Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thcs
một số dạng toán vận dụng tam thức bậc
hai
(I):giải phơng trình :
A:Kiến thức cơ bản:
Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải phơng trình ta đa phơng trình đó về dạng
phơng trình bậc hai dạng :ax
2
+ bx + c = 0 bằng cách đặt hoặc biến đổi. Khi đa ph-
ơng trình đó về dạng phơng trình bậc hai một ẩn ta đã có công cụ giải ở lớp 9. Đó
là công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai .
B :Một số dạng toán cơ bản :
1 : Phơng trình trùng phơng
a :Kiến thức cơ bản :
Phơng trình trùng phơng có dạng : a x
4
+bx
2
+c =0 (a

0 )
Để đa phơng trìng trên về dạng phơng trìng bậc hai ta đặt ẩn phụ :x
2
= t (t

0 )
Ta đợc phơng trìng bậc hai : at
2
+bt +c = 0
b:Ví dụ : Giải phơng trình : 2x
4

53
=
+
t
2
=2 thoả mãn điều kiện t
2
0

.
với t=t
2
=2 ta có x
2
=2

x
1
=
2
; x
2
=-
2
.
Vậy phơng trình có ha inghiệm : x
1
=
2
; x

3
=+++
x
a
x
bx
x
cx
x
bx
a x
2
+ bx +c -
0
2
=+
x
a
x
b
0)
1
()
1
(
2
2
=++++
c
x

Giải phơng trình bậc hai với ẩn số y ta tìm đợc y từ đó suy ra x .
b : ví dụ :
Giải phơng trình : 2x
4
+ 3x
3
- x
2
+3x +2 = 0
Giải :
Nhận thấy x= 0 không là nghiệm của phơng trình , với x
0

chia cả hai vế của ph-
ơng trình cho x
2
ta đợc phơng trình tơng đơng :
2x
2
+ 3x -1 +
0
23
2
=+
x
x
05)
1
(3)
1

2
= -
2
5

với x +
1
1
=
x
ta có : x
2
+ 1 -x = 0 vô nghiệm
với x +
x
x
2
2
51
=
2
+ 5x + 2 = 0 giải phơng trình ta đợc hai nghiệm :
x
1
= -2 ; x
2
= -
2
1


ta đợc phơng trình tơng
đơng :
a(x
2
+
)
2
ax
k
+ b(x +
0)
=+
c
bx
d
trong đó :
2
)(
b
d
a
k
=
đặt x +
b
d
t
xb
d
xt

=
b
ad
b : ví dụ :
Giải phơng trình : 2x
4
- 21x
3
+ 74x
2
- 105x + 50 = 0
Giải :
x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế cho x
2
ta đợc phơng
trình tơng đơng :
2(x
2
+
074)
5
(21)
25
2
=++
x
x
x
Đặt x +
2

giải phơng trình trên ta đợc :
x
1
= 1 ; x
2
=5
với t
2
= 4,5 ta có : x +
5,4
5
=
x
hay x
2
- 4,5x + 5 = 0
Giải phơng trình ta đợc x
3
= 2 ; x
4
=2,5
vậy phơng trình đã cho có các nghiệm là :
x
1
= 1 ; x
2
= 5 ; x
3
= 2 ; x
4

2
+ 5x +4 )(x
2
+5x+6) = 3
Nguyễn Xuân Mạnh - Thọ Xuân
3
Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thcs
Đặt : x
2
+5x + 4 = t ta đợc phơng trình bậc hai với ẩn t :
t(t + 2) = 3

t
2
+2t-3 = 0
Giải phơng trình bậc hai đối với ẩn t ta đợc : t
1
=1 ;t
2

= -3
với t
1
= 1 ta có : x
2
+5x+4 = 1

x
2
+5x +3 =0

(1)
Giải :
(1)

4(x
2
+17x + 60)(x
2
+ 16x + 60) = 3x
2


4(x +17 +
2
60
x
)(x + 16 +
x
60
) = 3 (vì x
0

)
Đặt x+16 +
x
60
= y
Ta đợc phơng trình bậc hai ẩn y : 4y
2
+ 4y - 3 = 0

15
với y
2
= -
2
3
ta có : 2x
2
+ 35x + 120 = 0 giải phơng trình ta đợc :
x
3;4
=
4
26535


vậy phơng trình đã cho có nghiệm :
x
1
= - 8 ; x
2
=
2
15

; x
3;4
=
4
26535

5: Phơng trình vô tỉ :
a) cơ sở lí thuyết :
Trong quá trình giải phơng trình vô tỉ đôi khi ta gặp những phơng trình nếu ta dùng
phơng pháp bình phơng hai vế để phá căn thức bậc hai thì dẫn đến phơng trình bậc
cao mà việc giải phơng trình đó không đơn giản . Song nếu khéo léo đặt ẩn phụ ta
có thể qui phơng trình đó về phơng trình bậc hai sau đây ta sẽ xét một vài ví dụ:
b) ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
2x
2
- 8x - 3
54
2

xx
= 12 (2)
Giải :
(2)
543)54(2
22

xxxx
- 2 = 0
Đặt
54
2

xx
= t (t
)0

- 4x - 5 = 4


x
2
- 4x - 9 = 0
giải phơng trình trên ta đợc hai nghiệm : x
1;2
= 2
13

ví dụ 2 :
Giải phơng trình :
(4x - 1)
1
2
+
x
= 2x
2
+ 2x + 1
Giải :
Nếu bình phơng hai vế để phá căn thức ta quy về phơng trình bậc bốn đầy đủ
việc giải gặp khó khăn hơn , nếu đặt t =
1
2
+
x
( t
)1