1
MỘT CÁCH KHAI THÁC BÀI TOÁN SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC
NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Nguyễn Thanh Bình - GV trường CĐSP Yên Bái

Bài toán so sánh một số
α
với các nghiệm của tam thức bậc hai hay gặp
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng hiện nay và cũng gây
không ít khó khăn cho các thí sinh. Hơn nữa từ khi áp dụng chương trình phân
ban THPT, trong chương trình Đại số 10 không còn giới thiệu nội dung định lí
đảo về đấu của tam thức bậc hai. Do vậy, học sinh càng khó khăn hơn trong việc
giải các bài toán này. Trong bài viết này chúng tôi trao đổi với các bạn một kỹ
thuật nhỏ để giải quyết tốt các bài toán liên quan đến bài toán trên.
Giả sử cho tam thức bậc hai
2
()
fxaxbxc
=++
có hai nghiệm phân biệt
1212
,()
xxxx
<
. Đặt
1212
;.
bc
SxxPxx
aa

()
fxaxbxc
=++
về tam thức bậc hai ẩn là
y
.
Vậy để bài toán thoả mãn điều kiện đã cho thì tam thức bậc hai
()
fy
phải có hai
nghiệm trái dấu.
* Thí dụ 1. Tìm
m
để phương trình
22
(21)(1)20
mxmxm
−+−++=
có hai
nghiệm
12
,
xx
sao cho
12
1
xx
<<
.
Lời giải. Đặt

trái dấu
2
(21)(3)0
mmm
⇔−+<

3
m
⇔<−
hoặc
1
0
2
m
<<
.
* Thí dụ 2. Cho hàm số
21
(1)
1
x
y
x
−
=
+

Với giá trị nào của
m
, đường thẳng

=++
+
⇔+++=≠−

Để
m
d
cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh thì phương trình
trên phải có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
thỏa mãn
12
1
xx
<−<
.
Đặt
1
xy
+=
, phương trình trên trở thành
2
30
mymy++= , pt này phải có hai
nghiệm trái dấu
3.00.
mm
⇔<⇔<

()
fy
có hai nghiệm dương phân biệt.
* Thí dụ 3. Tìm
m
để phương trình
2
3210
xxm
−+−=
có hai nghiệm phân
biệt
12
,
xx
thỏa mãn điều kiện
12
1
xx
<<
.
Lời giải. Điều kiện
12
1
xx
<<
12
011
xx
⇔<−<−

* Thí dụ 4. Cho hàm số
2
1
(1)
1
mxxm
y
x
−++
=
−
(
m
là tham số)
Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt và có hoành độ lớn
hơn 1.
Lời giải. Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1
⇔
phương trình
2
()10
fxmxxm
=−++=
có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
đều

m
m
mm
mm
m
S
m
m
P

≠

≠


∆=−−+>


−−−+−+

⇔⇔<<⇔<<

−
=>


<<
=>



Tìm
m
để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (
3;)
+∞
.
Lời giải. TXĐ:
\{1}
R
.
Hàm số (1) đồng biến trên khoảng (
3;)
+∞

2
22
243()
'03
(1)(1)
xxmgx
yx
xx
−+−
⇔==≥∀>
−−

Xét
2
()243
gxxxm

≥∀>⇔≥∀>
khi và chỉ khi
()
gx

có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
thỏa mãn
12
3
xx
<≤2
()289
gyyym
⇔=++−
( với
3
yx
=−
) có hai nghiệm phân biệt nhỏ
hơn hoặc bằng 0.

1
1
4019


* Thí dụ 6. Cho hàm số
32
1
22(1)
3
yxxmx=−+− (
m
là tham số)
Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
(;1)
−∞
.
Lời giải.
TXĐ: R
Hàm số (1) đồng biến trên khoảng
(;1)
−∞
khi và chỉ khi
2
'401
yxxmx
=−+≥∀<

Xét
2
()4
gxxxm

có hai nghiệm phân
biệt
12
,
xx
thỏa mãn
12
1
xx
≤<2
()(1)4(1)
gyyym
⇔=+−++2
23
yym
=−+−
có hai nghiệm phân biệt không âm

4
4
2034
3
30
m

++−+=
có hai nghiệm
12
,
xx
thỏa mãn
12
1
xx
<−<
.
Bài 2. Tìm
m
để phương trình
2
(1)(21)0
mxmxm
+−−+=
có hai nghiệm
12
,
xx
thỏa mãn
12
2
xx
−≤<
.
Bài 3. Cho hàm số
2

để đường thẳng
:2
m
dymx
=+
cắt đồ thị ( C) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Bài 5. Cho hàm số
32
1
(1)(3)4
3
yxmxmx
−
=+−++−
(
m
là tham số)
Tìm
m
để hàm số trên đồng biến trên khoảng (0; 3).