Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian 2
A. Tóm tắt lý thuyết 2
B. Bài tập 4
Chủ đề 2. Tích có hướng 6
A. Tóm tắt lý thuyết 6
B. Bài tập 7
Chủ đề 3. Phương trình mặt phẳng 8
1. Tóm tắt lý thuyết 8
2. Các ví dụ 12
3. Bài tập 13
Chủ đề 4. Phương trình đường thẳng 16
A. Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ 16
B. Bài tập 21
Bài tập tổng hợp về mặt phẳng và đường thẳng 23
Tổng kết về khoảng cách và góc 26
Chủ đề 5. Phương trìõnh mặt cầu 29
A. Phương trình mặt cầu 29
B. Bài tập về mặt cầu 29
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
đơn vị trên ba trục
Ox
,
Oy
,
Oz
.
Ta có
i j k 1
,
i.j j.k k.i 0
.
⃗
i
x
O
y
z
⃗
j
⃗
k
2. Tọa độ của một véc-tơ, một điểm
Tọa độ của một véc-tơ:
;
M
,
N
là hình chiếu
của
H
lên
Ox
,
Oy
.
+) Ta có:
u OM;ON;OP
.
H
Tính chất: Cho các véc-tơ
1 1 1 1
u x ;y ;z
,
.
☞
1 2 1 2 1 2 1 2
u u x x ;y y ;z z
.
☞
1 1 1 1
ku kx ;ky ;kz
.
☞ Giả sử
2
u 0
, ta có:
1 2
OM
M x;y;z
OM xi yj zk
.
Tọa độ của véc-tơ
AB
:
A A A
A x y; ;
z
,
B
B
B
B x y; ;
z
x
y
z
.
☞
G
là trọng tâm tam giác
ABC
x x x
A B C
G
3
y y y
A B BC
x x x x
A B C D
G
4
y y y y
A B C D
G
4
z z z z
A B C D
G
4
x
y
z
.
☞
2
2 2 2
1 1 1 1 1
u u x y z
.
Hệ quả:
A A A
A x y; ;
z
,
B
B
B
B x y; ;
z
2 2
B A B A B A
2
AB x x y y z z
u u
1 2
u .u 0
1 2 1 2 1 2
x x y y z z 0
.
B. Bài tập
Bài 1. Cho
A 2;3; 1
. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của
A
lên các mặt phẳng tọa
độ và các trục tọa độ.
Bài 2. Cho
b 0;1; 1
,
c 1; 2;4
. Tìm tọa độ các véc-tơ
u
,
v
biết rằng
1)
u 2a 3b 4c
.
2)
2
3
u 4a b 5c
.
Bài 4. Cho các bộ điểm
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
5
Hỏi trong các bộ điểm nói trên, bộ điểm nào thẳng hàng, bộ điểm nào tạo thành một tam
giác?
Bài 5. Cho các điểm
A 1;3; 4
,
B 5;0;5
,
C 1;2; 1
,
D 1; 1;2
.
1) Chứng tỏ rẳng ba điểm
A
,
B
2) Tìm tọa độ điểm
D
sao cho
ABCD
là hình bình hành.
Bài 7. Cho tam giác
ABC
với
A 11;8;4
,
B 1; 7; 1
,
C 9; 2;4
. Hãy chứng tỏ
tam giác vng và tính diện tích của nó.
Bài 8. Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D'
có
A 4;1; 2
,
OC' 4i 5j 5k
. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 10.
1) Trên trục
Oy
, tìm điểm
M
cách đều hai điểm
A 3;1;0
,
B 2;4;1
.
2) Trên mặt phẳng
Oxz
, tìm tọa độ điểm
N
cách đều ba điểm
A 1;1;1
,
B 1;1;0
ABCD
với
A 1;0;0
,
B 0;1;0
,
C 0;0;1
,
D 2;1; 1
.
1) Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện.
2) Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
AB
,
CD
. Tìm tọa độ trung điểm
G
B 5;1; 2
,
C 7;9;1
. Biết phân giác trong
góc
A
cắt
BC
tại
D
. Tìm tọa độ điểm
D
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
6
Bài 15. Cho tam giác
ABC
với
và
v
là:
y z z x x y
u, v ; ; yz' y'z;zx' z'x;xy' x'y
y z z x x y
.
2. Tính chất
1) Tích có hướng vng góc với các véc-tơ thành phần:
u, v u
,
u, v v
AB,AC .AD 0
.
2) Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ:
u
,
v
,
w
đồng phẳng
u,v .w 0
.
Chú ý: biểu thức
u,v .w
được gọi là tích hồn tạp của ba véc-tơ
.
3) Thể tích khối hộp
ABCD.A'B'C'D'
:
V AB, AD .AA'
.
4) Thể tích khối tứ diện
ABCD
:
1
V AC, AB .AD
6
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
c
khơng đồng phẳng.
Hãy biểu diễn
d 4;12;3
qua
a
,
b
,
c
.
Bài 2. Cho
A 1;2; 3
,
B(2;4;7)
,
C 0;2; 4
n
.
Bài 3. Cho tứ diện
A
,
B
,
C
,
D
với
A 2;3;1
,
B 1;1; 2
,
C 2;1;0
,
D 0; 1;2
.
1) Tính
B 1;0;2
,
C 1;1;0
,
D 2;1; 2
.
1) Chứng minh
A
,
B
,
C
,
D
khơng đồng phẳng.
2) Tính độ dài đường cao kẻ từ
A
của tam giác
ABC
và bán kính đường tròn nội tiếp của
tam giác đó.
3) Tính góc
Véc-tơ
n 0
được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
nếu
n
có giá vng
góc với
P
. Ký hiệu
n P
hoặc
P n
.
Chú ý:
n P
.
☞ Hai véc-tơ pháp tuyến của cùng một mặt phẳng ln cùng phương với nhau:
1
2
n P
n P
1 2
n / /n
.
Véc-tơ
u 0
1
2
2 1
u / / P
u 0
u / /u
2
u / / P
.
☞ Hai véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng chưa chắc cùng phương với
nhau.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
.
☞ Véc-tơ khác
0
, vng góc với véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng là véc-tơ
chỉ phương của mặt phẳng ấy.
n P
u 0
u n
u / / P
n P
.
Từ đây suy ra: tích có hướng của hai véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng là véc-tơ
pháp tuyến của mặt phẳng ấy:
1
2
u / / P
u / / P
b. Phương trình tổng quát của mặt
phẳng
Xét bài toán: lập phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
0 0 0 0
M x ;y ;z
, nhận véc-tơ
n A;B;C
làm véc-tơ chỉ phương.
Lời giải: Xét điểm
M x;y;z
. Ta có
0 0 0 0
M M x x ;y y ;z z
.
0 0 0
P :A x x B y y C z z 0
hay
P :Ax By Cz D 0
(
0 0 0
D Ax By Cz
).
Kết luận:
☞ Mỗi mặt phẳng trong khơng gian đều có phương trình dạng:
Ax By Cz D 0
(phương trình tổng qt của mặt phẳng),
trong đó
A
,
B
P
có dạng
By Cz D 0
(
2 2
B C 0
).
P Oy
phương trình của
P
có dạng
Ax Cz D 0
(
2 2
A C 0
).
P Oz
).
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
11
☞ Phương trình dạng mặt chắn
P
đi qua
A a;0;0
,
B 0;b;0
,
C 0;0;c
(
a
,
b
,
A';B';C'
khơng tỷ lệ, tức là khơng tồn tại
t
sao cho
A tA'
B tB'
C tC'
.
☞ Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi hai bộ số
A;B;C
,
A';B';C'
tỷ lệ và hai bộ số
A';B';C';D'
tỷ lệ, tức là tồn tại
t
sao cho
A tA'
B tB'
C tC'
D tD'
.
e. Khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng
* Cho điểm
0 0 0
A x y ;
z
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
12
2 2 2
| D D'|
d P , Q
A B C
.
2. Các ví dụ
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng
P
biết rằng
1)
B 2;10; 7
,
C 5;9; 12
.
3)
P
đi qua
A 1;4;6
và vng góc với trục
Oz
.
4)
P
đi qua
M 2;5;7
và song song với
đi qua
A 4;2;5
,
B 3; 3;2
và nhận
u 4; 1;9
là véc-tơ chỉ phương.
7)
P
đi qua
1
2
A 4; 2;
,
B 2; 1;0
và song song với
B 1;2; 3
,
C 0 ; 2;1
.
10)
P
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
với
A 3;1; 4
,
B 3;0; 5
.
11)
P
A 4;9;11
và chứa
Ox
.
3. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng
P
biết rằng
1)
P
đi qua
M 2; 1;2
, song song với
Oy
và vng góc với mặt phẳng
Q : 2x y 3z 4 0
,
N 1; 2;1
và vng góc với mặt phẳng
Q : 2x y z 7 0
.
4)
P
đi qua
M 1;0;1
,
N 5;2;3
và vng góc với đường thẳng
AB
biết rằng
A 2;0; 1
và
: x y z 3 0
,
: 3x y 5z 1 0
và song song với mặt phẳng
: x y 2z 3 0
.
7)
P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 3x y z 2 0
,
: x 4y 5 0
và vng góc với mặt phẳng
. Tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng
P
,
Q
.
2)
P
có khoảng cách đến
Q : 3x 4y z 5 0
bằng
3
.
3)
P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
Q : 2x y 0
P
.
2) Tìm tọa độ
M'
đối xứng với
M
qua
P
.
Đáp số: 1)
13
4 47
7 7 7
H ; ;
. 2)
6 52
2
7 7 7
M' ; ;
.
Bài 3. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng sau đây
1)
Q : 3x 2x z 0
.
4)
P :3x y 4 0
và
3
1
2 2
Q : x y 2 0
.
5)
P :3x y 4 0
và
3
1
2 2
2)
P :2x y mz 2 0
và
Q : x ny 2z 8 0
.
Bài 5. Cho
P :2x my 3z 6 m 0
và
Q : m 3 x 2y 5m 1 z 10 0
. Với
giá trị nào của
m
thì
1) Hai mặt phẳng đó song song.
.
2)
P :2x y 2z 1 0
,
Q :6x 3y 2z 2 0
.
3)
P :x 2y z 1 0
,
Q : x 2y z 5 0
.
Đáp số: 1)
Bài 7. Tìm điểm
M Oz
trong các trường hợp sau
1)
,
OC
đơi một vng góc,
OA a
,
OB b
,
OC c
. Tính độ dài đường cao kẻ từ
O
của tứ diện.
Đáp số:
abc
2 2 2 2 2 2
b c c a a b
.
Bài 9. Cho hình lập phương
ABCD.A'B'C'D'
cạnh
a
. Trên các cạnh
AA'
,
BC
,
C'D'
OA
,
OB
,
OC
đơi một vng góc. Gọi
,
,
là góc giữa các mặt
OBC
,
OCA
,
OAB
với mặt
ABC
. Bằng phương pháp tọa độ
hãy chứng minh:
Chủ đề 4. Phương trình đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ
1. Phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng
d
đi qua điểm
0 0 0 0
M x y
;
z
; và có véctơ chỉ phương
u a;b;c
. Ta có
Phương trình tham số của
d
là
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
B B B
B x ;y ;z
(
A B
x x
,
A B
y y
,
A B
z z
) là
A A A
y
x x
y z z
B
y y z z
x
B
x
A A B A
.
Ví dụ 1. Viết phương trình tham số đường thẳng
d
trong các trường hợp sau
1)
và song song với đường thẳng
y 3
x 1 z 1
2 4 2
d':
.
4)
d
đi qua điểm
M 2;0;1
và song song với trục
Ox
.
5)
d
đi qua điểm
2
3
M ;0; 1
và vng góc với mặt phẳng tọa độ
xOy
.
,
Q : 5x 6y 7z 7 0
.
Giải
1) Phương trình tham số của
d
là
t
2
x 2 t
y 3
z 4
.
2) Phương trình chính chắc của
d
là
x 4 y 5
1
1
.
1
sai
M d'
tồn
tại đường thẳng
d
qua
M
, song song với
d'
.
4)
d'
nhận
u 2;4; 2
y 7 2t
z 9 t
.
5)
d / /Ox
d
nhận véc-tơ
i 1;0;0
làm véc-tơ chỉ phương
phương trình tham số của
d
là
x 2 t
y 0
z 1
phương trình tham số của
d
là
2
3
x
y 0
z 1 t
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
18
7) Thay
x 1
M 1;1;2 d 1
.
P
P n 1;1;0
,
Q
Q n 2;3;1
.
d P Q
z 2 t
.
8) Dễ thấy
M P
,
M Q
nên tồn tại mặt phẳng đi qua
M
, song song với cả
P
và
Q
.
n ,n 34; 12; 14
làm
véc-tơ chỉ phương.
P Q
n ,n / / 17; 6; 7
17; 6; 7
cũng là một véc-tơ chỉ phương của
d
phương trình tham số của
d
là
x 2 17t
x 2 2t
y 3 t
z 4
.
Ví dụ 2. Cho
x 2 5t
d : y 2 t
z 3
. Tìm điểm
M
biết rằng
1)
M d
N 0;2; 5
qua
d
.
5)
M d
,
M
cách đều hai mặt phẳng tọa độ
xOy
và
yOz
.
Giải
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
19
1)
M d
5
M 1; ;3
.
2)
M d
tọa độ
M
có dạng
M 2 5t;2 t;3
.
M
có hồnh độ bằng tung độ
2 5t 2 t
2
3
t
MA.u 0
1 5 5t 2 2 t 3.4 0
21 3t 0
t 7
M 33; 5;3
.
1
tọa độ
I
có dạng
I 2 5t;2 t;3
.
Ta có
NI 2 5t;t; 8
. Do đó
2
5 2 5t 1.t 0. 8 0
x 2x x
x 2x x
x 2x x 8
2 24
13 13
M ; ; 8
.
5)
M d
tọa độ
M
d M, xOy d M, yOz
3 2 5t
3 2 5t
3 2 5t
1
5
t 1
u
là một véc-tơ chỉ phương và đường thẳng
d'
đi qua
0
M'
, nhận
u'
là một véc-tơ chỉ phương. Ta có các tiêu chuẩn sau đây để xét vị trí tương đối
giữa
d
và
d'
.
☞
d
và
d'
trùng nhau
u
,
u'
và
0 0
0 0
u,u' 0
u,M M' 0
.
☞
d
và
d'
cắt nhau
.
☞
d
và
d'
chéo nhau
u
và
u'
khơng đồng phẳng
0 0
u,u' .M M' 0
.
Ví dụ 3. Biện luận theo
m
vị trí tương đối của hai đường thẳng
m
x 1 mt
0
M 1;m;1 m
,
/ / u m;2; 3
và
m
d
đi qua
0
M' m;0;1 m
,
/ / u' 2;m;1
.
Ta thấy
2
0 0
1
4
m 2
m
.
Vậy
*
0 0
u,u' .M M' 0
1
4
m 2
m
và
u'
khơng cùng phương
m
d
và
m
d
cắt nhau.
*
1
4
m
:
1
4
u ;2; 3
,
1
4
và nhận
u
làm véc-tơ chỉ
phương được tính bởi cơng thức
M M,u
0
u
d M;d
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
21
Cho hai đường thẳng chéo nhau
d
và
d'
. Biết
d
đi qua
B. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tham số đường thẳng
d
trong các trường hợp sau
1)
d
đi qua điểm
M 3;5;1
và nhận
6
5
u 1; ;7
là véc-tơ chỉ phương.
2)
M 2;13;5
và song song với trục
Oz
.
5)
d
đi qua điểm
2
7
M ; 2;2
và vng góc với mặt phẳng tọa độ
yOz
.
6)
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
P :3x 2y 5z 1 0
,
Q : x 3y z 2
.
d
. Tìm điểm
M
biết rằng
1)
M d
,
M
có hồnh độ bằng
3
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
22
2)
M d
,
M
có hồnh độ bằng hai lần tung độ.
cách đều hai mặt phẳng tọa độ
xOy
và
yOz
.
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng
P
biết
1)
P
đi qua điểm
M 2;5; 7
và song song với các đường thẳng
x 4t
d : y 1 t
z 3 2t
.
Bài 4. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
d
và
d'
trong các trường hợp sau
1)
z 3
x 1
2 4
d : y 7
,
y 1
x 3
z 2
6 2 1
d':
.
2)
x t
x 2 z 1
1 2 2
:
.
2) Tính khoảng cách từ
N 2;3; 1
đến đường thẳng
đi qua điểm
3
1
2 2
M ;0;
và nhận
u 4;2; 1
làm véc-tơ chỉ phương.
Bài 1. Cho các cặp đường thẳng sau
1)
1
x 2 2t
d : y 1 t
z 1
và
2
x 1
d : y 1 t'
z 3 t'
.
2)
1
và
2
x 0
d : y 2 2t
z 8 3t
.
4)
1
2x 2z 2 0
d :
y 3 0
,
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
24
Với mỗi cặp đường thẳng nói trên, hãy
a) Chứng minh rằng
1
d
và
2
d
chéo nhau.
b) Tính góc và khoảng cách giữa
1
d
và
2
d
.
c) Viết phương trình mặt phẳng
A 1; 2;1
và cắt cả
1
d
và
2
d
Bài 2. Cho
1)
y 1
x z 2
1 2 1
d :
và
P :x 3y 2z 2 0
.
2)
y 1
x 2 z 1
x 3
2
d : y 1 z 3
và
P :x 2y z 5 0
.
5)
3x y 4z 27 0
d :
6x 3y z 7 0
và
P :2x 5y z 17 0
.
6)
2x y z 1 0
d :
x 2y z 3 0
x 3 z 3
2 1 1
d :
và
P :x 2y z 5 0
.
Trong mỗi trường hợp trên, hãy
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
25
a) Tìm tọa độ giao điểm
A
của
d
với
P
.
b) Tính góc giữa
P
.
e) Viết phương trình mặt phẳng
Q
chứa
d
và vng góc với
P
.
f) Viết phương trình hình chiếu vng góc
d'
của
d
lên
P
.
g) Viết phương trình dạng chính tắc của đường thẳng
qua điểm
M 2;4;4
, song song với
mặt phẳng
C 0;0;1
.
1) Tính độ dài đường cao
CH
của tam giác
ABC
và tính diện tích tam giác đó.
2) Tính thể tích tứ diện
OABC
(
O
là gốc tọa độ).
Bài 4. Cho hình lập phương
ABCD.A'B'C'D'
với
A 0;0;0
,
B 1;0;0
,
D 0;1;0
,
ABC
.
2) Gọi
d
là đường thẳng qua
C
và vng góc với mặt phẳng
ABC
. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng
d
với mặt phẳng
Oxy
.
Bài 6. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi,
AC
cắt
BD
tại gốc tọa độ
O
. Biết
A(2;0;0)
Copyright: Tài liệu đại học ©