Chuyên đề : Tự chọn nâng cao:-Các phương pháp sai phân hữu hạn
-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS
Chuyên Đề:
A/ Ứng dụng tam thức bậc 2 trong việc giải toán THCS.
B/ Vận dụng tam thức bậc bai trong giải toán THCS
1/ Chứng minh BĐT
2/ Chứng minh đẳng thức – Giải hệ phương trình nhiều ẩn
3/ Chứng minh chia hết, không chia hết
4/ Chứng minh số chính phương
5/ Giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai
6/ Giải hệ phương trình bậc cao
8/ Tìm cực trị, cực trị để giải phương trình
9/ Giải hệ phương trình bậc hai tổng quát
10/ Giải phương trình theo tham số bậc hai, phương trình bậc 4 tổng quát đưa về bậc hai
11/ Tìm x,y để phương trình có nghiệm duy nhất
12/ Chứng minh số vô tỉ…
13/ Tính giá trị biểu thức
14/ Phương trình bậc hai thoả mãn Điều kiện chứng tỏ luôn có nghiệm.

Nguyễn Đắc Duân – Tổ Toán trường THCS Kim Đồng- Đại Lộc-QN
Chuyên đề : Tự chọn nâng cao:-Các phương pháp sai phân hữu hạn
-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS
Nội dung:
A/ Ứng dụng tam thức bậc 2 trong việc giải toán THCS.
1. Chứng minh Bất Đẳng thức:
Ta có f(x) =
2 2
2
[( ) - ]
2 4
b

2
+ c
2x
-bc)
= -3(b-c)
2
≤
0 .
Mà hệ số của tam thức bậc 2 là 1>0 -> f(a)
≥
0
∀
a,b,c.
VD: Cho a
3
>36 abc = 1
Chứng Minh:
2
2 2
3
a
b c ab bc ca
+ + > + +

2 2 2
( )3 3 3 3 0a b c ab bc ca
↔ + + − − − >

2 2
( ) 3( ) 3 ( ) 3 0.f b c b c a b c bc a↔ + = + − + − + >

Ta gọi f(a) = a
2
+ 2(b - 3c + d)a + 8bd

2 2
( 3 ) ( ) 8b c d b c d bd
′
= − + − + + +
V
= -4a(2b- 2c- 2d) +8bd
= 8(bd - bc + c
2
-cd)=8(b - c)(d - c) < 0.
Mà hệ số của tam thức bậc 2 là 1>0 -> f(a)
≥
0
a. Chứng minh đẳng thức, giải hệ phương trình nhiều ẩn:
Ta có mệnh đề: Đa thức bậc n có n+1 nghiệm thì đa thức đồng nhất với đa thức 0.
Vd:
.a b c≠ ≠
Chứng minh:

2 2 2
2
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
a x b x c b x c x a c x a x b
x
a b b c b a c a c b
− − − − − −

Hệ tương đương:

2
2
2
( 1) 0
( 1) 0
( 1) 0
a x ay z
b x by z
c x cy z

− + + =

− + + =


− + + =

Ta đặt f(t)= (x-1)t
2
+ ty + z
Mà f(a) = f(b) = f(c) = 0
Đa thức f(t)= (x-1)t
2
+ ty + z là đa thức bậc 2, mà có 3 nghiệm
Nên
1 0
0
0

Đặt f(t)=t
3
+t
2
x+ty+z=0
Ta có f(a)=f(b)=f(c)=0
Đặt: g(t)=f(t)-(t-a)(t-b)(t-c)đa thức bậc 2
g(a)= g(b)=g(c)=0
Nhưng g(t) = (x+a+b+c)t
2
+(y-ab-ac-bc)t+z+abc là đa thức bậc 2 mà có 3 nghiệm.
Suy ra
x ab c
y ab bc ca
z abc
= − −


= + +


= −

c/. Chứng minh chia không hết:
Vd: Tìm n để: n
2
-5n+49 chia hết cho 169
∀
n
∈

∀
n
Nguyễn Đắc Duân – Tổ Toán trường THCS Kim Đồng- Đại Lộc-QN
Chuyên đề : Tự chọn nâng cao:-Các phương pháp sai phân hữu hạn
-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS
d/Chứng minh số chính phương:
Vdụ: . Tìm n để n
2
+2n7+12 là số chính phương.
Gọi n
2
+2n+12=k
2
C
1
: (n+1)
2
- k
2
= - 11
(n + 1 - k)(n + 1 + k) = -1 . 11
=> k = 6; n =4
C
2
: n
2
+2n+12-k
2
= 0



(2 1 2 )(2 1 2 ) 6355m k m k
⇔ + − + + =

2 2 1 2 2 1m k m k
+ + > − +
và chúng là những số lẽ
Nên
(2 1 2 )(2 1 2 ) 6355.1 1271.5m k m k
+ + + − = =

= 155.41
Giải tương tự ta tìm được: n = 1588, 316, 43, 28
c/ Tìm a là số tự nhiên : 13a+3 là số chính phương
Gọi: 13a+3 = k
2
n N
∈
C
1
: 13(a-1) = k
2
- 16

13(a-1) = (k + 4) (k - 4)

 k + 4 hoặc k - 4
M
13
 k =

- 5 là số dương

2
2 5 0t t
⇔ + − =
có nghiệm nguyên t chỉ có thể là
1; 5
± ±
với
1 : 1 2y - 5 = 0 y= 3t
= ± ± ⇒ ±
Nguyễn Đắc Duân – Tổ Toán trường THCS Kim Đồng- Đại Lộc-QN
Chuyên đề : Tự chọn nâng cao:-Các phương pháp sai phân hữu hạn
-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS
với
5 : 1 10y - 5 = 0 yt
= ± ± ⇒
(loại)
với y = 3 => x = 12, x = 8 => (8,3); (8,12)
với y = 3 => x = -6, x = - 10 => (-3,-6); (-3,-10)
VD: Tìm x, y nghiệm nguyên:
2 2
= 6x y
−
Ta có
2 2
+ 6x y
=
là số chính phương khi
Pt:

∆ ≥ ⇔ ≤ ≤
Từ (2)
2
3 4x x x
⇒ ∆ = − +

4
0 0
3
x x
∆ ≥ ⇔ ≤ ≤
Với
4 2
4 7 4 7 679
;
3 3 3 3 81
x y
   
= = ⇒ + ≠
 ÷  ÷
   
Nen HPT vo nghiem
VD 2: Cho HPT
2
1
x y z
xy yz xz
+ + =



-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS

G) Tìm cực trị, dùng cực trị để giải phương trình:
Vd1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
A=
1
34
2
+
+
x
x
(1)
Cách 1: A =
1
144)44(
2
22
+
−+−+
x
xx
x
= 4 -
( )
1
2
2
12
+

x
1−≥A
min
=-1+
⇔
x=-2
Phương pháp trên thiếu tự nhiên, khó hướng dẫn HS thêm bớt hạng tử, nếu ta dùng phương
pháp miền giá trị thì dễ dàng hơn
Cách 2: Dùng miền giá trị:

(1)
⇔
Ax
2
– 4x +A -3 = 0

∆
’
= 4 – (A-3)A
= -A
2
+ 3A +4
Phương trình có nghiệm thì:
∆
’

0≥

2
+xy=1
Tìm GTLN,GTNN của A, A=x
2
-xy + 2y
2
Ta có thể biến đổi như sau:
A=(x
2
-xy + 2y
2
) :(x
2
+y
2
+xy)
Với: y=0 suy ra A=1
Với y khác 0, ta đặt t=x:y ta có: A=( t
2
-t+2):(t
2
+t+1)
Với phương pháp miền giá trị trên ta tìm dược cực trị A
Ví dụ:
Nguyễn Đắc Duân – Tổ Toán trường THCS Kim Đồng- Đại Lộc-QN
Chuyên đề : Tự chọn nâng cao:-Các phương pháp sai phân hữu hạn
-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS
Tìm x nguyên K nguyên:
K= x/(x
2

yx
-4x
2

0
≤
⇔
(2x+2y+7-3)(2x-2y+7+3)
0≤
⇔



≤++
≥++
02
05
yx
yx
vì x+y +5 > x+y+2
⇔



−≤
−≥
1
4
s
s

1
4
s
s

⇔



−==⇔−=
−==⇔−=
5,01
2,04
min
xy
xy
s
s
mas
Nguyễn Đắc Duân – Tổ Toán trường THCS Kim Đồng- Đại Lộc-QN
Chuyên đề : Tự chọn nâng cao:-Các phương pháp sai phân hữu hạn
-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS
Ví dụ 3: Giải phương trình:
( )
4
2
16123 +++ x
x
+
( )

( )
22
12
2
≤+
+y1,
2
1
=−=⇒ xy
h) Giải hệ phương trình bậc hai tổng quát:
Hệ phương trình bậc hai ,hai ẩn ngoài các dạng đối xứng loại I, II,đẳng cấp …. Đối với
dạng bậc hai tổng quát ta vẫn có cách giải như sau:
Cho hệ phương trình bậc hai tổng quát:





=++++
=++++
edd
y
cbxa
edd
y
cbxa
yxxy

α
khi đó hệ đã cho sẽ trở thành:
Nguyễn Đắc Duân – Tổ Toán trường THCS Kim Đồng- Đại Lộc-QN
Chuyên đề : Tự chọn nâng cao:-Các phương pháp sai phân hữu hạn
-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS
c)
( )
( )
( )
( )





=+++
=−++
11121
2211
22
22
x
x
x
x
α
α
α
α
Đặc x

x
= ( 1+
α
2
)9
D
z
= 26
α
-7
Nếu 4
α
+1 =0 thì hpt vô nghiệm
Nếu 4
α
+1
0≠
thì hpt có nghiệm:
x=
14
9
+
α
z=
( )
( )
141
726
2
++

=
⇔
23
44
2
α
α
Với
α
=2
2,1 ==⇒ yx
Với
α
= -44/23 thì x=-69/51,y=132/51
i)Giải phương trình bậc 2 theo tham số, phương trình bậc 4 đưa về bậc hai.
+ Giải Phương trình bậc hai qua tham số
Ví dụ 1: Giải phương trình
02222
24
=−+−+ x
xx
Nguyễn Đắc Duân – Tổ Toán trường THCS Kim Đồng- Đại Lộc-QN
Chuyên đề : Tự chọn nâng cao:-Các phương pháp sai phân hữu hạn
-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS
Đặt t
2
=2, t>0
⇒
t
2

2
+x +1 (*)
T2 = x
2
– x (**)
ứng với t ta tìm được giá trị của x tương ứng từ hai phương trình trên.
ví dụ:Cho phương trình: x
3
– mx
2
– (m+1)x + m
2
+ m =0
xác dịnh m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt:
Ta có: f(m) = m
2
– (x
2
+x-1)m+x
3
–x =0
∆
= (x
2
+x-1)
2
-4(x
3
–x) = ( x
2



+≠
>+
⇔
1
01
2
m
m
m





±
≠
>
⇔
2
51
1
m
m

+ Phương trình bậc 4 đưa về phương trình bậc:
ax
4
+bx

2
-4(n+r)(t+n
2
)
Ví dụ: x
4
-3x
2
-10x -4 =0
Ta viết;
(x
2
+a)
2
=(3 + 2a)x
2
+10x+4+a
2

Chọn a sao cho A( delta)= 25-(4+a
2
)(3+2a)=0
Voíư a=1
Từ đó ta viết :
(x
2
+1)
2
= 5x
2

23
Nên x
1
+ x
2
=-4
x
1
. x
2
=-14
Nguyễn Đắc Duân – Tổ Toán trường THCS Kim Đồng- Đại Lộc-QN
Chuyên đề : Tự chọn nâng cao:-Các phương pháp sai phân hữu hạn
-Vận dụng tam thức bậc hai trong giải toán THCS
Suy ra x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình X
2
-4X-14=0
Ta có:
0
12
=++
++
sss
nnn
cba
Hay

+ bx +c =0, a.b.c
0≠
Thoả mãn điều kiện: 2a +3b + 6c = 0
Chứng tỏ phương trình luôn luôn có nghiệm
Giải:
Ta có f(0) = c
f






2
1
=
cba ++
2
1
4
1
f(1) = a+b+c
mà f(0) +4f






2

2
1
=⇒ x
)
*Với a
0≠
.
a.f






2
1
= a(
cba ++
2
1
4
1
)
=
( )
cba
a
++ 2
4
Mà 3b + 6c = -2a





−
a
a
a
a
Nên phương trình luôn luôn có nghiệm
Nguyễn Đắc Duân – Tổ Toán trường THCS Kim Đồng- Đại Lộc-QN