VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
CẤP HAI LOẠI PARABOLIC
ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER
PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT
Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được
khảo sát bởi M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] trong khuôn khổ các nguyên
lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày
một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo
hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát.
ABSTRACT
The theory of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second
order has been considered by M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] which
provides a framework in comparison principles, uniqueness theorems and existence
theorems. This paper deals with a comparison principle and provides a uniqueness property of
a viscosity solution to general degenerate parabolic partial differential equations of second
order.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khái niệm nghiệm nhớt được áp dụng cho các phương trình đạo hàm riêng có dạng:
F(x, u, Du,
2


s và Y

X (1.1)
trong đó r, s

R, x, p


n
R
, X, Y

S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.
Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:
F(x,r,p,X)

F(x,s,p,X) với r

s (1.2)
F(x,r,p,X)

F(x,r,p,Y) với Y

X. (1.3)
Khi đó ta nói F là suy biến (degenerate) nếu (1.3) là đúng.
2. KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT
Bây giờ ta xét u là một hàm của (t, x), tức là u = u(t,x), và xét phương trình đạo hàm
riêng cấp hai phi tuyến loại parabolic:
t

,2
P của hàm số u:
T
  R như sau:


,2
P u(s,z) = {(a,p, X)

R

n
R

S(n) | (s,z)


T
 và u(x,t)

u(s,z) + a(t-s) + zxp ,
+
2
1
zxzxX  ),( + o(|t-s|+
2
|| zx  ) khi (t,x)

(s,z) trong
T

n
a ,
n
p ,
n
X )


T


R

n
R

S(n),
(
n
a ,
n
p ,
n
X )



,2
P u(
n


(
n
t ,
n
x ,
n
a ,
n
p ,
n
X )


T


R

n
R

S(n),
(
n
a ,
n
p ,
n
X )

T
 ) sao cho:
a + F(t, x, u(t,x), p, X)

0 với (t,x)

T
 và (a, p, X)



,2
P u(t,x) ;

b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1) là một hàm v

C(
T
 ) sao cho:
a + F(t, x, v(t,x), p, X)

0 với (t,x)

T
 và (a, p, X)



,2
P v(t,x) ;

n
R


là một tập mở, T > 0 và )( C

là một hàm số cho trước.
Định lý: Cho
n
R


là một tập mở bị chặn. Cho F ))(],0([ nSRRTC
n
 thỏa mãn
(1.1) với mỗi t cố định và thỏa mãn các điều kiện sau đây cho mỗi t:

F(t, y, r, )( yx


, Y) - F(t, x, r, )( yx


, X) |)|||(
2
yxyx 

với mọi x, y




 Y
X
0
0


3









 II
II

- trong đó ),0[),0[:




là một hàm liên tục thỏa mãn .0)0(

với
.0


Cho 

M với

lớn và ),(

yx là một điểm sao cho

0)]||
2
)()(([lim
2





yxyvxuM .
Khi đó, ta có:

(i) 0||lim
2



N
R
. Cho

là một hàm số xác định trong một lân cận của
k1
),0( T
sao cho (t,
1
x ,…, )
k
x


(t,
1
x ,…, )
k
x khả vi cấp một theo t và khả vi cấp hai theo
(
1
x ,…, )
k
x

k1
 . Giả sử ),,0(
_
Tt 
ii

i
 khi (
i
b ,
i
q ,
i
X )



,2
P
i
u (t ,
i
x )
||
_
ii
xx  + rtt  ||
_
và |),(|
ii
xtu + ||
i
q +
i
X
.M







1









k
X
X 0
0
1

A+
2
A

,
(iii) ),, ,,(
__
1

tTuu 

cũng là một nghiệm nhớt dưới
của (3.1) và thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng với bất đẳng thức ngặt; thật vậy,
2
_
2
___
)(
),,,,(
tT
uDuDuxtFu
t




Vì
v
u

kéo theo vu 
_
trong giới hạn khi
0


, nên ta sẽ chứng minh nguyên lý so sánh
với giả thiết phụ:



trên ),0[ T trong đó
0


. Điểm cực đại này tồn tại
vì tính bị chặn trên của u, -v, tính compact của

và giả thiết phụ (ii). Đặt:

.||
2
),(),(
2
yxytvxtuM 



Theo (3.2),


M . Nếu
0t
, ta có:
0< );||
2
)()((sup
2
yxyxM 





,2
P ),(
__
xtu ,
 )),(,( Yyxb




,2
P ),(
__
ytv

sao cho
a - b = 0 và -3









I
I

. (3.3)
Các quan hệ:
a + ,)),(),,(,,tF( cXyxxtux 
b + ,0)),(),,(,,tF(  Yyxytvy
và (3.3) kéo theo

c

)),(),,(,,tF( Yyxytvy 

- )),(),,(,,tF( Xyxxtux 

|)|||(
2
yxyx 

.

Cho



, ta được điều mâu thuẫn và định lý được chứng minh.