Tóm Tắt Lý Thuyết
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 1
2 2
3 3
1 1 2
1. ( , , )
2.
3. , , a , , , b , ,
4. k.a , ,
5. a
6. a
7. a. .
= − − −
= = − + − + −
± = ± ± ± = =
=
= + +
=


= ⇔ =



10. [a, ] , ,
+
⇔ = ⇔ = =
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
 
=
 ÷
 
r r r r
r r r r
r r
b a b
aa a
cp b a k b
b b b
b a b a b a b a b
a a a a
a a
b
b b b b
b b
* Cách tính: (Che cột thứ 1, che cột thứ 2 ra kết quả nhớ đổi dấu, che cột thứ 3)
11. M là trung điểm AB

, ,
2 2 2
+ + +
 
 ÷
 

17.
1
[ , ].
6
=
uuur uuur uuur
ABCD
V AB AC AD
18.
/ / / /
/
.
[ , ].=
uuuur
uuur uuur
ABCD A B C D
V AB AD AA
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG
GIAN
Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

→→
AC,AB
khơng cùng phương.

• S

n BC BD
n BC
vtpt
n BD


 

⇒ =
⊥
 
 


⊥



r uuur uuur
r uuur
r uuur
+ Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) và cm
( )A BCD∉
• V
ABCD
=
1
6
[AB,AC].AD
→ → →

 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vng góc (α) : ta có
( )
α
=
uur r
d
a n
 H = d
∩
(α)
+ Gọi H (theo t)

∈
d

+ H
∈
(α)
⇒
t = ?
⇒
tọa độ H
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
 d có vtcp
?=
uur
d
a
 Gọi H (theo t)


2
2

= −

⇒ = −


= −

H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z
2. Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
 Tìm hình chiếu H của M trên d ( dạng 4.2)
 M
/
đối xứng với M qua d
⇔
H là trung điểm của MM
/


r
là véctơ pháp tuyến của (α) khi giá của
n
r
vng góc với mp(α).
2). Cho hai véc-tơ khơng cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong mp(α)

uur
a
= (a
1
; a
2
; a
3
) ,

uur
b
= (b
1
; b
2
; b
3
). Khi đó:
,
 
=
 

5). Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7). Vị trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :
°
α β
⇔ ≠
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) : : : :cắt A B C A B C
°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) // ( )
α β
⇔ = = ≠
A B C D
A B C D
°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
α β
≡ ⇔ = = =
A B C D
A B C D
°
1 2 1 2 1 2

=
r r
r r
n n
n n
cos(( ,( )
Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Tìm tọa độ
→
AB
,
→
AC

° (ABC):


 

⇒ =
⊥
 
 


⊥




( ) :
....( )
α
α


→

⊥


=
uuur
r
ABn
quaM
Vì d nên vtpt a
d
Dạng 4: Mp(
α
) qua M và // (
β
): Ax + By + Cz + D = 0
°
( ) :
) )
( ) ( )
α
α β
α β

d
d
n a a
Dạng 6 : Mp(
α
) qua M, N và
⊥
(
β
) :
°
( ) :
[ , ]
α
β


→

=


r r
MN
qua M (hay N)
vtptn n
Dạng 7: Mp(
α
) chứa d và đi qua A
° Lấy điểm M trên d

r
= (a
1
;a
2
;a
3
)
: (
= +


= + ∈


= +

¡
o 1
o 2
o 3
x x a t
d y y a t t )
z z a t
2).Phương trình chính tắc của d :
0
:
− −
= =
2 3

x + a t = x' + a' t'
y + a t = y' + a' t' (I)
z + a t = z' + a' t'
Quan hệ giữa
d
a
r
,
/
d
a
uur
Hệ (I) Vị trí giữa d , d
’
Cùng phương
Vơ số nghiệm
≡
'
d d
Vơ nghiệm
'
//d d
Khơng cùng phương
Có nghiệm d cắt d
’
Vơ nghiệm d , d
’
chéo nhau
4).Khoảng cách :
a). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng

α
∆ ∆ =
'
( , ) ( ,( ))d d M
5).Góc : d có vtcp
d
a
r
; d’ có vtcp
/
d
a
uur
; (α ) có vtpt
n


a). Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi
ϕ
là góc giữa d và d
’
/
/
.
(0 90 )
.
ϕ ϕ
= ≤ ≤
o o
uuur

≤ ≤
o o
Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: : Đường thẳng d đi qua A,B

( )
:



=


uur uuur
d
quaA hayB
d
Vtcp a AB
Dạng 2: Đường thẳng d qua A và song song
∆
:



∆ =

∆

r r
A

, N
’
của 2 điểm M, N lên mp tọa độ đó.
+
'
'
' '
:



=


uuuuuur
r
M
d
M N
'
qua
vtcp a
d
* Loại 2: Chiếu lên mặt phẳng ( α) bất kỳ
+ Viết pt mp(β) chứa d và vng góc mp(α)

( )
( )
( )
( )

+ d
’
là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β): d
/
= (α) ∩ (β)
° Lấy điểm M trên d
’
( điểm M trên d
’
có tọa độ là nghiệm của hệ
α
β



( )
( )
)
“Nhớ: Cho 1 thành phần bằng 0, tìm 2 thành phần còn lại
⇒ (?;?;?)M
”
°
'
( ) ( )
:
;
α β




r r r
A
d
d d
1
qua
vtcp a [ a , a ]
Dạng 6: Phương trình ∆ vng góc chung của d
1
và d
2
:
• Gọi ∆ là đường vng góc chung của d
1
và d
2
.
• Đưa phương trình của 2 đường thẳng d
1
và d
2
về dạng tham số.
• Tìm
1 2
,
uuur uuur
d d
a a
lần lượt là VTCP của d
1

d d
MN a MN a
MN a MN a
• Giài hệ tìm
'
?
?
t
t
=


=


⇒
tọa độ M,
uuuur
MN

•
:


∆

=


uuuur

)
∩
(
β
) với mp(α) chứa d
1
// ∆ ; mp(β) chứa d
2
// ∆
Dạng 9: Phương trình đường thẳng d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
:
d = AB với mp(α) qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩( α)
Dạng 10: Phương trình đường thẳng d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
:
d = (
α

Cho
( ) ( ) ( )
2
− + − + − = r
2 2 2
(S) : x a y b z c
và ( α) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,(α)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(α).
 d > r : (S) ∩ (α) =
∅
 d = r : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vng góc của tâm I trên mp(
α
) )
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
7
+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vng góc mp(α) : ta có
( )
α
=
uur r
d
a n
+ H = d
∩
(α)
 Gọi H (theo t)

∈
d

= −R r Id
+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vng góc của tâm I trên mp(α) )
3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

:
= +


= +


= +

o 1
o 2
o 3
x x a t
d y y a t
z z a t
(1) và
( ) ( ) ( )
2
− + − + − = r
2 2 2
(S) : x a y b z c
(2)
+ Thay ptts (1) vào phương trình mặt cầu (2)
⇒
giải tìm t =?
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm M(?;?;?)

+ + − − − + =
2 2 2
(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0

+ Thay tọa độ A, B, C, D vào ptmc (S) ta được hệ phương trình 4 pt 4 ẩn.
+ Giải hệ pt trên tìm a, b, c, d =? rồi thay vào ptmc và kết luận.
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
. .
( ) :
2 2 2
α



+ + +

= =


+ +

B y C z D
S
I I
A B C
tâm I
A.x
I
bk r d(I,( ))
 Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc (∆):

vtpt n IA
Dạng 8: Mặt phẳng( α ) tiếp xúc (S) và ⊥ ∆
+ Viết pt mp(α) vng góc ∆ :
( , , )
∆
= =
r uur
n a A B C
+ Mp(α) : Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D từ pt d(I , α ) = r
Dạng 9: Mặt phẳng (α) tiếp xúc (S) và // 2 đt d
1
,d
2
:
+ Tìm
1 2
,
uuur uuur
d d
a a
lần lượt là VTCP của d
1
và d
2.

+ Vtpt của (α):
1 2
[ , ]=
r uuur uuur

a) Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng
1 2
3
= −


= +


= −

x t
y t
z t
b) Qua A và song song với hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
9