ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
LÊ VIỆT ĐỨC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
TRONG MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠ
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS ĐẶNG QUANG Á
Thái Nguyên 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1
i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn “ Phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng
trong mô hình hóa hình học” là công trình nghiên cứu củ
.TS Đặng Quang Á. Kết quả đạt đƣợc trong luận văn là sản phẩm của
riêng cá nhân tôi, không sao chép lại của ngƣời khác. Luận văn là kết quả của quá

1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong. 9
1.2.3 Độ cong. 11
1.3 Phép biến đổi toạ độ. 12
1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D. 12
1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D. 14
1.3.3 Phép ánh xạ. 15
1.3.4 Khung toạ độ. 16
Chƣơng II 19
GIỚI THIỆU PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH
HỌC 19
2.1. Tổng quan 19
2.1.1. Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học 19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3
iii

2.1.2. Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng 22
2.2. Các bề mặt hình học PDE. 23
2.3. Các bề mặt PDE dạng ẩn. 25
2.4. Các bề mặt PDE dạng tham số. 26
2.4.1. Phƣơng pháp Bloor- Wilson PDE. 27
2.4.2. Hiệu chỉnh phƣơng pháp Bloor-wilson PDE. 31
2.4.3. Các bề mặt PDE tham số thu đƣợc dựa trên các mô hình vật lý. 32
2.5. Ứng dụng của các bề mặt PDE. 33
2.5.1. Các thế hệ bề mặt. 34
2.5.2. Xử lý bề mặt. 34
2.5.3. Phân tích và tối ƣu hóa thiết kế. 35
2.5.4. Các ứng dụng khác. 36
Chƣơng III 38
CÁC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT
KẾ VÀ MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC 38

Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển động 17
Hình 2.1. Các đƣờng cong biên, Hình 2.2. Bề mặt PDE tƣơng ứng 28
Hình 2.3: Mặt PDE tƣơng ứng với một vỏ sò 29
Hình 2.4: Mặt PDE tƣơng ứng với một chai Klein. 29
Hình 2.5 Mặt PDE tƣơng ứng với mặt Werner Boy 30
Hình 2.6 Các mặt PDE tƣơng ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào nhau. 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6
1

MỞ ĐẦU
Ngày nay mô hình hóa hình học đã trở thành nền tảng cơ bản cho các tính
toán trực quan bởi vì nó cung cấp sự biểu diễn ngày càng chính xác các hình dạng
và các thao tác cho những đối tƣợng hình học. Khác với các kỹ thuật mô hình hóa
bề mặt đƣợc sử dụng rộng rãi để xác định hình dạng hình học, các mô hình lập thể
(solid models) cung cấp một cách rõ ràng và nhất quán các biểu diễn hình học cho
các đối tƣợng 3D với hình học nội suy. Nó giúp tăng cƣờng đáng kể các kỹ thuật
mô hình hóa hình học. Các kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể phổ biến bao
gồm: xây dựng hình học lập thể (constructive solid geometry, CSG), biểu diễn biên
(boundary representation, B-rep), và các khối lập thể dạng tự do tham số(free-form
parametric solids), v.v. Phƣơng pháp CSG khai thác các tập nửa đại số và các phép
toán Boolean nguyên thủy giản đơn, chẳng hạn nhƣ hình lập phƣơng, hình cầu, hình
trụ, v.v… để xây dựng các mô hình lập thể phức tạp. Các kỹ thuật B-rep thƣờng
định nghĩa một đối tƣợng hình học lập thể thông qua một tập hợp các bề mặt biên
với các thông tin hình dạng mở rộng. Kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể dạng tự
do sử dụng các đƣờng (curves) nhƣ B-splines, Hermite splines, và NURBS, để xác
định các hình lập thể kết hợp với những ích lợi của các bề mặt biên tự do và hình
học nội suy trong một khuôn khổ thống nhất. Mặt khác, mô hình tham số
PDE(Partial Differential Equation) xác định đối tƣợng hình học sử dụng các phƣơng

ngƣợc lại các mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh và phát
hiện các va chạm mà các mô hình ẩn dễ dàng thực hiện điều này nhờ các hàm ẩn.
Do đó, việc cung cấp một cách tiếp cận thống nhất sẽ có nhiều lợi thế của cả hai loại
và dễ dàng đạt mục đích mong muốn trong việc mô hình hóa hình học. Hơn nữa,
các kỹ thuật đã đề cập ở trên chủ yếu tập trung vào các mô hình hình học thuần túy.
Để mô phỏng các đối tƣợng trong thế giới thực, phƣơng pháp này tốt hơn trong việc
kết hợp vật thể và các tính chất vật lý chẳng hạn nhƣ mật độ trong biểu diễn hình
học. Bởi vì nhiều thuộc tính của vật thể có thể đƣợc tổng hợp bởi các giá trị vô
hƣớng, các hàm ẩn sẽ là ứng viên lý tƣởng trong việc mô hình hóa các tính chất vật
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8
3

lý này. Do đó bằng cách tích hợp các mô hình ẩn với các biểu diễn hình học có thể
đạt đƣợc các mô phỏng gần với các mô hình trong thế giới thực.
Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và đƣợc sự gợi ý của giảng viên
hƣớng dẫn, tôi đã chọn đề tài “ ạo hàm riêng trong
mô hình hóa hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình. Luận văn cấu
trúc gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Chƣơng này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi
phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học.
Chƣơng 2: Chƣơng này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết
kế bề mặt, những ứng dụng của phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial
differential equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình
học.
Chƣơng 3: Chƣơng này trình bày về hình học phƣơng trình vi phân đạo hàm
riêng(GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng,
ứng dụng, cấu trúc, nền tảng toán học, các bƣớc xây dựng GPDE và các giải pháp
số trong việc xây dựng GPDE.
Luận văn này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Đặng
Quang Á, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Tác giả

y = g(x) = (1− x)
1/2
: Phƣơng trình tƣờng minh (1.2)
Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đƣờng tròn,ta có:
x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phƣơng trình tham số (1.3)

Hình 1.1 : Tham số hoá đƣờng tròn đơn vị
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10
5

Trƣờng hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t = tgα = y /(x +1)
Kết hợp với phƣơng trình (1.1) ta có:
x = x(t) = (1− t
2
) /(1+ t
2
) ; y = y(t) = 2t /(1+ t
2
) (1.4)
Đây cũng là phƣơng trình tham số của đƣờng tròn và đƣợc gọi là phương
trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phƣơng trình tham số hữu tỷ của
đƣờng cong và mặt cong từ phƣơng trình đa thức ẩn đƣợc gọi là tham số hoá.
Nên biểu diễn đƣờng cong 3D thích hợp dƣới dạng phƣơng trình tham số:
x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)
hay dƣới dạng vectơ: r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
Theo dạng phƣơng trình tham số, đƣờng cong đƣợc định nghĩa một cách dễ
dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đƣờng
cong 3D bởi phƣơng trình ẩn hay tƣờng minh, bởi vì phƣơng trình ẩn g(x,y,z)=0
biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phƣơng trình để xác định đƣờng cong 3D.
Trong trƣờng hợp này, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ giao tuyến giữa hai mặt

T = dr / ds (1.6)
hay dƣới dạng vi phân: T = r’(t) /|r’(t)| (1.7)
1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến chính:
Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta
có vectơ đơn vị N, đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến chính của đƣờng cong:
N = (dT /dt) / |dt/dt| ≡ (dT/ds) / |dT/ds| (1.8)
Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2)
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N đƣợc gọi là mặt phẳng mật tiếp.
Vectơ B vuông góc với vectơ N và T đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi
quan hệ: B = TxN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn12
7 Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đƣờng tròn mật tiếp
1.1.2.4 Độ cong và bán kính cong:
Cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đƣờng cong r(t).
Độ cong đƣợc định nghĩa nhƣ sau: k = |dT/ds| (1.9)
hay dƣới dạng vi phân: k =
3
| ' r''|
| '|
rx
r
(1.10)
trong đó: r’ ≡ dr(t)/dt; r’’ ≡ dr’ / dt . Đối với đƣờng cong 2D dạng phƣơng
trình tƣờng minh y = y(x), phƣơng trình trên có dạng: k = y’’/(1+ y’
2
)
3/2

2
+ y
2
+ z
2
-1 = 0 (1.13)
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.
Xét một cách tổng quát, phƣơng trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới
hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0.
1.2.1.2. Mô hình mặt cong dạng phƣơng trình tham số.
Theo hình học vi phân, mặt cong đƣợc định nghĩa nhƣ là ảnh của phép ánh
xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và đƣợc biểu
diễn bởi phƣơng trình: r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)], (1.14)
trong đó: u và v là tham số của mặt cong.
Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phƣơng trình (1.13)
bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu:
r(u,v) = (cosvcosu, cosvsinu, sinv) (1.15)
với: 0 ≤ u ≤ 2π và −π / 2 ≤ v ≤π / 2
Tƣơng tự nhƣ đƣờng tròn đơn vị có thể tham số hoá phƣơng trình mặt cầu
dƣới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.
1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phƣơng trình phi tham số.
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x - y của hệ toạ độ Descarte
(u≡ x,v ≡ y) , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số:
r(u,v) = (u,v, z(u,v)) hay z = z(x, y) (1.16)
Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phƣơng trình (1.13) đƣợc
biểu diễn dƣới dạng tƣờng minh: z = (1 - x
2
– y
2
)

Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
r
u
=
/ru
; r
v
=
/rv
; r
uv
= ∂
2
r/∂u∂v (1.20)
Lấy đạo hàm phƣơng trình (1.19) theo t, ta có:
r’=
dr
dt
=
r
u


dr
dt
+
r
v



Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.
Ma trận cơ sở thứ nhất.
Vectơ tiếp tuyến (1.21) có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng ma trận:
r’= r
u
u’ + r
v
v’ =⋀q’, (1.23)
trong đó: Λ = |r
u
,r
v
| ; q’ = dq(t) / dt = (du / dt, dv / dt) = [u’ v’]
T
. Giá trị
vectơ tiếp tuyến đƣợc tính nhƣ sau:
|r’
2
| = (r’)
T
(r’) = q’
T
Λ
T
Λq’=q’
T
Gq’, (1.24)
trong đó: G= Λ
T
Λ=

r’’ = u’(u’r
uu
+ v’r
uv
) + u’’r
u
+ v’(v’r
vv
+ u’r
uv
) + v’’r
v
(1.28)
Thực hiện phép nhân vô hƣớng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong
với chú ý rằng r
u
.n = r
v
.n = 0, ta có:
r’’.n= (u’)
2
r
uu
n + 2u’v’r
uv
n + (v’)
2
r
vv
n =q’

Thực hiện phép nhân vô hƣớng một lần nữa với vectơ n và chú ý rằng:T.n = 0:
r’’.n=(s’)
2
kN.n (1.29b)
Giá trị kN.n ở biểu thức trên đƣợc gọi là độ cong pháp tuyến k
n
. Từ các công
thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’| , độ cong pháp tuyến đƣợc xác dịnh bởi
công thức sau:
k
n
≡ kN.n=
2
''.
( ')
rn
s
=
2
''
( ')
T
q Dq
s
=
''
( ') '
T
T
q Dq


=2Dq’ -2k
n
Gq’ =0 (1.31)
Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến đƣợc gọi là độ cong chính và đƣợc
xác định từ (1.30) nhƣ sau:
k
n1
=
2
b b ac
a

; k
n2
=
2
b b ac
a

, (1.31)
trong đó: a=|G|=
1
2
gh
hg



; c=|D|=

,t
y
) (Hình 1.5a); hệ số tỷ
lệ s(s
x
,s
y
) (Hình 1.5b); góc xoay θ ngƣợc chiều quya kim đồng hồ (Hình 1.5c) đƣợc
xác định nhƣ sau:
x’ = x + t
x
; y’ = y + t
y
(1.33)
x’ = s
x
.x ; y’ = s
y
.y (1.34)
x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (1.35)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn18
13 Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D
Phép biến đổi đồng nhất.
Biểu diễn điểm dƣới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống
nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học nhƣ phép nhân ma trận. Theo toạ độ
đồng nhất, điểm trong không gian n chiều đƣợc ánh xạ vào không gian (n+1) chiều.
Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều đƣợc biểu diễn dƣới dạng

10
0 1 0
1
xy
a
tt





; S=
00
00
0 0 1
x
y
s
s





; R=
os sin 0
sin os 0
0 0 1
c
c

z
(1.38)
x’ = s
x
.x ; y’ = s
y
.y ; z’ = s
z
.z (1.39)
Tƣơng tự nhƣ đối với trƣờng hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch
chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dƣới hình thức tích ma trận bởi
vectơ toạ độ đồng nhất P
h
, P’
h
, ma trận biến đổi T(S):
P’
h
= P
h
T (1.40a)
P’
h
= P
h
S, (1.40b)
trong đó: P
h
= (x y z 1) ; P’
h

x
y
z
s
s
s









Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D,
phép quay quanh trục bất kỳ thƣờng đƣợc qui về các phép quay cơ bản quanh các
trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1).
Phép quay cơ bản
X’
Y’
Z’
quanh trục x
x’ = x
y’ = ycosθ - zsinθ
z’ = ysinθ + zcosθ
quanh trục y
x’ = zsinθ + xcosθ
y’ = y
z’ = zcosθ + xsinθ

00
0 0 0 1
CS
SC









;
R(z,θ)=
00
0 0 0
0 0 0
0 0 0 1
CS
S
C













=
0
0
0
1
R
t









hay biểu diễn dƣới dạng khác: (x’ y’ z’) = (x y z)R + t (1.43)
Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định
nghĩa các vectơ hàng của R:
n = (r
11
r
12
r
13
); o = (r

toạ độ đƣợc đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trƣớc khi lƣu trữ
trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu
trục lắp ghép, khi mỗi đối tƣợng ( chi tiết hay bộ phận) đƣợc định nghĩa theo hệ toạ
độ hệ thống riêng và chúng cần đƣợc kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống
chủ.
Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ
hai nhƣ sau: Cho trƣớc toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác
định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện:
P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H, trong đó:
P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z)
P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)
H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tƣơng đối của hệ toạ độ (X, Y, Z) so
với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’).
1.3.4 Khung toạ độ.
Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ nhƣ sự thay đổi mô tả đối tƣợng hình
học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ
nhƣ sự thay đổi hệ toạ độ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn22
17

Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (1.42) dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển
động (Hình 1.6). Cho i
h
, j
h
và kh là các vectơ chỉ hƣớng đồng nhất của hệ toạ độ
tham chiếu: i
h
= (1 0 0 1) ; j
h

z
1) = (t 1) (1.48)
Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H đƣợc gọi là khung toạ độ.
Nhƣ vậy, phép biến đổi (1.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ
toạ độ địa phƣơng hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ
cố định).

Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển động
Viết lại biểu thức (1.42) ta có: P’
h
= P
h
H hay: P
h
= P’
h
H
-1
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn23
18

trong đó:
P
h
= (r 1) = (x y z 1)
P’
h
= (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1)
r(x, y, z): vectơ toạ độ tƣơng đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc.

; H
-1
=
0
0
0
1
. . .
x x x
y y y
z z z
n o a
n o a
n o a
nt ot at







  


n = (n
x
n
y
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn24
19

Chƣơng II
GIỚI THIỆU PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT
KẾ HÌNH HỌC
Chƣơng này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt,
những ứng dụng của phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential
equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình học.
2.1. Tổng quan
Sự đặc trƣng hóa và hệ thống hóa các bề mặt nhất định đã xuất hiện từ thời
đế quốc La Mã. Bắt nguồn từ những khát vọng xâm chiếm và nhu cầu sản xuất hàng
loạt các chiếm hạm, ngƣời ta đã rất quan tâm tới việc tạo ra một khuôn mẫu cho các
thân tàu. Tuy nhiên,việc giới thiệu bản vẽ xác định hình dạng của một thân tàu chỉ
thực sự trở nên phổ biến ở Anh vào thế kỷ 17. Ngày nay thiết kế hình học đƣợc hỗ
trợ bởi các công cụ tính toán với một số lƣợng lớn các kỹ thuật tạo bề mặt sẵn có.
Phần lớn các phƣơng pháp đƣợc sử dụng trong thiết kế hình học dƣới sự hỗ trợ của
máy tính đối với việc tạo ra các bề mặt chủ yếu dựa trên một loại bề mặt ẩn cụ thể
là các mặt đa giác. Loại bề mặt này đƣợc đặc trƣng bởi một số các điểm điều khiển
và trọng số. Tuy nhiên việc thao tác đối với các bề mặt nhƣ vậy là không đơn giản
khi mối quan hệ giữa những sự thay đổi trong hình học và các điểm điều khiển là
không trực quan.
Các bề mặt tham số nhìn chung dễ thao tác hơn các bề mặt ẩn bởi chúng chỉ
cần sửa đổi một số các tham số để thu đƣợc một bề mặt khác.
Các bề mặt tham số thông thƣờng đƣợc biểu diễn bởi các đƣờng cong trong