Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
1

MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Ma trận ñược ứng dụng rộng rãi trong Toán học tính toán, Vật lý, Kinh tế
và nhiều ngành khoa học khác. Trong ðại số tuyến tính, ma trận là công cụ ñể
nghiên cứu ánh xạ tuyến tính. Chính vì vậy, ma trận và ánh xạ tuyến tính có liên
hệ chặt chẽ với nhau. Khi cho hai cơ sở của hai không gian vectơ thì một ánh xạ
tuyến tính giữa hai không gian ấy cho ta một ma trận, ngược lại một ma trận xác
ñịnh một ánh xạ tuyến tính duy nhất.
Các giá trị riêng và vectơ riêng của một ánh xạ tuyến tính ñược xác ñịnh
thông qua ma trận, do ñó những không gian con bất biến ứng với những giá trị
riêng cũng ñược xác ñịnh. Các giá trị riêng và vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính
là công cụ ñể ñưa ma trận về dạng ñơn giản hơn ñó là ma trận chéo. Giá trị riêng
và chéo hóa ma trận ñược khám phá ra năm 1926 bởi Augustin Luois Cauchy
trong quá trình ông tìm ra công thức ñơn giản hơn cho ñường bậc 2. Cauchy ñã
chứng minh ñịnh lý phổ dụng cho các ma trận tự liên hợp, ví dụ như mỗi ma trận
ñối xứng ñều chéo hóa ñược.
Khi cho ma trận của một tự ñồng cấu với một cơ sở nào ñó, ta muốn tìm
cơ sở mà ñối với ma trận của tự ñồng cấu ñã cho ở dạng “ñẹp nhất” – dạng chéo
thì khi ñó ta nói rằng ma trận ñã cho chéo hóa ñược. Nếu ma trận A chéo hóa
ñược thì việc nghiên cứu các tính chất (bảo toàn quan hệ ñồng dạng) của ma trận
A dẫn ñến việc nghiên cứu các tính chất ñó trên ma trận chéo và như vậy vấn ñề
sẽ trở nên ñơn giản hơn nhiều.
Ma trận chéo là một ma trận vuông mà các phần tử bằng không ngoại trừ
các phần tử trên ñường chéo chính. Việc ñưa một ma trận về ma trận chéo gọi là
chéo hóa ma trận. Ma trận chéo có ứng dụng rất quan trọng trong việc tính các
lũy thừa của ma trận vuông, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính ñồng thời cấp 1
với hệ số không ñổi, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi và
một số ứng dụng khác. Thông qua ma trận chéo mà việc giải nhiều bài toán trở

của khóa luận bao gồm có 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính.
1.2. Ma trận nghịch ñảo.
1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận ñồng dạng
1.4. Vectơ riêng - Giá trị riêng
Chương 2. Tính chéo hóa của ma trận
2.1. Tính chéo hóa của ma trận
2.2. Chéo hóa ñồng thời
2.3. ða thức các tự ñồng cấu, ña thức ma trận
2.4. Một số ví dụ
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
3

Chương 3. Một số ứng dụng của ma trận chéo
3.1. Tính các lũy thừa của một ma trận vuông
3.2. Xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi
3.3. Giải một số phương trình ma trận
3.4. ðưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
4

DANH MỤC KÝ HIỆU
~
A B
: Ma trận A ñồng dạng với ma trận B.
( )
n
D K
: Tập hợp các ma trận chéo cấp n trên trường K.

1
( , , )
m
e e
.
KGCR(
0
,
λ
f
): Không gian con riêng của tự ñồng cấu f liên kết với giá trị riêng
0
λ
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
5

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính,
ma trận nghịch ñảo, ma trận ñồng dạng Ngoài ra các khái niệm về vectơ riêng,
giá trị riêng và cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng cũng ñược nêu ra. ðây là
những kiến thức trọng tâm ñể chuẩn bị cho phần nội dung chính ở chương sau.
1.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
ðịnh nghĩa 1.1. Giả sử
V
và
W


(
ε ) ξ ξ ξ
(
ε ) ξ ξ ξ

(
ε ) ξ ξ ξ
m m
m m
n n n mn m
f a a a
f a a a
f a a a
= + + +
= + + +
= + + +
  

  

  

(1)
Ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2

j ij i
i
f a
=
=
∑


với mọi
{
}
1,2, ,
j n
∈
.
Chú ý: Vì
(
ξ
)
là cơ sở của
W

nên các thành phần
ij
a
ñược xác ñịnh duy nhất, do
ñó ma trận
A

ñược xác ñịnh duy nhất.


1 (
ε ) 0ε 0ε ε
V n
V n
V n n
= + + +
= + + +
= + + +
   
   
   

Do
ñó ma trận của
1
V
ñối với
(
ε)
là:
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
6

1 0 0
0 1 0

0 0 1
I
 

V
và
W

là hai
K
-không gian vectơ
dim ,dim
V n W m
= =
thì ñồng
cấu 0 có ma trận ñối với mọi cơ sở của
V
và
W

là ma trận
O
kiểu
( , )
m n
dưới
ñây :
0 0 0
0 0 0

0 0 0
O
 
 

( )
m n
M K

Mệnh ñề 1.1. Giả sử
V
và
W

là hai
K
-không gian vectơ và
(
)
{
}
1 2
ε ε ,ε , ,ε
n
=
  
,
(
)
{
}
1 2
ξ ξ ,ξ , ,ξ
m
=

ñược gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma
trận
( )
n
B M K
∈
sao cho
AB I BA
= =
.
B
ñược gọi là ma trận nghịch ñảo của
A
. Kí hiệu:
1
B A
−
=

ðịnh lí 1.2. Ma trận vuông
A
có ngh
ị
ch
ñả
o khi và ch
ỉ
khi
0.
A

K
, trong ñó chọn cơ sở
{
}
1 2
β ,β , ,β
m
(2) và
(
)
1 2
β ,β , ,β (2 )
m
′ ′ ′ ′

G
ọi A, B là ma trận của
f
ñối với cặp cơ sở (1), (2) và
(1),(2 )
′ ′
.
S, T là ma tr
ận chuyển cơ sở từ (1) sang
(1)
′
và (2) sang
(2 )
′
.

ả thiết
1
(
α ) β , 1, , .(3)
m
j ij i
i
f a j n
=
= =
∑1
(
α ) β , 1, , . (4)
m
j ij i
i
f b j n
=
′ ′
= =
∑1
α α , 1, , . (5)
n
j ij i

′
= = = =
     
     
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Mặt khác thay (6) vào (4):
1 1 1 1
(
α ) β β (**)
m m m m
j ij hi h hi ij h
i h i h
f b t t b
= = = =
   
′
= =
   
   
∑ ∑ ∑ ∑

Vì 1 vectơ biểu thị qua cơ sở là duy nhất
Từ (*) và (**) ta ñược
ij ij
1 1
n m
ki hi
i i
a s t b

W

Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
8

có cơ sở
(2 )
′
, với ma trận chuyển cơ sở là S, T. Khi ñó ma trận của
f
ñối với
cơ sở
(1 )
′
,
(2 )
′
là

1
B T AS
−
=
.

ðịnh nghĩa 1.3. Hai ma trận
A
và
B
ñược gọi là ñồng dạng nếu có một ma trận

nếu tồn tại một số
k K
∈
sao cho
(
α) α
f k
=
 
.
Số
k
ñược gọi là giá trị riêng của
f
ứng với vectơ riêng
α

.
Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của
f
là phổ của
f
, và kí hiệu
( )
K
Sp f
.
Nếu
A
là một ma trận của tự ñồng cấu

ñược gọi là một không gian con bất biến ñối với
f
nếu với mọi
α
W
∈

ta ñều có
(α)
f W
∈

.
Mệnh ñề 1.5. Giả sử
V
là một không gian vectơ, tập hợp gồm các vectơ
0

và
các vectơ riêng ứng với giá trị riêng
k
của tự ñồng cấu
:
f V V
→
là một
không gian con bất biến của
V
và ñược gọi là không gian riêng ứng với giá trị
riêng

vect
ơ

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
Nhận xét: Giả sử
dim
V n
=
, B là một cơ sở của V,
( )
f L V
∈
và
( )
B
A M f
=
là
ma trận của
f
ñối với cơ sở B. Khi ñó:
i,
λ
K
∈

λ )
v
Ker f Id
−
.
ðịnh nghĩa 1.6.

Giả sử ma trận của tự ñồng cấu
:
f V V
→
ñối với cơ sở
(
)
ε

là
11 12 1
21 22 2
1 2

n
n
n n nn
a a a
a a a
A

hay
1
0
( )
0
n
x
A kI
x
 
 
 
 
− =
 
 
 
 
 
 
⋮ ⋮

Nói cách khác
ij
1
n
j i
j
a x kx
=



+ + + =

(1)

11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) 0
( ) 0 ( ) 0
n n
n n
n n nn n
a k x a x a x
a x a k x a x
a x a x a k x
− + + + =


+ − + + =

⇔



+ + + − =

a a k a
A kI
a a a k
−
 
 
−
 
− =
 
 
−
 
ñược gọi là ma trận ñặc trưng, còn ña
thức
( 1)
n n
A kI k A
− = − + +

ñược gọi là ña thức ñặc trưng của tự ñồng cấu
f
.
Kí hiệu:
χ
A
là ña thức ñặc trưng của
A
.
CÁCH TÌM VECTƠ RIÊNG

( ) 0 ( ) 0
n n
n n
n n nn n
a k x a x a x
a x a k x a x
a x a x a k x
− + + + =


+ − + + =




+ + + − =

(**)
rồi giải hệ này. Mỗi nghiệm riêng của hệ là tọa ñộ của một vectơ riêng ứng với
giá trị riêng ấy. Không gian nghiệm của hệ (**) xác ñịnh không gian riêng ứng
với giá trị riêng vừa chọn.
Ví dụ 1.1. Cho phép biến ñổi tuyến tính
3 3
:f →
ℝ ℝ
có ma trận ñối với cơ sở
chính tắc là

−
hay
2
( 3)( 4 3) 0
k k k
+ − + =

Ta ñược
1 2 3
3, 1, 3.
k k k
= − = =

Với
1
3
k
= −
, hệ phương trình (**) là hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1 ( 3)) 2 2 0
(0 ( 3)) 3 0
3 (0 ( 3)) 0
x x x
x x x
x x x
− − + − =


ta ñược một nghiệm riêng
1
α (6, 7,5)
= −

.
Không gian bất biến gồm tất cả các vectơ có dạng
6 7
( , , )
5 5
c c c
−
hay
(6, 7,5)
5
c
−
. ðó là không gian sinh bởi
1
α

.
Với
2
1
k
=
, giải hệ
2 3
1 2 3

( 2,1,1)
= −

.
Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng
2
( 2,1,1)
α
c c
− =

.
Vậy không gian bất biến này sinh bởi
2
α

.
Với
3
3
k
=
, giải hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2 0
3 3 0
3 3 0
x x x

=

.
Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng
3
(0, , ) (0,1,1)
α
c c c c
= =

. Vậy không gian bất biến này sinh bởi
3
α

.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
12

Vì ba vectơ riêng
1
α

,
2
α

,
3
α


Tìm các giá trị riêng và với mỗi không gian con riêng tìm một cơ sở.

Giải. Giải phương trình
1 4 8
4 7 4 0
8 4 1
k
k
k
− − −
− − − =
− − −
hay
2
( 9) ( 9) 0
k k
− + =

ta ñược:
1 2 3
9, 9.
k k k
= − = =

Với
1
9
k
= −
, giải hệ

ủ
a h
ệ

ph
ươ
ng trình b
ằ
ng 2 nên không gian riêng
1
W
t
ươ
ng
ứ
ng (t
ứ
c là không gian
nghi
ệ
m) có
3
1
dim dim 2 1
W
= − =
ℝ
. Do
ñ
ó m

ơ
s
ở
.
V
ớ
i
2 3
9
k k
= =
, gi
ả
i h
ệ

1 2 3
1 2 3
1 2 3
8 4 8 0
4 2 4 0
8 4 8 0
x x x
x x x
x x x
− − − =


− − − =


a h
ệ

ph
ươ
ng trình này b
ằ
ng 1 nên không gian riêng t
ươ
ng
ứ
ng
2
W
(không gian
nghi
ệ
m) có
3
2
dim dim 1 2
W
= − =
ℝ
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
13

Một cơ sở của nó là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình.
Với

là m
ột cơ sở của
2
W
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
14

Chương 2
TÍNH CHÉO HÓA CỦA MA TRẬN

Chương này trình bày nội dung chính của ñề tài. Phần mở ñầu là một số
khái niệm về ma trận ñường chéo, ma trận chéo hóa ñược. Tiếp theo ñó là ñiều
kiện chéo hóa một ma trận và các bước cơ bản ñể chéo hóa một ma trận. Ngoài
ra, chéo hóa các ma trận ñối xứng và chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoán
các ma trận ñối xứng cũng ñược ñề cập ñến ở ñây. Cuối cùng là phần trình bày
về ña thức của tự ñồng cấu, ña thức của ma trận ñể nêu lên ñiều kiện cần và ñủ
ñể một ma trận chéo hóa ñược. Sau khi trình bày một vấn ñề thường có một vài
ví dụ minh họa cụ thể cho vấn ñề ñó.
2.1. Tính chéo hóa của ma trận
ðịnh nghĩa 2.1. Một ma trận vuông
( )
ij
A a
=
thuộ
c
( )
n
M K

= ≠
.
T
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n
ñườ
ng chéo c
ấ
p
n
v
ớ
i h
ệ
t
ử
trong
K
là
( )
n
D K
.
ðịnh nghĩa 2.2. Một ma trận vuông ñược gọi là chéo hóa ñược nếu nó ñồng
dạng với một ma trận chéo.
Ví dụ 2.1. Ma trận

1
1 1
2 1
T
−
− −
 
=
 
− −
 
. Ta có
1
B T AT
−
=
nên
~
A B
.
2.1.1. ðiều kiện ñể một ma trận chéo hóa ñược
ðịnh lí 2.1. Một ma trận vuông chéo hóa ñược khi và chỉ khi nó là ma trận của
một tự ñồng cấu có một hệ vectơ riêng là cơ sở của không gian.
Chứng minh
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
15

Coi
A
như ma trận của một tự ñồng cấu

 

ðiều này xảy ra khi và chỉ khi
B
là ma trận của
f
ñối với một cơ sở
(
ε )
′

mà
(
ε ) ε
j j j
f k
′ ′
=
, với mọi
{
}
1,2, ,
j n
∈
, nghĩa là (
ε )
′
là một cơ sở gồm những
vectơ riêng.
Hệ quả 2.2. Nếu

c
ñặ
c tr
ư
ng
A kI
−
,
i
m
là b
ộ
i s
ố
c
ủ
a nghi
ệ
m
i
k
, v
ớ
i
1 2
{1,2, , },
p
i p m m m n
∈ + + + =
, t

là một ma trận của một tự ñồng cấu
:
n n
f →
ℝ ℝ
ñối với cơ sở
chính tắc. Gọi
i
W
là không gian con riêng ứng với giá trị riêng
i
k
. Vì hạng
( )
i i
A k I n m
− = −
nên
1
dim ( )
i i
W n n m m
= − − =
.
Với mỗi
{1,2, , }
i p
∈
, ta chọn một cơ sở
{

ðặt
1 1 2 2
α ξ ξ

ξ
i i
i i i i i im im
r r r= + + +
  

, với mọi
{1,2, , }
i p
∈
, (2) trở thành:
1 1
α α

α
0
p
+ + + =

  
(3)
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
16

Vì
α

.
Theo cách chọn, hệ
{
}
\
1 2
ξ ,ξ , ,ξ
i
i i im
  
ñộc lập tuyến tính. Do ñó các hệ
0
ij
r
=
, với mỗi
{1,2, , }
i p
∈
và
{1,2, , }
j
j m
∈
. Vì
dim
n
n
=
ℝ

a k b
A kI k a d k ac bd
c d k
−
− = = − + + −
−

(
)
(
)
2
4
a d ad bc
∆ = + − −

Trường hợp 1.
A
là ma trận thực
+ Nếu
0
∆ >
thì
A
có 2 giá trị riêng phân biệt nên
A
chéo hóa ñược
+ Nếu
0
∆ =

. Khi ñó ta có
(
)
( )
(
)
( )
0 1 2 1 0 2
0 1 2 1 0 2
0 0
;
0 0
a k x bx cx d k x
a k y by cy d k y
 
− + = + − =
 
 
− + = + − =
 
 

Hai h
ệ
ph
ươ
ng trình trên có
1 2
1 2
0

b c
= =
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
17

Từ những ñiều trên ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận thực
A
chéo hóa
ñược là hoặc
0
∆ >
hoặc
a d
=
và
0
b c
= =
.
Trường hợp 2.
A
là ma trận phức
Tương tự như trường hợp thực ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận phức
A

chéo hóa ñược là hoặc
0
∆ ≠
hoặc

 
= = ≠
 
 
 
với mọi
i j
≠

và
ij
( )
A a
=
. Ta có
ij
( )
AB c
=
,
ij
( )
BA d
=
. Khi ñó
1
. .
α
n
ij ik kj ij jj ij j

V
ậy ma trận
A
có dạng chéo.
2.1.2. Các bước chéo hóa ma trận.
Bước 1. Tìm các giá trị riêng của ma trận
A
(Tức là nghiệm của phương
trình ñặc trưng)
Bước 2. ðối với mỗi giá trị riêng, ta tìm cơ sở (gồm toàn vectơ riêng) của
không gian con riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình
( ) 0
A kI x
− =
.
Bước 3. Lấy tất cả các cơ sở tìm ñược ở bước 2, nếu ñủ làm cơ sở của
E
,
thì chéo hóa ñược và ma trận dạng chéo gồm các giá trị riêng.
Lưu ý: Trong trường hợp
K
=
ℝ
, ta có thể trình bày cụ thể hơn như sau:
Bước 1. Tính các ña thức ñặc trưng và tìm nghiệm của nó.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
18

Nếu ña thức có một nhân tử là tam thức bậc hai vô nghiệm thì kết luận
không chéo hóa ñược và dừng lại, ngược lại thực hiện bước 2.

thì kết luận ngay không chéo hóa ñược.
Bước 4. Lấy cơ sở tìm ñược ở bước 3, lập ma trận
S
và
1
S AS
−
là ma trận
có dạng ñường chéo.
Ví dụ 2.4. Cho ma trận
1 2 2
1 0 3
1 3 0
A
−
 
 
=
 
 
 a) Chéo hóa ma trận.
b) Giả sử ma trận chéo vừa tìm ñược là
B
. Hãy tìm ma trận
T
ñể
1

3
α (0,1,1)
=

lập thành một cơ sở của
3
ℝ
. Do ñó, ta có
3 0 0
~ 0 1 0
0 0 3
A B
−
 
 
=
 
 
 

Gọi
T
là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của
3
ℝ
sang cơ sở
{
}
1 2 3
α ,α ,α

−
 
 
= −
 
 
 

Vậy
1
B T AT
−
=
.
Ví dụ 2.5. Chéo hóa ma trận
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
−
 
 
= −
 
 
−
 

Giải. ða thức ñặc trưng của
A

2 0
0
2 0
0
2 0
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
− + + =

− + = =
 

− + = ⇔ ⇔
  
− = =
 

+ − =


Nghiệm tổng quát
( , , )
a a a
,
a
∈
ℝ

x x x x x x
x x x
+ + =


+ + = ⇔ + + =


+ + =


Nghiệm tổng quát
( , , )
a b a b
− −
,
,
a b
∈
ℝ
,không gian riêng
1
W
tương ứng
gồm các vectơ có dạng
( , , )
a b a b
− −
hay
1

 
−
 

Bây giờ ta xét trường hợp ña thức ñặc trưng của ma trận
A
có nghiệm
bội. Chẳng hạn:
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
20

1 2 5
0 2 4
1 0 1
A
 
 
=
 
 
 
.
ða thức ñặc trưng
3 2 2
1 2 5
0 2 4 4 ( 4)
1 0 1
k
A kI k k k k k
k

c c c
hay
1
W
sinh bởi vectơ
(3,2,1)
. Do ñó
1
dim 1
W
=
.
Với
2 3
0
k k
= =
, không gian riêng
2
W
tương ứng gồm các vectơ có dạng
( ,2 , )
c c c
−
hay
(1, 2, 1)
c
−
, tức là
2

 
 
 
hoặc
0 0 0
0 4 0
0 0 4
C
 
 
=
 
 
 

Nếu
A
ñồng dạng với
B
thì
3
ℝ
có một cơ sở
{
}
1 2 3
ξ ,ξ ,ξ
  
sao cho
1 2

Tóm lại, nếu số bội của nghiệm riêng lớn hơn số chiều của không gian
riêng tương ứng thì ma trận không chéo hóa ñược.
2.1.3. Vấn ñề chéo hóa ma trận ñối xứng
ðịnh nghĩa 2.3. Một ma trận vuông
A
thuộc
( )
n
M K
ñược gọi là ma trận ñối
xứng (ma trận phản ñối xứng) khi và chỉ khi
( )
t t
A A A A
= = −
. T
ậ
p h
ợ
p các
ma tr
ậ
n
ñố
i x
ứ
ng (ma tr
ậ
n ph
ả


ñồ
ng c
ấ
u
f
c
ủ
a không gian véc t
ơ

Ơ
-c
ơ
-lít
E

ñượ
c g
ọ
i
là
trực giao
khi và ch
ỉ
khi
f
b
ả
o toàn tích vô h

n
ℝ
ñược trang bị tích vô hướng thông thường.
Ta kí hiệu
( )
n
O
ℝ
là tập các ma trận trực giao của
( )
n
M
ℝ
.
ðịnh lí 2.4.
1). Giả sử
E
là một không gian véc tơ Ơ-cơ-lít , f là một tự ñồng cấu ñối
xứng của E. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn của E trong ñó ma trận của f là ma
trận chéo.
2) Với mọi ma trận
( )
n
S S
∈
ℝ
, luôn tồn tại
( )
n
P O

∈
ℕ
và giả sử
E
là một không gian véc tơ Ơ-cơ-lít có số chiều là
1
n
+
,
f
là tự ñồng cấu ñối xứng của
E
,
B
là một cơ sở trực chuẩn của
E
,
( )
B
A Mat f
=
. Phân tích
A
theo khối
α
t
C
A
C B
 

1 0
0
U
P
 
=
 
 
, rõ ràng
U
là trực giao và
1
1
1 0
0
U
P
−
−
 
=
 
 
. Ta có
1
1
α
t
C P
U AU

A
′
′′
′
có ít nhất một giá trị riêng và một véc tơ riêng.
Giả sử
1,1
λ , ( )
n
V M
+
∈ ∈
ℝ ℝ
. Phân tích
V
theo khối:
x
V
X
 
=
 
 
với
x
∈
ℝ

và
1,1

Giả sử
λ ( )
Sp D
∉
ℝ
, vậy thì
λ
n
D I
−
khả nghịch và do vậy
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
22

( )
( )
1
1
λ
λ
α λ λ
n
t
n
X x D I G
AV V
x xG D I G x
−
−


D diag d d
=
ta có
( )
2
1
1
λ λ α λ α
λ
n
t
i
n
i
i
g
G D I G
d
−
=
− + = ⇔ + =
−
∑

N
ế
u
0
G
=

+ N
ế
u
1
0
g
≠
thì ánh x
ạ

( )
2
1
1
φ : , , λ λ
λ
n
i
i
i
g
d
d
=
+ ∞ → +
−
∑
ℝ ֏
liên t
ụ

2
λ
1
lim λ
λ
n
i
i
i
g
d
→+∞
=
 
+ = +∞
 
−
 
∑
nên theo
ñị
nh
lí giá tr
ị
trung gian, t
ồ
n t
ạ
i
(

ñượ
c b
ằ
ng vi
ệ
c thay th
ế

1
d
b
ằ
ng
r
d
, trong
ñ
ó
{
}
{
}
min 1, , ; 0
i
r i n g
= ∈ ≠
.
Ta
ñ
ã ch

a
f
. Trong m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n c
ủ
a
E

b
ắ
t
ñầ
u b
ở
i
0
0
x
x
, ma tr
ậ

p, t
ồ
n t
ạ
i
1
( )
n
P O
∈
ℝ
,
1
( )
n
D D
∈
ℝ
sao cho
1
1 1 1
S PD P
−
=
. Kí
hi
ệ
u
2
1

,
2 1
( )
n
D D
+
∈
ℝ
và
0
1
2 2 2
λ 0
0
P D P
S
−
 
=
 
 
.
ð
i
ề
u này ch
ứ
ng t
ỏ
t

ðị
nh lí trên
ñ
ây kh
ẳ
ng
ñị
nh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i ma tr
ậ
n
ñố
i x
ứ
ng th
ự
c
( )
n
S S
∈
ℝ

thì luôn chéo hóa
ñượ

ứ
ng trên tr
ườ
ng s
ố
ph
ứ
c thì sao? Câu tr
ả

l
ờ
i là không. Ví d
ụ
sau
ñ
ây s
ẽ
làm sáng t
ỏ

ñ
i
ề
u
ñ
ó.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
23


A
chéo hóa ñược, khi ñó tồn tại
2
( )
P O
∈
ℂ
sao cho
1 1
1 0 1 0
0 1 0 1
A P P PP
− −
   
= = =
   
   
. ðiều này mâu thuẫn.
2.2. Chéo hóa ñồng thời
ðịnh lí 2.5
.
Cho
*
n
∈
ℕ
,
E
là một
K

chéo hóa ñược ñồng thời. ðặc biệt, nếu hai ma trận chéo hóa ñược
mà giao hoán thì chúng chéo hóa ñồng thời ñược.
Chứng minh. Với
1
n
=
, tính chất này ñược suy ra từ phần 2.1. Giả sử nó ñúng
với mọi
{1, ,n}
p
∈
và giả
E
là một
K
- KGVT hữu hạn chiều với số chiều
1
n
+
,
I
là một tập khác rỗng,
( )
i i I
f
∈
là một họ các ñồng cấu chéo hóa ñược của
E
và giao hoán từng ñôi một.
Dễ dàng khảo sát trong từng trường hợp tất cả

k r
≤ ≤
. Vì
0
i
f

không phải là một phép vị tự và
0
i
f
chéo hóa ñược, ta có:
2
r
≥
, vậy
{
}
1, , ,1 dim( )
k
k r E n
∈ ≤ ≤
.
Cho
i I
∈
,
{1, ,r}
k
∈

i
f
trên
k
E
, với
i I
∈
và
{1, ,r}
k
∈
.
Cho
{1, ,r}
k
∈
:
• Với m ỗi
i I
∈
,
i
f
chéo hóa ñược nên
,
i k
f
chéo hóa ñược.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt

t quy n
ạ
p cho h
ọ
, ( )
( )
i k i I
f
∈
. T
ồ
n t
ạ
i c
ơ
s
ở

k
B
thu
ộ
c
k
E
sao cho :
, dim( )
, ( ) ( )
k k
B i k E

r
B i
B i n
B i r
Mat f
i I Mat f D K
Mat f
+
 
 
∀ ∈ = ∈
 
 
 
⋱
.
Chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoán các ma trận ñối xứng
ðịnh lí 2.6. Cho một tập không rỗng
I
,
(
)
i
i I
S
∈
là một họ phần tử giao hoán
từng ñôi một của
( )
n

sao cho
p n
<
và
I
là một
tập hợp không rỗng,
(
)
i
i I
S
∈
là một họ phần tử thuộc
( )
n
S
ℝ
ñôi một giao hoán.
Trường hợp
α
i n
S I
=
, với
α
∀ ∈
ℝ
và
i I

i
S PDP
−
= . Vì
0
α
i n
S I
≠
nên các phần tử trên ñường chéo
chính của
D
không bằng nhau. Vậy ta có thể giả thiết
0
λ 0
0
r
I
D
D
 
=
 
 
′
′′
′
, trong ñó
0
λ

i m
ỗ
i
i I
∈
, phân tích
1
i
P S P
−
theo kh
ố
i:
1
i i
i
t
i i
A B
P S P
B C
−
 
=
 
 
, trong
ñ
ó
(

ñ
ôi m
ộ
t giao hoán,
ñặ
c bi
ệ
t
0 0
,
i i i i
i I S S S S
∀ ∈ =
nên th
ự
c hi
ệ
n phép
nhân theo kh
ố
i ta suy ra
0
,
λ
i i
i I B B D
∀ ∈ =
′
′′
′

i
i I B
∀ ∈ =
. Vậy ta chứng minh
i j j i
i j j i
A A A A
C C C C
=


=

với mọi
,
i j I
∈

Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
25

Như vậy ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp với hai họ
(
)
i
i I
A
∈
và
(

2 2
i r
i n r
P A P D
P C P D
−
−
−

∈


∈


ℝ
ℝ

Kí hiệu
1
2
0
0
P
Q P
P
 
=
 
 

L
)
(
E
, ta kí hiệu
N
N
fafaeafP
+
+
+
=
)(
10
, và
)
(
f
P

ñượ
c
g
ọ
i là
ñ
a th
ứ
c c
ủ

10
,
)
(
A
P

ñượ
c g
ọ
i là
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n.
ðịnh nghĩa 2.7.

Gi
ả
s
ử

∈
f
L
)

khi
0
)
(
=
f
P
.
Gi
ả
s
ử

( )
n
A M K
∈
,
[
]
XKP
∈
.Ta nói r
ằ
ng
P
tri
ệ
t tiêu
A

. ðể
f
chéo
hóa ñược thì ñiều kiện cần và ñủ là tồn tại
[
]
P K X
∈
tách ñượ
c trên K
và có nghi
ệ
m
ñơ
n sao cho
( ) 0
P f
=
.
2)

Gi
ả
s
ử

*
n
∈
ℕ

∈
tách
ñượ
c trên
K
và có các nghi
ệ
m
ñơ
n sao cho
0
)
(
=
A
P
.
Ta có thể viết tắt "tách ñược và có các nghiệm ñơn" là: tách ñơn.
Chứng minh
1) a, Giả sử
f
chéo hóa ñược.