LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán -
Lý - Tin, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT,
Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán
và đặc biệt là thầy giáo - Thạc sĩ Vũ Việt Hùng đã tận tình tạo điều kiện,
quan tâm, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Những
ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận này.
Khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót và kết quả còn
chưa được như mong muốn. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp
ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin để
khóa luận này được hoàn thiện hơn.
Sơn La, tháng 04 năm 2014.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Thúy Hằng.
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Hàm điều hòa dưới 21
2.1 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Tính duy nhất của hàm điều hòa dưới . . . . . . . 24
2.1.5 Một số tính chất khác . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Dãy các hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Định lý biểu diễn của hàm điều hòa dưới trên R

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa dưới bao gồm các tính
chất cơ bản, giá trị trung bình
Trình bày dãy các hàm điều hòa dưới và định lý biểu diễn hàm điều
hòa dưới.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa dưới và một số tính
chất liên quan khác.
Tìm hiểu một số tính chất liên quan dãy các hàm điều hòa dưới, biểu
diễn của hàm điều hòa dưới.
4. Phạm vi, phương pháp nghiên cứu
Trong khóa luận chỉ tập chung vào định nghĩa, phân tích rõ một vài tính
chất cơ bản và các tính chất hay gặp của hàm điều hòa dưới như: nguyên
lý cực đại, tính chất giá trị trung bình, tính duy nhất của hàm điều hòa
dưới, hàm điều hòa dưới và tính lồi,
Ngoài ra, em còn phân tích một số tính chất của dãy các hàm điều hòa
dưới, biểu diễn của hàm điều hòa dưới.
Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, hỏi ý kiến chuyên gia, Sem-
inar, thảo luận.
5. Cấu trúc đề tài
Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 2 chương với
những nội dung chính sau đây:
Chương một nhắc lại một số kiến thức mở đầu để người đọc theo dõi
dễ dàng hơn trong phần sau. Hàm nửa liên tục, hàm điều hòa, hàm chỉnh
hình.
Chương hai trình bày các vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm điều
hòa dưới, định nghĩa, tính chất cơ bản, một số tính chất khác của hàm
điều hòa dưới, dãy các hàm điều hòa dưới, biểu diễn của hàm điều hòa dưới.
4
Chương 1

∗
(x).
(3) (f
∗
)
∗
(x) = f
∗
(x) và (f
1
+ f
2
)
∗
(x)  f
∗
1
(x) + f
∗
2
(x).
(4) (max (f
1
, f
2
))
∗
(x)  max (f
∗
1

) : |x − x

| < , x

∈ E}
(αf)
∗
(x) = lim
→0
sup{αf(x

) : |x − x

| < , x

∈ E}
(αf)
∗
(x) = α lim
→0
sup{f(x

) : |x − x

| < , x

∈ E}
= αf
∗
(x).


| < , |x − x

| < ; x

, x

∈ E}
= lim
→0
sup{f(x

) : |x − x

| < , x

∈ E}
= f
∗
(x).
Mặt khác:
(f
1
+ f
2
)
∗
(x) = lim
→0
sup{(f


) : |x − x

| < , x

∈ E}
+ lim
→0
sup{f
2
(x

) : |x − x

| < , x

∈ E}.
Khi đó ta được (f
1
+ f
2
)
∗
(x)  f
∗
1
(x) + f
∗
2
(x).

Chứng minh. ∀ > 0 cho trước bất kỳ.
Do f ∈ C
+
∩ C
−
nên ta có:
f
∗
(x) = lim
→0
sup{f(x

) : |x − x

| < }.
−(−f)
∗
(x) = lim
→0
inf{f(x

) : |x − x

| < }.
Do f(x) ∈ C
+
tại x nên f
∗
(x) = f(x).
Suy ra |f(x) − f(x

2
) ∈ C
+
.
Định lý 1.1.1. Hàm f ∈ C
+
khi và chỉ khi G
A
là tập mở, ∀A ∈ R.
Chứng minh. Cho f(x) = f
∗
(x), x ∈ G. Khi đó:
{f(x) < A} ⇒ {f
∗
(x) < A}.
⇒ {M(f, x, ) < A}, ∀ đủ bé.
Do đó, lân cận của x.
V
,x
:= {x

: |x − x

| < } ⊂ G
A
.
Ngược lại, tập G
A
mở. Đặt A = f(x
0

Nghĩa là f đạt cận trên đúng của nó trên bất kỳ tập compact.
Chứng minh. Tập
K
n
:= {x ∈ K : f(x)  M(f, K) −
1
n
}.
K
n
là tập đóng bởi Hệ quả (1.1.1), khác rỗng bởi định nghĩa của M(f, K)
giao của chúng là khác rỗng và bằng tập:
K
max
:= {x ∈ K : f(x)  M(f, K)}.
Nghĩa là ∃x
0
∈ K sao cho f(x
0
)  M(f, K).
Bất đẳng thức đối f(x
0
)  M(f, K) đúng với bất kỳ x ∈ K.
Mệnh đề 1.1.5 (Tính liên tục phải của M(f, K)). Nếu f
n
∈ C
+
(K) và
f
n

↓ f.
Chứng minh. Điều kiện đủ.
Cho f
n
∈ C
+
(K) và f
n
↓ f. Tập K
A
n
:= {x ∈ K : f
n
(x)  A} là dãy tập
8
đóng khác rỗng.
Nếu tập K
A
:= {x : f(x)  A} khác rỗng thì K là tập đóng vì

n
K
A
n
= K
A
.
Do đó f ∈ C
+
(K) bởi Hệ quả (1.1.1).

n
là nửa liên tục trên trong y.
Từ Mệnh đề (1.1.5) và c) suy ra lim
n→∞
M
y
(f
n
(x, y), K) = M
y
( lim
n→∞
f
n
(x, y), K).
Từ b) suy ra hàm f
n
(x) := M
y
(f
n
(x, y), K) liên tục.
Từ a) suy ra hàm đã cho đơn điệu giảm tới f(x).
Xét họ hàm nửa liên tục trên {f
t
: t ∈ T ⊂ (0, ∞)}. Dễ dàng chứng minh
được mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1.6. Nếu f
t
∈ C

0
⊂ T sao cho:
(sup
T
0
f
t
)
∗
(x) = (sup
T
f
t
)
∗
(x).
Chứng minh. Cho {x
n
} là tập đếm được trù mật trên R
m
và 
j
→ 0. Khi
đó hình cầu K
n,j
:= {x : |x − x
n
| < 
j
} phủ mỗi điểm x ∈ R

l
sao cho:
f
T
(x
0
) < f
t
l
(x
0
) +
1
2l
.
Do đó:
f
T
(x
0
) < sup{f
t
l
(x) : x ∈ K
l
} +
1
2l
. (1.1.3)
Từ bất đẳng thức (1.1.2) và (1.1.3) khi đó bất kỳ l, tồn tại t

∗
T
(x). (1.1.5)
Ta đi chứng minh bất đẳng thức đối.
Cho x ∈ R
m
, chọn một dãy con {K
l
j
} dần tiến tới x. Từ (1.1.4) ta có:
f
∗
T
(x)  lim
j→∞
sup sup
x

∈K
l
j
f
T
(x

)
 lim
j→∞
sup sup
x

Suy ra:
f
∗
T
(x)  f
∗
T
0
(x). (1.1.6)
10
1.2 Hàm điều hòa
Cho D là miền trên C (D là miền mở liên thông). Ta ký hiệu số phức
z = x + iy ∈ D; x, y ∈ R.
Chú ý 1.2.1. +) h(x) là đạo hàm riêng của h theo biến x; h
xx
, h
yy
, h
xy
, h
yx
là đạo hàm riêng cấp hai của h.
+) C
2
(D) là không gian các hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm h : D −→ R gọi là hàm điều hòa trên D nếu
h ∈ C
2
(D) và h
xx

1
sin φ
m−2
.
x
2
= r cos φ
0
sin φ
1
sin φ
m−2
.
x
3
= r cos φ
1
sin φ
2
sin φ
m−2
.
.
.
.
x
k
= r cos φ
k−2
sin φ

∂r
.r
m−1
.
∂
∂r
+
1
r
2
.∆
x
0
.
Toán tử ∆
x
0
gọi là hình cầu và có dạng:
∆
x
0
:=
m−2

i=0
1
Π
∂
∂φ
i

Đặc biệt với m = 2 nghĩa là:
∆ =
1
r
.
∂
∂r
.r.
∂
∂r
+
1
r
2
.
∂
2
∂φ
2
.
Ta có hàm H ∈ D

(G) gọi là điều hòa nếu có phương trình:
∆H = 0.
Sau đây là một vài ví dụ về hàm điều hòa, hàm không điều hòa.
Ví dụ 1.2.1. a) h(z) = |z|
2
= x
2
+y




−|x|
2−m
nếu m  3
log |z| nếu m = 2.
Suy ra ε
m
(x) là hàm điều hòa với |x| = 0.
Tập θ
m
:=



(m − 2)σ
m
nếu m  3
2π nếu m = 2.
Trong đó mặt cầu xác định trên R.
Ta xét tập D(G) bao gồm các hàm khả vi vô hạn và D

(G) - không gian
các hàm khả vi có giá compact trên R.
Định lý 1.2.2. Cho hàm ε
m
(x, y) xác định trên D

(R

|x

1
− x

2
|.
Trong đó M phụ thuộc duy nhất ∂Ω và không phụ thuộc vào bộ phận địa
phương này.
Cho G(x, y, Ω) là hàm Green của một miền Lipschitz Ω.
Ta đã biết hàm Green có những tính chất sau.
1) G(x, y, Ω) > 0, cho (x, y) ∈ Ω × Ω; G(x, y, Ω) = 0 cho (x, y) ∈ Ω × ∂Ω.
2) G(x, y, •) = G(y, x, •).
3) G(x, y, •) − ε
m
(x − y) = H(x, y).
H là hàm điều hòa trên x và y trong Ω.
4) −G(x, y, Ω
1
)  −G(x, y, Ω
2
) cho Ω
1
⊂ Ω
2
.
Định lý 1.2.3 (Hàm Green). Đẳng thức:
∆
x
G(x, y, Ω) = θ

∂Ω
f(y).
∂
∂n
.G(x, y, Ω)ds
y
+

Ω
G(x, y, Ω)p(y)dy. (1.2.10)
Cho D là một miền mở tùy ý. Ta định nghĩa G(x, y, D) theo cách sau:
Xét dãy Ω
n
của một miền Lipschitz sao cho Ω
n
↑ D. Dãy các hàm Green
G(x, y, Ω
n
) đơn điệu giảm. Nếu nó bị chặn dưới bởi điểm nào đó thì nó
bị chặn khắp nơi với x = y. Ta sẽ sử dụng chủ yếu hàm Green cho miền
Lipschitz.
Cho G(x, y, K
a,R
) là hàm Green trên hình cầu K
a,R
= {|x − a| < R.
Định lý 1.2.4 (Hàm Green trên hình cầu). Hàm:
G(x, y, K
a,R
) =

= a + (y − a)
R
2
|y − a|
2
là phép nghịch đảo của y tương đối tới
hình cầu {|x − a| = R}.
Định lý 1.2.5 (Tích phân Poison). Cho H là hàm điều hòa trên K
a,R
và
liên tục trên tập đóng. Khi đó:
H(x) =
1
σ
m
R

|x−y|=R
H(y)
R
2
− |x − a|
2
|x − y|
m
ds
y
, x ∈ K(a, R). (1.2.11)
Đặc biệt với m = 2
H(a + re

y
. (1.2.12)
Trong đó x ∈ G và lấy R sao cho K(x, R)  G.
Ta lấy duy nhất tập a := x trong (1.2.11).
14
Ta có thể viết (1.2.12) ở dạng
H(x) =
1
σ
m

|y|=1
H(x + R
y
)ds
y
.
Định lý 1.2.7 (Harnack). Giả sử họ {h
α
}, α ∈ A của hàm điều hòa thỏa
mãn điều kiện:
1) H
α
(x)  C(K) cho x ∈ K.
2) H
α
(x
0
)  B > −∞, x
0

k
→ H
2
trên mỗi tập compact K  G.
Bằng tính chất hội tụ H
1
k
→ H
1
và H
2
k
→ H
2
trên D

. Do đó H
1
= H
2
trên D

(G). Suy ra H
1
= H
2
hầu khắp nơi và do đó là hàm liên tục.
Cho D là một miền với biên ∂D trơn và cho F ⊂ ∂D.
Tập:
ω(x, F, D) :=

ω(x, F, D) + A
2
ω(x, ∂DF, D), với x ∈ D.
Cho y
∗
a,R
là phép nghịch đảo từ hàm Green cho hình cầu từ Định lý (1.2.4).
Tập y
∗
:= y
∗
0,1
. Nghĩa là phép nghịch đảo tương đối đến hình cầu đơn vị
với tâm O.
Cho G
∗
:= {y
∗
: y ∈ G} là phép nghịch đảo của mỗi miền D.
Định lý 1.2.10 (Phép biến đổi Kelvin). Nếu H là hàm điều hòa trên G thì:
H
∗
(y) := |y|
2−m
.H(y
∗
) (1.2.13)
là điều hòa trên G
∗
.

0
) là hình
cầu nói chung S
1
, H(x) là một đa thức điều hòa thuần nhất của độ k và
H
∗
là điều hòa trên R
m
{0}.
Định lý 1.2.12 (Thác triển hàm điều hòa). Cho H(x) là một hàm điều
hòa trên hình cầu K
R
:= {|x| < R}, tồn tại hệ tọa độ trực chuẩn của hàm
hình cầu, Y
k
(x
0
), k = 0, ∞ tùy vào H sao cho:
H(x) =
∞

k=0
C
k
Y
k
(x
0
).|x|

−ρ
max
|x|=R
H(x) < +∞. (1.2.17)
Khi đó H là hàm đa thức của độ q  ρ.
Chứng minh. Có thể giả sử H(0) = 0, vì H(x) − H(0) là hàm điều hòa
thỏa mãn (1.2.17).
Cho R
n
→ ∞ là dãy theo đó:
R
−ρ
n
max
|x|=R
n
H(x)  const < ∞. (1.2.18)
Từ (1.2.16) ta có:
|C
k
|  A
k
R
−k

S
1
|H(Rx
0
)|ds

0
)|ds
x
0
= 2

S
1
H
+
(Rx
0
)ds
x
0
 2σ
m
max
|x|=R
H(x). (1.2.20)
Từ (1.2.19) và (1.2.20) ta có:
|C
k
|  2A
k
R
−k
σ
m
max

dz
m
.
2) f chỉnh hình tại z nếu f khả vi phức trong lân cận của z.
Định lý 1.3.1. Cho D là miền trên C, nếu f là hàm chỉnh hình trên D
thì h = ref là hàm điều hòa trên D.
Chứng minh. Ta giả sử f(z) = h(x, y) + ik(x, y).
Do f là hàm chỉnh hình trên D nên f là C- khả vi trên lân cận z, ∀z ∈ D.
Khi đó f thỏa mãn điều kiện Cauchy- Riemann tại z
0
, ∀z
0
∈ D.



h
x
= k
y
h
y
= −k
x
.
Do ref = h(x, y). Ta xét:
h
xx
+ h
yy

Vì thế nếu f tồn tại thì nó là đạo hàm thứ nhất của h và do đó nó là hằng
số duy nhất.
Từ (1.3.21) ta xây dựng hàm f định nghĩa g = h
y
− ih
y
. Thì g ∈ C(D) và
g thỏa mãn điều kiện Cauchy- Riemann bởi vì h
xx
= −h
yy
(h là hàm điều
hòa) và h
xy
= h
yx
. Do đó g là hàm chỉnh hình trên D.
Bây giờ cố định z
0
∈ D và định nghĩa f để được:
f(z) = h(z
0
) +
z

z
0
g(z)dz
với tích phân trên D, z → z
0

y
= h
y
.
Từ đó h =
˜
h là không đổi và h và
˜
h tại z
0
.
Hệ quả 1.3.1. Nếu h là một hàm điều hòa trên một miền D thì f ∈
C
∞
(D).
µ
t
(x, t) = v

(t)w(x); ∆µ(x, t) = v(t)∆w(x).
Từ đó:
0 = µ
t
(x, t) − ∆µ(x, t) = v

(t)w(x) − v(t)∆w(x)
khi và chỉ khi
v

(t)



−∆w = λw trong U
w = 0 trên ∂U.
Ta gọi hàm w là hàm riêng tương ứng, ta đặt µ = −λ để tìm
µ = −de
−λt
w (1.3.25)
Thỏa mãn:



µ
t
− ∆µ = 0 trong U × (0, ∞)
µ = 0 trên ∂U × (0, ∞).
(1.3.26)
Với điều kiện ban đầu µ(., 0) = dw, do đó hàm µ được xác định bởi (1.3.25)
thỏa mãn (??), với điều kiện g = dw. Tổng quát hơn nếu λ
1
, λ
2
, , λ
n
là
các giá trị riêng w
1
, , w
n
là các hàm riêng tương ứng, và d

∞

k=1
d
k
w
k
= g (1.3.28)
trong U. Với các hằng số d
1
, d
2
, khi đó
µ =
n

k−1
d
k
e
λ
t
k
w
k
(1.3.29)
20
sẽ là nghiệm của bài toán (??). Đây là một công thức biểu diễn nghiệm
rất đẹp, nhưng nó dựa vào khả năng tìm các giá trị riêng, các hàm riêng,
và các hằng số thỏa mãn (1.3.28). Chuỗi (??) hội tụ theo một nghĩa thích

Một hàm u(x) gọi là điều hòa dưới nếu nó là hàm nửa liên tục trên khác
−∞ và bất kỳ x ∈ D, ∃ = (x) sao cho bất đẳng thức:
u(x)  M(x, r, u)
đúng với tất cả r < .
Lớp các hàm điều hòa dưới trong D được ký hiệu là SH(D).
Ví dụ 2.1.1. Hàm u(x) := − | x |
2−m
, x ∈ R
m
.
u(x) ∈ SH(R
m
), cho m  3 và hàm u(z) := log | z |, z ∈ R
2
là điều hòa
dưới trên R
2
.
Ví dụ 2.1.2. Cho f(z) là hàm chỉnh hình trong miền phẳng D. Khi đó
log | f(z) |∈ SH(D).
22
Ví dụ 2.1.3. Cho f = f(z
1
, z
2
, , z
m
) là một hàm chỉnh hình của z =
z(z
1

2.1.2 Tính chất cơ bản
Định lý 2.1.1. Hàm điều hòa dưới có các tính chất cơ bản sau:
1) Nếu u ∈ SH(D) thì c.u ∈ SH(D), c là hằng số, c  0.
2) Nếu u
1
, u
2
∈ SH(D) thì u
1
+ u
2
∈ SH(D) và max[u
1
, u
2
] ∈ SH(D).
3) Giả sử u
n
∈ SH(D), n = 1, 2, là dãy hội tụ đến u và đơn điệu giảm
hoặc đều trên mỗi tập compact D. Khi đó u ∈ SH(D).
4) Giả sử u(x, y) ∈ SH(D
1
), ∀y ∈ D
2
và là hàm nửa liên tục trên D
1
×D
2
.
Cho µ là một độ đo trên D

y∈D
u(y), x ∈ D.
Nghĩa là cực đại không đạt được trong miền D.
Cho K  D là tập compact với phần trong K
0
khác rỗng và cho f
n
là dãy
hàm giảm, liên tục trên K, dần tới u ∈ SH(D). Dãy này tồn tại theo tiêu
chuẩn thứ hai của hàm nửa liên tục.
Xét dãy {H(x, u
n
)} của hàm điều hòa trên K
0
và H|
∂K
= f
n
.
23
Dãy hội tụ đơn điệu tới hàm điều hòa H(x) trong K
0
.
Từ Định lý (2.1.1) giới hạn này phụ thuộc duy nhất vào u. Nghĩa là nó
không phụ thuộc vào dãy f
n
. Hàm điều hòa H(x) := H(x, u, K) là hàm
trội điều hòa ít nhất của u trong K.
Định lý 2.1.3. Cho u ∈ SH(D). Khi đó với bất kỳ K  D, u(x) 
H(x, u, K), x ∈ K.

K
x,r
u(y)dy.
Trong đó ω
m
là thể tích hình cầu K
O,1
.
Định lý 2.1.4 (Tính chất giá trị trung bình). Các tính chất sau đúng:
1) M(x, r, u) và N(x, r, u) không giảm, đơn điệu.
2) u(x)  N(x, •)  M(x, •).
3) lim
r→0
M(x, r, u) = lim
r→0
N(x, r, u) = u(x).
Chứng minh. 1) Chọn m = 2, ta có:
M(z
0
, | z |, u) =
1
2π
2π

0
u(z
0
+ ze
iφ
)dφ.

, |z|, u)
= M(z
0
, r
2
, u).
Cho r
1
< r
2
.
Tính đơn điệu của N(x, r, u) theo sau từ bất đẳng thức:
N(x, r, u) = m
1

0
S
m−1
M(x, rS
u
)dS (2.1.2)
và đơn điệu của M(x, u, r).
2) Hiển nhiên từ định nghĩa của hàm điều hòa dưới và (2.1.2).
3) Cho M(u, x, r) định nghĩa bởi:
M(u, x, r) := sup{u(x

) : |x − x

| < r, x
