhúm
[ ][ ]
2
))(())(( mxcxbxdxax =++++
8
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
n ph cú th t l : y= x +
x
ad
hoc y = (x + a)(x + d).
i vi phng trỡnh dng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong ú d =
2
cba ++
m = (d - a)(d - b)(d - c) ta t n ph y = x + d mt nghim ca phng trỡnh l y
y = 0
5: PHNG TRèNH Vễ T :
A) C S L THUYT :
Trong quỏ trỡnh gii phng trỡnh vụ t ụi khi ta gp nhng phng trỡnh nu ta
dựng phng phỏp bỡnh phng hai v phỏ cn thc bc hai thỡ dn n
phng trỡnh bc cao m vic gii phng trỡnh ú khụng n gin . Song nu
khộo lộo t n ph ta cú th qui phng trỡnh ú v phng trỡnh bc hai sau
õy ta s xột mt vi vớ d:

2
1
vi t
2
= -
2
1
loi ( vỡ t
)0
vi t
1
= 2 ta gii phng trỡnh :
54
2
xx
= 2 hai v khụng õm phng trỡnh
tng ng vi x
2
- 4x - 5 = 4


x
2
- 4x - 9 = 0
9
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
gii phng trỡnh trờn ta c hai nghim : x
1;2
= 2
13



= (4x - 1)
2
- 8(2x - 1) = (4x - 3)
2
t
1;2
=
4
)34(14 xx
t
1
= 2x - 1 ; t
2
=
2
1
< 0 (loi)
vi t = 2x - 1 thay t =
1
2
+x
ta c phng triỡnh: 4x
2
- 4x + 1 = x
2
+ 1 (t
)1


- 2(a - 11)x
2
+(5a + 6)x + 2a + a
2
= 0
Gii :
Phng trỡnh trờn cú th vit di dng:
a
2
- 2(x
2
- 5x - 1)a + (x
4
- 10x
3
+ 22x
2
- 12x ) = 0

a
/

= (x
2
- 5x - 1)
2
- (x
4
- 10x
3


phng trỡnh cú hai nghim x
1;2
= 2
a+ 6
* Nu
/

< 0

a <-6 phng trỡnh vụ nghim
-vi a= x
2
+ 6x

x
2
- 6x - a = 0, ta cú
/

= 9 + a
*Nu
/

0


a
9
phng trỡnh cú hai nghim x

l tham s:

II: BT NG THC:
A:KIN THC C BN :
11
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
Do tam thc bc hai f(x) = ax
2
+ bx + c (a

0) x

R.
- iu kin f(x)
0




>


0
0
a
x
- Xột hm s bc hai :y = ax
2
+ bx + c (a









)
2
();();(
a
b
yyy

*Nu x = -
a
b
2

[ ]

,
thỡ:
max y= max
{ }
)();(

yy
min y = min
{ }

+ c
2
+ (ab +bc + ca) = 4
do (2) nờn ab +bc + ca =
2
24
= 1

bc = 1 - a(b + c ) = 1 - a(a - 2) = a
2
+ 2a + 1
Ta li cú : b + c = -(a + 2) do ú b,c l nghim ca phng trỡnh .
X
2
+ (a + 2)X + (a
2
+ 2a + 1) = 0
tn ti X thỡ:

0


(a + 2)
2
- 4(a
2
+ 2a + 1)
0



Vớ d 2: Cho ba s tho món : a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1)
3
4


Chng minh rng : -1

a + b + c

4
Gii:
Ta cú: a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1)
3
4

( a
2
+ b
2
+ c
2
) - 3(a + b + c)

4 (1)
Ta li cú: (a + b + c)
2


8
222
zxyzxy
zyx

)5(
)4(
chng minh rng
3
8
,,
3
8
zyx

Gii :
Nhõn (5) vi 2 rii cng vi (1) ta c :
(x+y+z)
2
= 16

x+y+z =

4
Nu x + y + z = 4

z = 4 - x - y thay vo (5) ta c :
xy + y(4 - x - y) + (4 - x - y) = 4



Vy ta cú :
3
8
3
8

y
Vỡ x, y,z cú vai trũ nh nhau nờn ta c : 3
8
,,
3
8

zyx
2: Dựng tớnh cht ca hm s bc hai : y=ax
2
+bx + c (a
)0
vi
[ ]

,x
vớ d 1 :
Cho a,b,c
[ ]
2;0
tho món iu kin a+b+c = 3 chng minh rng a

vy ta i chng minh bt ng thc (2) vi bin a,b u cú bc l hai nờn ta cú
th quy (2) v tam thc bc 2 vi n no ú, chng hn i vi n a :
(2)

f(a) =2a
2
- 2 (3 - b) + b
2
+(3 - b)
2
- 5
0
(3)
mun chng minh (3) ta ch cn chng minh f(a)
0
vi a
[ ]
2;0

Do h s ca a bng 2 > 0 nờn a
[ ]
2;0
thỡ :
max f(a) = max
{ }
)2(),0( ff
vi a
[ ]
2;0


1,

cb

b(b - 1)
0


f(2)
0

Nh vy f(0)
0

; f(2)
0



max
{ }
)2(),0( ff
0


maxf(a)
0


f(a)

2
2
mxx
mxx
mi 2 < x < 3
hay :








<<
>
<<
>
32
0)(min
32
0)(min
2
1
x
xf
x
xf
(*)












0)3(
0)2(
0)3(
0)2(
2
2
1
1
f
f
f
f









- 2(y - 1)x+(2y
2
- 4y+3)
ta cú :

=(y - 1)
2
- (2y
2
- 4y+3) = -y
2
+2y - 2 = -(y - 1)
2
- 1 < 0 do ú f(x) cựng
du vi h s ca x tc l f(x) > 0
C: NHN XẫT :
Khi thc hin bng cỏch no ú ta phi quy v s bc hai i vi n no ú . qua
ú ta s dng, tớnh cht v iu kin v du ca tam thc bc hai :
Tam thc bc hai: f(x) = ax
2
+bx+c (a
)0

*Nu

< 0 thỡ f(x) cựng du vi a vi mi giỏ tr ca x
*Nu

= 0 thỡ f(x) cựng du vi a vi mi giỏ tr ca x tr x = -
a


x = 1 - y
2
Vy : A = 1 - y
2
+ y
= -(y
2
- y +
4
1
) +
4
5
= -(y -
2
1
)
2
+
4
5



4
5
maxA =
4
5

2
= 1 (1)
Gii :
T (1)

( x
2
+ y
2
)
2
- 4(x
2
+ y
2
) + 3 = - x
2


0
vy : A
2
- 4A + 3

0

(A - 1)(A - 3)

0


2
2
20002
x
xx +
=
222
2
20002
xx
x
x
x
+

= 1-
2
20002
x
x
+
vỡ x

0
Biu thc trờn cú dng tam thc bc hai nu ta t
x
1
= y
ta cú : A = 1 - 2y + 2000y
2

2
- 2x + 2y + 2
Gii :18
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt
Gi s A l mt giỏ tr ca biu thc vỡ vy phng trỡnh :
2x
2
+ 2xy + y
2
- 2x + 2y + 2 = A cú nghim i vi x, y .a v phng trỡnh
bc hai i vi n x ta cú :
2x
2
+ 2(y - 1)x + (y
2
+ 2y + 2 - A) = 0 cú nghim khi
0
/

x


(y - 1)
2
- 2(y
2
+ 2y + 2 - A)

1 y
= 2
Vy minM = -3 khi x = 2 ; y = -3
Vớ d 2:
Cho A =
1
)1(2
2
2
+
++
x
xx

Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc A v cỏc giỏ tr tng ng
ca x
Gii:
Vỡ x
2
+ 1 > 0 vi mi x :Do ú A =
1
)1(2
2
2
+
++
x
xx



1


1

A

Vy minA = 1 khi x=- 1 v maxA = 3 khi x = 1.
20