MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài khoá luận
Hình học là môn khoa học suy diễn, đòi hỏi người đọc phải có sự tư
duy khả năng tưởng tượng tốt.
Cách đây khoảng mười hai năm về trước thì các phép biến hình chưa có
trong môn toán ở nhà trường phổ thông. Đến khoảng năm 2000 thì các phép
biến hình được đưa vào môn toán trong nhà trường phổ thông. Điều đó đã
chứng tỏ rằng đã chuyển hình học từ khoa học thực nghiệm sang khoa học
suy diễn. Việc chuyển như vậy là bước đầu cho việc “Đại số hóa hình học”,
tức là nghiên cứu hình học bằng công cụ đại số. Do vậy đòi hỏi người học
phải có tư duy tốt.
Hiện nay ở trường trung học phổ thông thì các phép biến hình trong
hình học phẳng và trong hình học không gian chiếm tỷ trọng không nhỏ của
nội dung môn toán.
Do vậy ta thấy sự “Ưu việt” của phép biến hình trong môn toán ở nhà
trường phổ thông. Hơn nữa có những bài toán hình học được giải thông qua
phép biến hình đôi khi nhanh và gọn hơn khi giải bằng cách thông thường.
Tuy nhiên thực tế hiện nay việc dạy và học phép biến hình trong môn
toán ở nhà trường trung học phổ thông cả thầy và trò đều gặp khó khăn. Thầy
thì gặp khó khăn chủ yếu trong phương pháp dạy. Còn trò thì e ngại khi gặp
những bài toán về phép biến hình và các bài toán liên quan đến phép biến
hình.
Do vậy để giải đuợc bài tập về phép biến hình, yêu cầu học sinh phải
nắm được những kiến thức cơ bản về những khái niệm, tính chất, có kĩ năng
giải toán, linh hoạt và sáng tạo trong việc sử dụng những phương pháp để giải
toán về phép biến hình có hiệu quả.
1
Nghiên cứu về các phép biến hình và một số phương pháp giải với
mong muốn góp phần giúp học sinh phổ thông một công cụ mới để giải toán,
đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới,
củng cố kiến thức và áp dụng vào các bài toán liên quan và các môn học khác.

với một số giáo viên toán trung học phổ thông về vấn đề dạy học giải bài tập
có nội dung thực tiễn nói chung, dạy học các phép biến hình nói riêng.
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc tham khảo tài liệu, giáo
trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
• Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Đó là phương pháp thu thập thông
tin, nhận định, đánh giá góp ý kiến cho đề tài bằng cách sử dụng trí tuệ của
giáo viên dạy phương pháp ở trường đại học, giáo viên phổ thông, thầy cô
hướng dẫn có trình độ về hình học nói chung và về các phép biến hình nói
riêng, nhằm nghiên cứu phương pháp dạy học các phép biến hình.
• Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Tổ chức thử nghiệm sư phạm dạy
học ở một số tiết học trong môn toán lớp 11, nhằm kiểm nghiệm tính khả thi
và hiệu quả của hệ thống các phương pháp đã đề xuất.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Lý luận dạy học về các phép biến hình.
• Phạm vi: Khoá luận tập trung nghiên cứu về phương pháp dạy học
các phép biến hình trong hình học phẳng ở nhà trường trung học phổ thông.
3
6. Bố cục của khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khoá luận được chia
thành các chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Phương pháp dạy học các phép biến hình trong nhà trường
trung học phổ thông
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm
4
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Các tình huống điển hình trong dạy học môn toán
1.1.1. Dạy học khái niệm toán học
a) Vị trí và yêu cầu

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra
như sau:
- Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại của
một loại đối tượng nào đó.
- Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc
điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.
- Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng
cách nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm.
Thứ hai là con đường suy diễn. Con đường suy diễn, trong đó định
nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra
như sau:
6
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm
đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa
nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một
bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
- Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa
Thứ ba là con đường kiến thiết. Con đường tiếp cận khái niệm theo
con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:
- Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được
hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ
toán học hay thực tiễn.
- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
- Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả bước trước.
Con đường này mang cả yếu tố quy nạp lẫn suy diễn. Yếu tố suy diễn
thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối
tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ

qua các khái niệm khác của hệ thống lí thuyết đã cho, bởi vì trong hệ thống này
trước chúng không có một khái niệm nào. Nhưng điều đó không có nghĩa là
những khái niệm đầu tiên này không được định nghĩa. Thực ra, các khái niệm
xuất phát này được định nghĩa một cách không tường minh, gián tiếp bằng mô
tả để làm nổi bật nội dung của chúng (ở trình độ thấp) hay bằng những tiên
đề (ở trình độ xây dựng lí thuyết chặt chẽ), chẳng hạn như khái niệm "điểm",
"đường thẳng", "hướng của vectơ", Như vậy, khi nói rằng các khái niệm
"điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" là những khái niệm xuất phát nên không
8
được định nghĩa thì phải hiểu là "chúng không được định nghĩa tường minh
qua các khái niệm khác".
Tóm lại, trong dạy học ở trường Phổ Thông, có những khái niệm không
được định nghĩa vì hai lí do khác nhau: Vì chúng là những khái niệm xuất
phát trong khoa học toán học, hoặc vì lí do sư phạm.

Đối với những khái niệm
như vậy thì cần mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để giúp học
sinh hình dung được hình ảnh, hiểu được ý nghĩa của khái niệm ấy.
Thứ hai là các yêu cầu của một định nghĩa
Đối với một định nghĩa, ta không thể nói rằng nó đúng hay sai. Một
định nghĩa có thể hợp lí (chấp nhận được) hay không hợp lí (không chấp nhận
được) phụ thuộc vào sự thỏa mãn hay không thỏa mãn những yêu cầu tối
thiểu của định nghĩa.
Yêu cầu quan trọng nhất là định nghĩa không được vòng quanh. Việc vi
phạm nguyên tắc này thể hiện ở chỗ cái được định nghĩa lại chứa đựng (tường
minh hay không tường minh) trong cái dùng để định nghĩa.
Yêu cầu thứ hai nhằm đảm bảo sự đúng đắn (chuẩn mực) của một định
nghĩa, đó là định nghĩa phải có trị nhưng không được đa trị. Định nghĩa phải
có trị tức là phải tồn tại ít nhất một đối tượng thỏa mãn các điều kiện trong
định nghĩa. Định nghĩa không được đa trị tức là mỗi thuật ngữ hay kí hiệu chỉ

• Hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
10
• Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí. Thấy được
chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên
lĩnh vực toán học.
• Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ đó
hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết suy
nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình trung học phổ thông.
b) Các con đường dạy học định lí
Việc dạy học các định lí toán học có thể được thực hiện theo hai con
đường: con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Hai con đường
này được minh họa bằng sơ đồ sau:
Tạo động cơ
Phát hiện định lí
Suy luận logic dẫn tới
định lí
Chứng minh định lí
lililý
Phát biểu định lí
Củng cố định lí
11
Việc đi theo con đường nào không phải là tùy tiện mà tùy theo nội
dung định lí và tùy điều kiện cụ thể của học sinh.
Trong dạy học hình học, việc phát hiện định lí có thể được tiến hành
thông qua vẽ hình hoặc thông qua hoạt động thực hành dưới sự hướng dẫn
của giáo viên.
c) Dạy học chứng minh định lí
Trong dạy học định lí một khâu rất quan trọng là phát triển ở học sinh
năng lực chứng minh toán học. Dựa vào những tư tưởng chủ đạo của quan
điểm hoạt động, ta cần lưa ý giải quyết các vấn đề sau :

i
A
là một định nghĩa, tiên đề
hoặc một mệnh đề đúng nào đó, còn B là một mệnh đề cần chứng minh :
0
1
A A B→ → →

- Phép suy ngược có hai trường hợp: Suy ngược tiến và suy ngược lùi
với các sơ đồ lần lượt như sau:
n
n
B A A
B A A
→ → →
¬ ¬ ¬
Các phép suy xuôi và suy ngược lùi là những phép chứng minh trong
khi phép suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán.
1.1.3. Dạy học quy tắc, phương pháp toán học
Các qui tắc, phương pháp không hoàn toàn độc lập với định nghĩa và
định lí. Có những qui tắc, phương pháp dựa vào một định nghĩa hay định lí,
có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định lí.
13
a) Những thuật giải và những qui tắc tựa thuật giải
Thứ nhất, khái niệm về thuật giải và qui tắc tựa thuật giải. Thuật giải
theo định nghĩa trực giác được hiểu như một dãy những chỉ dẫn thực hiện một
cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi

Vì vậy khi cho học sinh sử dụng chúng, cần rèn luyện cho họ tính mềm dẻo,
linh hoạt, thay đổi phương pháp khi cần thiết.
1.1.4. Dạy học giải bài tập toán học
Ở trường trung học phổ thông, dạy học giải bài tập toán là dạy hoạt
động toán học. Đối với học sinh, có thể coi việc giải toán là hoạt động chủ
yếu của hoạt động toán học.
Các bài toán ở trường trung học phổ thông là phương tiện rất có hiệu
quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,
phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực
tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện mục đích
dạy học toán ở trường trung học phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc
dạy học giải bài tập toán học có vai trò quyết định với chất lượng dạy học
toán học. Trong thực tiễn, dạy học bài tập toán được sử dụng với nhiều mục
đích khác nhau. Một bài tập toán có thể tạo tiền đề xuất phát gợi động cơ, để
làm việc với nội dung mới để củng cố hoặc kiểm tra…
Trong môn Toán, bài tập có chức năng sau:
• Chức năng dạy học: Nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri
thức, kỹ năng, kỹ xảo ở giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
15
• Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển tư duy của học sinh, đặc
biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất của tư duy khoa học.
• Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và đạo đức người lao động mới.
• Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, đánh giá chức năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
a) Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, là giá mang hoạt
động của học sinh. Thông qua giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt
động nhất định bao gồm nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc,
phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp chung trong toán học.

- Phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội
dung bài toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
• Bước 2: Tìm lời giải
17
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán.
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biết hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan.
- Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí.
• Bước 3: Trình bày lời giải
• Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài tập tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Trong quá trình dạy học phương pháp chung giải toán cần có những gợi
ý để thầy hỗ trợ cho trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải. Sau đây là một
bản gợi ý về căn bản dựa theo Polya, có điều chỉnh phù hợp với cấu trúc của
phương pháp chung:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
• Đâu là cái phải tìm, cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các
điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay mâu thuẫn?
• Hãy vẽ hình.
• Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện.
Bước 2: Tìm cách giải
• Bạn đã gặp bài tập này lần nào chưa? Hay ở dạng tương tự?
• Hãy xét cái chưa biết và nhớ lại có bài tập nào tương tự chưa?
• Bạn có biết bài tập nào có liên quan không? Có thể sử dụng định lí nào?
• Thấy được một bài tập có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể
sử dụng nó không? Hãy sử dụng phương pháp giải bài tập đó.
18

1.2.1. Vị trí tầm quan trọng của phép biến hình trong nhà trường trung học
phổ thông
Trong chương trình hình học trung học cơ sở, các phép biến hình có
được giới thiệu cho học sinh nhưng nó chỉ đóng vai trò thứ yếu, nó không là
công cụ chứng minh tính chất các hình, nó cũng không là công cụ để giải toán
hình học phẳng. Tuy nhiên, việc dạy học về các phép biến hình ở trường trung
học phổ thông thì đã đề cập với mức độ khá chi tiết với ba cấp độ:
Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ giữa hai hình hoặc
giữa hai phần của một hình (đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt).
Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng
quát hơn, từ không gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được
nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm.
Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học.
Trong đó, cấp độ 2 là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp thế
nào là tùy vào từng thể chế dạy học.
Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán phổ thông
là nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải toán đồng thời tập
cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới.
20
1.2.2. Mục tiêu, nội dung phép biến hình trong chương trình SGK môn
toán ở nhà trường trung học phổ thông
1.2.2.1. Mục tiêu phép biến hình trong chương trình SGK môn toán ở nhà
trường trung học phổ thông
- Cho học sinh làm quen với một số phép biến hình cụ thể, có nhiều
ứng dụng trong thực tế như : Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối
xứng tâm, phép quay, phép vị tự. Có giới thiệu nhưng không đi sâu vào khái
niệm hợp thành của các phép đó vì vậy không nói đến dạng chính tắc của
phép dời hình và phép đồng dạng.
- Học sinh bước đầu có thể áp dụng các phép biến hình để giải một số
bài toán không quá khó.

Hơn nữa trong chương 1, khóa luận nêu được tầm quan trọng của phép
biến hình và mục tiêu, nội dung phép biến hình trong chương trình SGK của
môn toán trong nhà trường trung học phổ thông. Vậy qua việc tìm hiểu thực
tiễn đó, chúng tôi thấy việc dạy học nội dung phép biến hình trong mặt phẳng
ở trường trung học phổ thông còn nhiều hạn chế. Do vậy chúng tôi đưa ra
phương pháp dạy học phép biến hình ở chương 2.
23
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG
NHÀ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Dạy học định nghĩa các phép biến hình
2.1.1. Phép biến hình
Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với
một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình
trong mặt phẳng.
Phương pháp dạy học định nghĩa phép biến hình:
HĐ1: Gợi động cơ hình thành khái niệm
- BT1: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M không thuộc
d. Tìm hình chiếu vuông góc M’ của điểm M lên đường thẳng d ? Điểm M’
xác định được có phải duy nhất không?
- BT2: Trong mặt phẳng, cho vectơ
u
r
và điểm M. Tìm điểm M’ sao cho
vectơ
'MM u=
uuuuur r
? Điểm M’ xác định được có phải duy nhất không?
- GV khẳng định: Như vậy, cả 2 bài toán trên đều đề cập tới một vấn
đề. Đó là “ Với mỗi điểm M cho trước xác định được điểm M’, biết điểm M'’

0u ≠
r r
, phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
'MM u=
uuuuur r
, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
u
r
.
25