MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI
ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN
A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND
ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON
UNBOUNDED DOMAINS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
NGUYỄN CỬU HUY
HV Cao học khoá 2004-2007 TÓM TẮT
Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục
trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh, các định
lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh
của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị
chặn.
ABSTRACT
The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of
second order on bounded domains have been investigated by many authors providing
comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper describes a
comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations
on unbounded domains. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục có dạng:


s và Y

X. (1.2)

Trong đó r, s

R, p


n
R
, X, Y

S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.

Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:

F(r, p, X)

F(s, p, X) với r

s (1.3)

F(r, p, X)

F(r, p, Y) với Y

X. (1.4)
2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN


Cho
)(
n
RCu 
. Ta ký hiệu
,2
J
và
,2
J
của hàm số u như sau:
,2
J
u(
x
)={
))(),((
2
xDxD


n
R

S(n) |

là
2
C

Ta định nghĩa :

,2
J u(x) ={(p, X)


n
R

S(n) |

(
n
x ,
n
p ,
n
X )


n
R

n
R

S(n), (
n
p ,
n

S(n) |

(
n
x ,
n
p ,
n
X )


n
R

n
R

S(n), (
n
p ,
n
X )

,2
J
u(
n
x ) và
(
n


b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1) là một hàm u

)(
n
RC sao cho :
F(u(x), p, X)

f(x) với mọi
n
Rx 
và ( p, X)

,2
J
u(x) ;

c. Một nghiệm nhớt của phương trình (1.1) là một hàm u

)(
n
RC
sao cho u vừa là
nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1).

2.2. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM

Định lý: Cho
)(
n


),(),( nSRXp
n
(ii) F(r, p, X) - F(r, q, Y) )|(| YXqp 

với mọi p, q
n
R

, r
R

, và X, Y )(nS

. Khi
đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (1.1) và v là nghiệm nhớt trên của (1.1) sao cho u và v biến
thiên hầu tuyến tính, thì u
v

trên
n
R
.
Chứng minh:




trên
nn
RR 
. (2.3)

Chọn một họ
r

các hàm
2
C
trên
n
R
được tham số hóa bởi
1

r
với các tính chất:

(i) ,0
r
(ii) ,2
||

với
n
Rx 
,
trong đó C là một hằng số. Từ (2.3) và (ii), ta thấy hàm số :

))()(()||1(
2
)()(),(
2/12
yxyx
K
yvxuyx
rr


đạt giá trị lớn nhất tại điểm ).,( yx Bây giờ hoặc (2.2) đúng hoặc với r lớn ta có 0),(


yx và
điều này cho ta :

).()(||
2
yvxuyx
K


K
p

 |))||1(
2
(
2/12

,
yxzz
zD
K
Z

 |))||1(
2
(
2/122

.

Theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có :

)())(),(),((
2
xfxDZxDpxuF
rr




xDZxDpyvF
rr

 = ))(),(),((
2
xDZxDpxuF
rr

 -
))(),(),((
2
yDZyDpyvF
rr

 +
))(),(),((
2
yDZyDpyvF
rr


- ))(),(),((
2
xDZxDpyvF



r
và thu được
2/12
)||1(
2
)()( yx
K
yvxu 


là bị chặn và như vậy (2.2) đúng.

Bây giờ, ta quay trở lại định lý. Giả sử tồn tại một
x
~
sao cho

.02)
~
()
~
(




xvxu
Ta đặt

ˆ
( yx và tại đó:

,
4
|
ˆˆ
|
4
|
ˆˆ
|
2
)
ˆ
()
ˆ
()|
ˆ
||
ˆ
(||
ˆˆ
|
2
2
2
2222
C
K

ˆ
(yv

và
-3









I
I
0
0










 Y
X

(),
ˆ
(( IXxyxxuF

 - )2,
ˆ
2)
ˆ
ˆ
(),
ˆ
(( IXxyxyvF





 = )2,
ˆ
2)
ˆˆ
(),
ˆ
(( IXxyxxuF

 - )2,
ˆ


)
ˆ
()
ˆ
( yfxf


+ )2,
ˆ
2)
ˆˆ
(),
ˆ
(( IYyyxyvF



- )2,
ˆ
2)
ˆ
ˆ
(),
ˆ
(( IXxyxyvF


ˆˆ
(| yx
f

)2,
ˆ
2)
ˆˆ
(),
ˆ
(( IXyyxyvF


- )2,
ˆ
2)
ˆ
ˆ
(),
ˆ
(( IXxyxyvF






,

trong đó

yx


và
)
ˆˆ
( yx 

vẫn bị chặn khi
.0


Mặt khác 0|
ˆ
ˆ
|


yx khi



đều đối với
.0


Do đó, từ giả thiết liên tục đều của f và F ta nhận được khi cho
0

